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2024-2025 学年湖南省永州市祁阳市第四中学高二下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {0,1,2}， = {0,2,4}， = { |2lg < 1}，则( ∪ ) ∩ =( )
A. {0,1} B. {1,2} C. {0,1,2} D. {1,2,4}
2 π.若角 的终边过点(4,3)，则 sin + 2 =( )
A. 45 B.
4
5 C.
3 3
5 D. 5
3.若 (1 + i) = 1 i，则 =( )
A. 1 i B. 1 + i C. i D.
4.已知向量 = (1,4), = (2, )，若 // 2 + ，则 =( )
A. 8 B. 4 C. 2 D. 8
25
2
.已知双曲线 2 2 = 1 的离心率 = 2，则双曲线的渐近线方程为( )
A. =± 22 B. =±
1
2 C. =±
3
3 D. =± 3
6.若 > > > 1 且 < 2，则
A. log > log > log B. log > log > log
C. log > log > log D. log > log > log
7.将甲 乙 丙 丁 4 个人全部分配到 , , 三个地区工作，每个地区至少有 1 人，则不同的分配方案为( )
A. 36 种 B. 24 种 C. 18 种 D. 16 种
8.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器．由中国科学院空天信息
创新研究院自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇(如图 1)从海拔 4300 米的中国科学院珠穆朗玛峰大气与环境综
合观测研究站附近发放场地升空，最终超过珠峰 8848.86 米的高度，创造了海拔 9032 米的大气科学观测海
拔高度世界纪录，彰显了中国实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长 45 米，高 16 米，若将它近似看作一个半
球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图 2 所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积为( )
A. 2540π B. 449π C. 562π D. 561π
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某高中从本校的三个年级中随机调查了五名同学关于生命科学科普知识的掌握情况，五名同学的成绩如
下：84，72，68，76，80，则( )
A.这五名同学成绩的平均数为 78 B.这五名同学成绩的中位数为 74
C.这五名同学成绩的上四分位数为 80 D.这五名同学成绩的方差为 32
10 π.已知函数 ( )的图象是由函数 = sin2 的图象向右平移6个单位得到，则( )
A. ( ) π π的最小正周期为π B. ( )在区间[ 6 , 3 ]上单调递增
C. ( ) π π的图象关于直线 = 3对称 D. ( )的图象关于点 6 , 0 对称
11.已知抛物线 ： 2 = 4 ，焦点为 ，直线 = 1 与抛物线 交于 ， 两点，过 ， 两点作抛物线准线
的垂线，垂足分别为 ， ，且 为 的中点，则( )
A. | | = 10 B. ⊥
C.梯形 的面积是 16 D. 到 轴距离为 3．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在等差数列 中，若 3 + 9 = 26，则 3 + 3 7 =
13.已知函数 ( ) = + 2 ，若 ( )存在大于 0 的极值点，则实数 的取值范围 ．
14 2.甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为3，乙
1
获胜的概率为3，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知正项等比数列 的前 项和为 , 8 = 30 + 15 2，且 10是 8 2和 6 6的等差中项．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 = 2 + log2 ，求数列 的前 项和．
16.(本小题 15 分)
在① sin 3 cos cos = 3 cos2 ， = 4，②(4 3)sin cos2 + 1 = 2 3， , , 成等差数列，
③sin( + π6 ) = cos +
1 2 3
