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2024-2025 学年江苏省南京市雨花台中学高二年级下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设 , ∈ R,向量 = (1, , ), = (2, 4,2), // ,则 + =( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2.若随机变量 的分布如下表：
2 1 1 2 3
0.2 0.1 2 0.25
则 | | < 2 的值为( )
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.55 D. 0.85
3.若函数 ( ) = ( )2在 = 3 处取得极小值，则实数 的值为( )
A. 3 B. 6 C. 9 D. 3 或 9
4 1.盒中有 10 个玩具，其中有 3 个是坏的，先从盒中随机地抽取 4 个，则下列事件概率是6的是( )
A.恰有 1 个是坏的 B. 4 个全是好的 C.恰有 2 个是坏的 D.至多有 2 个是坏的
5 ( 1.若 3 2 ) 2 2 二项展开式中各项的二项式系数只有第 6 项最大，则展开式的常数项的值为( )
A. 840 B. 252 C. 210 D. 210
6.用 种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四个区域中相邻的区域(有公共边界)涂不同的
颜色，若涂色共有 840 种不同的方法，则 的值为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
7.五一假期期间，一家 6 人(4 名大人和 2 名小孩)在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三
人；每列站在后排的人比站在前排的人高，并且两名小孩都站在前排.已知 6 人的身高各不相同，任何一名
大人都比任何一名小孩高，则不同的排法共有( )
A. 48 种 B. 72 种 C. 90 种 D. 108 种
8.已知函数 ( ) = ln + 2, 0是函数的极值点，下列结论中正确的是( )
A. 0 >
1
e B. 0 > 0 C. 0 + 0 > 0 D.
1
0 + 2 0 > 10
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，真命题有( )
A. 1若随机变量 ～ (4, 3 ),则 ( ) =
4
3
B.若随机变量 ～0 1，且 ( = 0) = 3 4 ( = 1) = ,则 = 13
C.若随机变量 ～ (2, 2), ( > 1) = 0.68,则 (2 ≤ < 3) = 0.18
D.若事件 , 满足 0 < ( ), ( ) < 1 且 ( ) = ( ) [1 ( )],则 与 独立
10.已知(2 )(1 2 )5 = 0 + 1 + 2 + 3 4 5 62 3 + 4 + 5 + 6 ,则( )
A. 0的值为 2
B. 5的值为 64
C. ( 0 + 2 + 4 + 2 26) ( 1 + 3 + 5) 的值为 36
D. 6 6 =0 (2 ) = 0
11.如图，在边长为 2 的正方体 — 1 1 1 1中，点 在线段 1 上运动，则下列结论正确的是( )
A. 1 ⊥
B. + 的最小值为 6 + 3
C.三棱锥 41 的体积是定值3
D. 1不存在点 使直线 1 与直线 夹角的余弦值为4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知数列{ }的前 项和 = 2 + 1，则数列{ }的通项公式是 ．
13 3.高二年级甲，乙两班进行拔河比赛，比赛采用 3 局 2 胜制，如果每局比赛甲班获胜的概率为5，乙班获
2
胜的概率为5，且各局比赛结果相互独立，那么在甲班获胜的条件下，比赛进行了 3 局的概率为 ．
1
14.若 ∈ (0, + ∞), e ≥ + 1 ln 恒成立，则实数 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知等差数列{ }和等比数列{ }满足： 1 = 1 = 1, 2 + 4 = 10, 2 4 = 13.
(1)求{ }的通项公式；
(2)求 = 1 + 3 + 5 + + 2 1.
16.(本小题 15 分)
已知 ， 是正整数， ( ) = (1 + ) + (1 + ) 的展开式中 的系数为 11．
(1)试求 ( )中 2的系数的最小值；
(2)对于使用 ( )中 2的系数为最小的 ， ，求出此时 3的系数；
(3)利用上述结果，求 (0.003)的近似值(精确到 0.001)．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = + ln( + 1).
