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2024-2025 学年辽宁省五校联考高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若点 ( 1,1)在角 的终边上，则 sin( + 2025°) =( )
A. 1 B. 22 C. 0 D. 1
2.已知复数(1 3 ) = 3 + ，其中 为虚数单位，则| | =( )
A. 14 B.
1
2 C. 1 D. 2
3.已知向量 = (1, 3 3 )， = ( 3, 1)，则 与
的夹角为( )
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
4.已知 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，下列命题中正确的是( )
A.若 // ， // ，则 // B.若 ⊥ ， ，则 ⊥
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 // ， ，则 //
5.已知点 (2,1)，将向量 绕原点 逆时针旋转 45°得到 ，则点 的坐标为( )
A. ( 22 ,
3 2 ) B. ( 22 2 ,
3 2
2 ) C. (
2 , 3 2 ) D. ( 3 2 , 22 2 2 2 )
6.若函数 ( ) = tan( + )( > 0, > 0)的图象与直线 = 5 的两个相邻交点之间的距离为3，向右平移18
个单位长度后得到函数 ( )的图象，若 ( )的图象关于坐标原点对称，则 的最小值为( )
A. 6 B.

3 C.
2
3 D.
5
6
7.在平行四边形 中，| | = 1，| | = 2， = 1， 为 的中点，则 =( )
A. 2 B. 32 C. 1 D.
1
2
8 .已知函数 ( ) = sin(2 + )(0 < < )图象的一个对称中心是( 12 , 0)，函数 ( )的图象与 ( )的图象

关于 = 2对称，若对任意 1， 2 ∈ [0, ]，当 1 < 2时，都有 ( 1) ( 2) < ( 1) ( 2)，则实数 的最
大值为( )
A. B. 8 6 C. 4 D.

3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 2.已知复数 = 1 ( 为虚数单位)， 的共轭复数为 ，则( )
A. 的实部为 1 B. 的虚部为 1

C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第一象限
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10.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 2 + 3 = 2 2，则下列选项中正确的是( )
A. 若 = ，则 = 4 B.若 = 4，则 =
C.若 = 2，则 = 2 D.若 = 3，则 =
11.在正三棱柱 1 1 1中， = 2， 1 = 3， ， 分别为 ， 1 1的中点， ， ， ， 四点均
在球 的表面上，则( )
A. //平面 1 1
B.球 的表面积为 28
C.球 表面与三棱柱 1 1 1表面的交线长度之和为 2
D. 3六面体 1 1 与七面体 1 1 公共部分的体积为2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = 17， =
4
5，其中 ， ∈ (0, )，则 = ______．
13.已知复数 1， 2满足| 1| = 2，| 2| = 1，| 1 + 2 2| = 2 2，则|2 2 1| = ______．
14.已知圆台上、下底面的圆周都在球心为 的球面上，若球 半径为 1， ， 分别为圆台上下底面圆周上

的动点，且直线 ， 与圆台底面所成的角分别为4，12，则△ 面积的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 15 分)
已知 = ( + , 2 )， = ( , 3 )，函数 ( ) = ．
(1)求函数 ( )的单调减区间；
(2) ( 若 6 +

2 ) =
2 3 4
3 ，且3 < < 3，求 ( 6 + )的值．
16.(本小题 15 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， 1 = 3， = = 2，∠ =
2
3，且 ， 分别为 1， 的中
点．
(1)证明： //平面 1 1；
(2)证明： 1 ⊥ 1．
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17.(本小题 15 分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 2 ( + ) = ．
(1)求角 ；
(2)若 = 3， = 2 ，线段 延长线上的一点 满足 = ，求线段 的长．
18.(本小题 15 分)
如图，平面四边形 中，点 是线段 上一点， ⊥ ，且 = 4， = 2，∠ = 45°，沿着
将三角形 折叠得到四棱锥 ，折叠后∠ = 120°．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)若 = ，求平面 与平面 夹角的正切值；
(3)若 ， ， ， 在同一个球面上，设该球面的球心为 ，证明：当球 的半径最小时，点 在平面 内．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = sin ， ( ) = cos ( ∈ +)．
(1)证明：曲线 = ( ) ( )

关于点( 4 , 0)对称；
(2)若存在 ∈ +，使得关于 的不等式 ( ) + ( ) + 2 ≥ 0 对任意的 ∈ [0, 2 ]恒成立，求实
数 的取值范围；
(3)若 ∈ +， =