2， 的面积为 3 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角
形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 2，__________？
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(注：如．果．选．择．多．个．条．件．分．别．解．答．，．按．第．一．个．解．答．计．分．)
17.(本小题 15 分)
某商场为吸引客源推出了为期三天的优惠活动，全场购物每满 1000 元减 300 元，即一次购物总金额(未享
受优惠前)为 元，若 < 1000.付款时无优惠：若 1000 ≤ < 2000.付款时优惠 300 元：若 2000 ≤ < 3000，
付款时优惠 600 元……，以此类推，某机构在该商场门口随机采访了 100 位购物的顾客，统计他们的购物
金额如下表所示，并将购物总金额低于 3000 元的顾客称为“理性购物者”，购物总金额不低于 3000 元的
顾客称为“非理性购物者”．
理性购物者 非理性购物者 合计
男性 40 10 50
女性 25 25 50
合计 65 35 100
(1)能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为是否为“理性购物者”与性别有关？
(2)设甲、乙两名“非理性购物者 相互独立地来此商场购物，甲、乙两位顾客的购物总金额(单位：元)在
[3000,4000) 1 2 1 1的概率分别为2，3，在[4000,5000)的概率分别为2，3 .甲、乙两位顾客付款时的优惠金额之和
为随机变量 ，求 的分布列与数学期望．
2 = ( )
2
参考公式及数据： ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
2 0.1 0.05 0.01 0.0050.001
≥
2.7063.8416.6357.87910.828
18.(本小题 17 分)
如图，在等腰梯形 中， // ， = 2 = 2 = 2，矩形 所在的平面垂直于平面 ，设
平面 与平面 的交线为 ．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)若二面角 的大小为 60°，求线段 的长度．
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19.(本小题 17 分)
已知动圆过点 (0,1)，且与直线 : = 1 相切，设动圆圆心 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)过 上一点 作曲线 的两条切线 , ， , 为切点， , 与 轴分别交于 ， 两点．记 ， ，
的面积分别为 1、 2、 3．
(ⅰ)证明：四边形 为平行四边形；
2
(ⅱ) 求 2 的值．1 3
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.52
13.( ∞, 2)
14.25/0.4
15.【详解】(1)正项等比数列{ }的公比设为 ， > 0，前 项和为 ，
10是 8 2和 6 6的等差中项，可得 2 10 = 8 2 + 6 6，
即有 2 1 9 = 8 5 8 41 + 6 1 ，即为 3 4 = 0，
解得 = 2，
8 = 30 + 15 2
(1 16)
，可得 11 2 = 30 + 15 2，解得 1 = 2，
可得 = ( 2) ；
(2) = 2 + log2 = 2 +
1
2 ，
1
数列{ }的前 项和为(2 + 4 + … + 2 ) + 2 (1 + 2 + … + )
2(1 2 ) 1 1 1
= 1 2 + 2 2 ( + 1) = 2
+1 2 + 24 ( + ).
16.【详解】选条件①：
由 sin 3 cos cos = 3 cos2 及正弦定理，得 sin sin = 3cos (sin cos + cos sin ) =
3cos sin( + )．
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因为在 中， + + = π，所以 sin = sin( + ) ≠ 0，所以 sin = 3cos ，即 tan = 3，
又 ∈ (0, π)，所以 = π3，又 = 4， = 2 < sin ，所以不存在这样的三角形．
因此，选条件①时，问题中的三角形不存在. (
选条件②：
由(4 3)sin cos2 + 1 = 2 3及 cos2 = 1 2sin2 ，得 2sin2 + (4 3)sin 2 3 = 0，
3
解得 sin = 2 或 sin = 2(舍去).