(1)当 = 1 时，求曲线 = ( )在 = 1 处的切线方程；
(2)讨论 ( )的单调性．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ， ⊥ , // , = 12 = = 1, 为棱
的中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)若 = 5, = 1,
( )求二面角 6的正弦值；( )在线段 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离是 4 ？若存在，
求出 的值；若不存在，说明理由．
19.(本小题 17 分)
雨花台中学的办学特色是“红色文化引领、科学教育见长”，在刚刚结束的校园科技节活动中，全校同学
参加了科技知识竞赛活动，为了解学生对有关科技知识的了解情况，采用随机抽样的方法抽取了 500 名学
生的成绩进行调查，成绩全部分布在 75—145 分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如
图所示．
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(1)由频率分布直方图可认为这次全校同学的成绩 近似服从正态分布 ( , 2)，其中 为样本平均数(同一组
数据用该组数据的区间中点值作代表)， = 13.现从我校所有参赛的学生中随机抽取 20 人进行座谈，设其
中竞赛成绩超过 122.2 分的人数为 ，求随机变量 的数学期望．
(2)现决定组织知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有 20 个关卡，每个
关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整.第二关开始，若前一关未通过，则其通过
1 1 4
本关的概率为2；若前一关通过，则本关通过的概率为3 .已知甲同学第一关通过的概率为5．
( )求该同学第二关通过的概率；
( )记甲同学通过第 关的概率为 ,当 ≥ 2 时， ≤ 恒成立，求 的最小值．
附：若随机变量 服从正态分布 ( , 2),则 ( < ≤ + ) ≈ 0.6827, ( 2 < ≤ + 2 ) ≈
0.9545, ( 3 < ≤ + 3 ) ≈ 0.9973.
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
2, = 1
12. = 2 1, ≥ 2 且 ∈
13.49
14. ≥ 1
15.解：(1)设等差数列{ }的公差为 ，
由题意知 1 = 1,且 2 + 4 = 10.根据等差数列通项公式： = 1 + ( 1) ，
代入条件得 2 = 1 + , 4 = 1 + 3 ，因此(1 + ) + (1 + 3 ) = 10 2+ 4 = 10 = 2.
故通项公式为 = 1 + ( 1) 2 = 2 1.
(2)设等比数列{ }的公比为 ，
由题意知 1 = 1,且 2 4 = 13.根据题意， 13 = 2 × 13 1 = 25.
由等比数列通项公式： 1 3 = ,因此 2 = , 4 = .由条件得 3 = 4 = 25 2 = 5,
数列 1, 3, 5, , 2 1为等比数列，首项为 1，公比为 2 = 5.
1 (5 = 1) 5

= 1前 项和为 5 1 4 .
16.解：(1)根据二项式定理， 项的系数为C1 + C1 = + = 11.
需要找到使得 2项系数C2 + C2 最小的正整数 和 .将 = 11 代入，
C2 + C2 = ( 1) + (11 )(10 ) 2
2
= 22 +110得到 2 11 2 2 2 = 11 + 55,
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= 11该二次函数的顶点位于 2 = 5.5,
因此当 = 5 或 = 6 时取得最小值.此时对应的 = 6 或 = 5,
计算得C2 + C25 6 = 10 + 15 = 25,故 2项的系数最小值为 25．
(2)当 = 5， = 6 时， 3项的系数为C3 + C35 6 = 10 + 20 = 30.
(3)展开 ( ) = (1 + )5 + (1 + )6至三次项：(1 + 0.003)5 ≈ 1+ 5 × 0.003 + 10 × (0.003)2 + 10 ×
(0.003)3,
(1 + 0.003)6 ≈ 1+ 6 × 0.003 + 15 × (0.003)2 + 20 × (0.003)3,
相加后得到：2 + 11 × 0.003 + 25 × (0.003)2 + 30 × (0.003)3,
计算各项：2 + 0.033 + 0.000225 + 0.00000081 ≈ 2.03322581,
考虑更高次项的影响，发现对小数点后第三位无影响，故近似值为 2.033．
17.解：(1)函数 ( ) = + ln( + 1)的定义域为[0, + ∞),
当 = 1 时， ( ) = + ln( + 1),
则 ′( ) = 1 12 + +1 ,则 (1) = 1 + ln2,
′(1) = 1,
所以曲线 = ( )在 = 1 处的切线方程为 (1 + ln2) = 1,即 = + ln2.
(2)函数 ( )的定义域为[0, + ∞),
1 2 +1 ( )2 2 +1
′( ) = 2 + 1 = 2( + 1) = 2( + 1) , > 0.