2 1( ) 2 1( )在[ 4 , 2 ]上的值域为 ， = 2 ( ) + 2 ( )在[0, 4 ]上的值域为 ，求
∩ ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3 4
13.2 2
14.[ 1 , 14 2 ]
15.(1) ( ) = sin2 cos2 + 2 3 = 3 2 2 = 2 (2 6 )，
由 2 + 3 2 ≤ 2 6 ≤ 2 + 2 ( ∈ )，
解得 + ≤ ≤ + 5 3 6 , ( ∈ )，
所以函数 ( ) 5 的单调减区间为[ + 3 , + 6 ]( ∈ )；
(2) 2 3 3由 ( 6 + 2 ) = 3 ，得 sin( + 6 ) = 3 ，
< < 4 又3 3，
3
所以2 < + 6 < 2，
所以 cos( + 6 ) = 1 sin
2( + 6 ) =
6
3 ，

所以 sin(2 + 3 ) = 2 ( +
)cos( + ) = 2 26 6 3 ，cos(2 +

3 ) = 2
2( + ) 1 = 16 3，
所以 ( 6 + ) = 2 (2 +

6 ) = 2 [(2 +
) ] = 2( 2 2 33 6 3 2
1 1 2 6 13 2 ) = 3 ．
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16.证明：(1)如图，取 1的中点 ，连接 1 ， ，
因为 为 1的中点，所以 // 1 ，且 = 2 1 ，
1
又因为 1 // 1 ，且 1 = 2 1 ，
所以 // 1 ，且 = 1 ，
所以四边形 1 是平行四边形，所以 // 1 ，
又 1 平面 1 1， 平面 1 1，
所以 //平面 1 1；
(2)取 1 1的中点 ，连接 1 ， ，
因为 = ，所以 1 1 = 1 1，所以 1 ⊥ 1 1，
因为 1 ⊥面 1 1 1， 1 面 1 1 1，所以以 1 ⊥ 1 ，
因为 1 ∩ 1 1 = 1， 1 面 1 1 1，
所以 1 ⊥面 1 1 ，
因为 1 面 1 1 ，所以 1 ⊥ 1 ，
因为 = = 2，∠ = 2 3，
所以 = 2 3， = 3，
所以四边形 1 是正方形，所以 ⊥ 1 ，
因为 ∩ 1 = ， ， 1 面 1 ，
所以 1 ⊥面 1 ，
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因为 1 平面 1 ，
所以 1 ⊥ 1．
17.(1)由 2 ( + ) = ，
由正弦定理得 2 ( + ) = ，
所以 2 ( + ) = ，
又 + + = ，所以 sin( + ) = ，
1
所以 = 2，因为 ∈ (0, )，

所以 = 3，
(2)由 = 3及余弦定理得
2 + 2 2 = ，
即 2 = ( )2 + ，
又 = 3， = 2，解得 = 1，
在 中，由正弦定理得 = sin∠ ，
在 中，由正弦定理得 = sin∠ ，

由 = ，
得 sin∠ = sin∠ ，
所以∠ + ∠ = ，
即∠ + ∠ + ∠ = ，
所以∠ = 3，
设 的面积为 ，
则 =
1 ∠ = 12 2 +
1
2 ∠ ，
即 = 1 + ，又 = 2，
2
解得 = 2 ，
所以 2的长为 2 ．
18.(1)证明：在四边形 中，因为 ⊥ ，所以折叠后有 ⊥ ， ⊥ ，
又 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
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(2)由题意 = = 2，又∠ = 120°，故∠ = 30°，
过点 作 ⊥ 交 于 ，则 = 2 3，连接 ， ，3
因为平面 ⊥平面 ，面 ⊥面 = ， 平面 ，
且 ⊥ ，所以 ⊥平面 ．
因为 平面 ，所以 ⊥ ，同理 ⊥ ，
因为 = 2， = 2，∠ = 45°，
所以由余弦定理得 = 2 + 2 2 ∠ = 2，
所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，所以∠ 为二面角 的平面角．
2 3
所以在 △ 中，tan∠ = =
3 6，
2 = 3
所以平面 与平面 夹角的正切值为 6．
3
(3)证明：由(1)知平面 ⊥平面 ，
设△ 和△ 的外心分别 和 ，
因为 、 、 、 均在以 为球心的球面上，
则球心为过点 和 且分别垂直于平面 、平面 的两直线的交点 ，
过点 作 ⊥ 于 ，连接 ，
设 = ，显然四边形 为矩形，
所以 2 = 2 2 = 2 = 2 2．
在△ 中，设 = (0 < < 3)，由∠ = 120°及余弦定理得 = 2 4 + 16，
2
再由正弦定理得△ 的外接圆半径 4 +161 = = ．2 120 = 3
在△ 中， = 4 ， = 2，∠ = 45°，
由余弦定理得 = 2 6 + 10，
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2
再由正弦定理得△ 的外接圆半径 2 = =
6 +10．
2 45 = 2
所以 2 2 = 2 ( 1 2 2 )
2，
2 2 2
即 2 = 21 + 22 (
)2 = 4 +16 6 +10 8 +16，2 3 + 2 4
2
所以 2 = 7 28 +76 = 712 12 ( 2)
2 + 4，
故当 = 2 时，球 的半径最小，此时点 与点 重合，所以点 在平面 内．
19.(1) 证明：因为 sin( 4 + ) = sin(
2 4 + ) = cos(