π π
因为 , , 成等差数列，所以 ∈ (0, 2 )，所以 = 3，
又 = 2，所以 + = 2 = 4，由余弦定理，得 2 = 2 + 2 2 cos π3，即 4 = ( + )
2 3 = 16 3 ，
= 4. + = 4所以 由 = 4，解得 = = 2.故 为正三角形．
因此，选条件②时，问题中的三角形存在，且 = 2．
选条件③：
由 sin( + π6 ) = cos +
1 3 1 1 π 1
2，得 2 sin 2 cos = 2，即 sin( 6 ) = 2，由 ∈ (0, π)，得
π π 5π
6 ∈ ( 6 , 6 )，
π π π 1
所以 6 = 6，所以 = 3，由 = 2 sin =
3
4 =
2 3 8
3 ，得 = 3．
2 3 4 3
由余弦定理，得 2 = 4 = 2 + 2 2 cos = ( + )2 3 ，所以 + = 2 3，从而 = 3 或 = 3 ．
= 2 3 = 4 3因此，选条件③时，问题中的三角形存在，且 3 或 3 ．
17.【详解】(1)由 2 × 2 联表可知，
2 = 100×(40×25 25×10)
2 900
50×50×65×35 = 91 ≈ 9.890 > 6.635，
所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，能认为理性购物者”与性别有关．
(2)由题可得，购物总金额在[3000,4000)内，优惠 300 × 3 = 900 元，购物总金额在[4000,5000)内，优惠
300 × 4 = 1200 元，
则随机变量 的所有可能取值为 1800，2100，2400，
( = 1800) = 1 2 12 × 3 = 3，
( = 2100) = 1 × 1 + 1 × 2 12 3 2 3 = 2，
( = 2400) = 1 1 12 × 3 = 6，
所以 的分布列为
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1800 2100 2400
1 1 1
3 2 6
1 1 1
所以 ( ) = 1800 × 3 + 2100 × 2 + 2400 × 6 = 2050．
18.【详解】解：(1)因为四边形 为矩形，所以 // ， 平面 ， 平面 ．
所以 //平面 ．
又 平面 ，平面 与平面 的交线为 ，所以 // ．
因为 ⊥ ，平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 ⊥平面 ，所以 ⊥平面 ．
(2)设 的中点为 ， 的中点为 ， 的中点为 ，则 , , 两两垂直，以 为坐标原点， , ,
的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，
设 = ( > 0)，则点 的坐标为(1,0, )，点 的坐标为( 1,0, )．
作 ⊥ 1 3，交 于点 ，在 Rt 中， = 2 , = 2 ，
1 3 1 3 3 3所以点 的坐标为( , , 0)，点 的坐标为( , , 0)，所以 = ( , , ), 2 2 2 2 2 2 = (
1
2 ,
3
2 , )．
3 3
= 0 + = 0
设平面 的法向量为 1 = ( , , )，则 1 ，即 2 2 , 1 = 0 1
2 +
3
2 = 0
令 = 3，解得 = 0, = 2 ，所以平面 的一个法向量为 1 = (0,2 , 3).取平面 的一个法向量为
2 = (0,0,1)，
因为二面角 的大小为 60° cos60° = | 1 ，所以 2| 1 |0+0+ 3|| | | |，即1 2 2
= ，
4 2+3×1
3
解得 = 2 (
3
负值不合题意，已舍去)，所以线段 的长度为2．
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19.【详解】(1)设圆心 ( , )，由题意得： 2 + ( 1)2 = | + 1|，化简整理得： 2 = 4 ，
所以曲线 的方程为： 2 = 4 ．
2
(2)(ⅰ)设 1, 1 ， 2,
′
2 ，因为 = 4，所以 =

2，
∴直线 的方程为： = 12 1 + 1，即 =
1
2 1
1
4
2
1，令 = 0，得到 =
1
2，
1 1
同理可得直线 的方程为： = 22 2 4 2，令 = 0 =

，得到 22，
1
= 2
1
1 4
2
1 2 1∴ ,0 , 0 = 1+ 22 ， 2 ，联立 = 1 1
，消 解得 ，
2 22 2 4 2
所以 1+ 22 , 1 ，
又 (0,1)，∴ + = 12 , 1 +
2
2 , 1 =
1+ 2
2 , 2 = ，
所以四边形 为平行四边形；
(ⅱ)由(ⅰ)知直线 的方程为 = 12 1
1
4
2 1
1，又 21 = 4 1，所以2 1 1 = 0，即 1 2 2 1 = 0，
同理可知直线 的方程为 2 2 2 2 = 0，又因为 在直线 ， 上，设 0, 1 ，则有
1 0 2 1 + 2 = 0
2 0 2
,
2 + 2 = 0
所以直线 的方程为： 0 2 + 2 = 0，故直线 过点 (0,1)，
∵四边形 为平行四边形，∴ // ， // ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ = = = = ， ， ， ，
∴ = ，
∵ 1 =
1
2 | || |sin∠
1
， 2 = 2 | || |sin∠ =
1
， 3 2 | ‖ |sin∠ ，
2 1
2
2 2| || |sin∠ ∴ = = (| | | |)
2
= | | | | = 1．1 3 12| || |sin∠
1
2| ‖ |sin∠ | | | | | | | |
| | | |
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