①当 ≤ 1 时，因为 > 0,所以 ′( ) ≥ 0,所以函数 ( )在[0, + ∞)上单调递增．
2 2 2
②当 > 1 时，令 ′( ) = 0,则 = ± 2 1 .当 > + 2 1 或 0 < < 2 1 时，
′( ) > 0.
2 2 2 2当 1 < < + 2 1 时， ′( ) < 0.所以函数 ( )在 0, 2 1 和 +
2 2 2 2 1 , + ∞ 上单调递增，在 2 1 , + 2 1 上单调递减．
综上所述，当 ≤ 1 时，函数 ( )在[0, + ∞)上单调递增；
2 2 2
当 > 1 时，函数 ( )在 0, 2 1 和 + 2 1 , + ∞ 上单调递增，在 2 1 , +
2
2
1 上单调递减．
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18.解：(1)取 的中点 ，连接 ， ，如图所示：
∵ 为棱 的中点，∴ // , = 12 .
1
∵ // , = 2 , ∴ // , = .
∴四边形 是平行四边形，∴ // ,
又 平面 ， 平面 ，∴ // 平面 ．
(2) ∵ = 5, = 1, = 2, ∴ 2 = 2 + 2, ∴ ⊥ ,
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
又 , 平面 ，∴ ⊥ , ⊥ ,又 ⊥ , ∴以点 为坐标原点， , ,
所在直线分别为 , , 轴建立直角坐标系，如图，
则 (0,0,1), (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0).
∵ 为棱 1的中点，∴ (0,1, 2 ), (1,1,0).
( ) = (0,1, 1 ), 2
= (1,1,0),设平面 的一个法向量为 = ( , , ),则
= + 12 = 0 ,令 = 2,则 = 1, = 1. ∴ = (1, 1,2),
= + = 0
平面 的一个法向量为 = (1,0,0),
6
根据图形得二面角 为钝角，则二面角 的余弦值为 6 ，
2
1 6 = 30所以二面角 的正弦值为 6 6 ．
( ) 6假设在线段 上存在点 ，使得点 到平面 的距离是 4 ，
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设 = , 0 ≤ ≤ 1,则 ( , 0,1 ), = ( 1, 1,1 ).
由( )知平面 的一个法向量为 = (1, 1,2), = 1 + 1 + 2(1 ) = 2 .
∴点 到平面 的距离是
2 6 1
, ∴ = ,
1 1
12 2
2 2
+ 1 , ∴ = .
= = = = = 6 4 2 2 2 2 2
19.解：(1)因为 = 80 × 0.05 + 90 × 0.12 + 100 × 0.19 + 110 × 0.3 + 120 × 0.2 + 130 × 0.12 + 140 ×
0.2 = 109.2，
则 109.2, 132 ，所以 ( > 122.2) = ( > + ) = 1 ( < ≤ + )2 = 0.15865，
由题知 (20,0.15865)，所以 ( ) = = 20 × 0.15865 = 3.173．
(2)( ) 4 4由题知，甲同学第一关通过的概率为5，即 1 = 5
1 1 1 4 1 4 11
所以第二关通过的概率为 2 = 3 1 + 2 (1 1) = 3 × 5 + 2 × (1 5 ) = 30．
( ) 4记甲同学第 ( ∈ N )关通过为事件 ，依题意有 1 = 5，
1 1
当 ≥ 2 时， ( | 1) = 3 , ( | 1) = 2 , = ( )，
所以 ( ) = ( 1) ( | 1) + ( 1) ( | 1)，
= 1 1 1 1所以 3 1 + 2 (1 1) = 6 1 + 2，
所以
3 1 3 4 3 13
7 = 6 1 7 ，又因为 1 = 5，则 1 7 = 35 ≠ 0，
3 13 1所以数列 7 是首项为35，公比为 6的等比数列，
3 13 1 1
所以 = 7 + 35 6 ，
= 3 + 13 1
1
= 3 + 13 1
1
当 为奇数时， 7 35 6 7 35 6 ，
4
则 随着 的增大而减小，所以 ≤ 1 = 5，
1 1
当 = 3 + 13 1 = = 3 13 1 3为偶数时， 7 35 6 7 35 6 < 7，
3 4 3
又7 < 5，所以 的最小值为7．
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