4 )，
cos( 4 + ) = cos( 2 4 + ) = sin(

4 )，
( 所以 4 + ) ( 4 + ) = sin ( 4 + ) cos ( 4 ) = cos
( 4 ) sin
( 4 )， ∈ +，

又 ( 4 ) ( 4 ) = sin ( 4 ) cos ( 4 ) = [ (

4 + ) ( 4 + )]， ∈ +，
即[ ( 4 ) (

4 )] + [ (

4 + )

( 4 + )] = 0，
所以曲线 = ( ) ( )关于点(

4 , 0)对称；
(2)因为当 ∈ [0, 2 ]时， ∈ [0,1]， ∈ [0,1]，所以sin
+ cos ≤ + ，
由题知存在 ∈ +使得sin + cos + 2 ≥ 0

，对任意的 ∈ [0, 2 ]恒成立，
所以 + + 2 ≥ 0，对任意的 ∈ [0, 2 ]恒成立，
令 = + = 2sin( + 4 )，则 ∈ [1, 2]，
2 = 2 1，则 + ( 2 1) ≥ 0 恒成立，即 ( 2 2) ≥ ，对 ∈ [1, 2]恒成立，
2
因为 = 在 ∈ [1, 2]
2
上单调递减，即 ∈ [0,1]，
2 2
所以 ( ) ≤ 1，对 ∈ [0,1]恒成立，
0 ≤ 1
所以 1 ≤ 1，可得 ≤ 1，所以 的取值范围为( ∞,1]；
(3) 当 为奇数时，对任意 1， 2 ∈ [ 4 , 2 ]，且 1 < 2，
由于 0 < 1 < 2 ≤ 1，0 ≤ 2 < 1 < 1，所以sin 1 < sin 2，cos 2 < cos 1，
从而[ ( 1) ( 1)] [ ( 2) ( )] = (sin 2 1 sin 2) + (cos 2 cos 1) < 0，
即 ( 1) ( 1) < ( 2) ( 2)，
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所以 = 2 1( )

2 1( )在[ 4 , 2 ]上单调递增，

当 = 4时取得最小值 0，当 =

2时取得最大值 1，

所以 = 2 1( ) 2 1( )在[ 4 , 2 ]上的值域 = [0,1]；
当 为偶数时，一方面因为 ∈ [0, 2 24 ]时，0 ≤ ≤ 2 , 2 ≤ ≤ 1，
所以 ( ) + ( ) = sin + cos ≤ sin2 + cos2 = 1 = (0) + (0)，

另一方面，由于对任意正整数 ≥ 2，因为 ∈ [0, 4 ]，
0 ≤ ≤ ≤ 1，则有 2[ 2 ( ) + 2 ( )] [ 2 2 22 2( ) + 2 2( )]，= 2 sin + 2 2
cos2 2
= sin2 2 (2 2 1) + cos2 2 (2 2 1)
= sin2 2 (sin2 cos2 ) + cos2 2 (cos2 sin2 )
= (cos2 2 sin2 2 )(cos2 sin2 ) ≥ 0，
1
所以 2 ( ) + 2 ( ) ≥ 2 [ 2 2( ) + 2 2( )]，
进而 ( ) + ( ) ≥
1 1 1
2 [ 2( ) + 2( )] ≥ [ ( ) + ( )] = = 1 2 2 1 ( 4 ) + ( 4 )，22 22
所以 ≥ 2 时， = 2 ( ) + 2 ( )，
当 = 0 1时取得最大值 1，当 = 4时取得最小值2 1，
1
所以 ≥ 2 时， = 2 ( ) + 2 ( )在[0, 4 ]上的值域 = [ 2 1 , 1]，
而 = 1 时， = 2 ( ) + 2 ( )在[0,

4 ]上的值域 = {1}；
综上， = 1 1时， ∩ = {1}， ≥ 2 时， ∩ = [ 2 1 , 1]．
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