资源简介

2024-2025 学年江苏省南京市宁海中学高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在( 1)5的展开式中，含 4的项的系数是( )
A. 10 B. 5 C. 5 D. 10
2.设随机变量 的概率分布列如表所示，则 (| 3| = 1) =( )
2 3 4
1 1
4 6
A. 1 B. 5 C. 1 D. 34 12 2 4
3.抛掷一枚骰子，当出现 6 点时，就说试验成功，则在 30 次试验中成功的次数 的均值为( )
A. 8 B. 10 C. 5 D. 6
4.在平行六面体 1 1 1 1中， 为 1 1与 1 1的交点．若 1 1 = , 1 1 = , 1 = ，则下列向
量中与 相等的是( )
A. 12 +
1 2 + B.
1 + 1 2 2
C. 1 1 2 2 + D.
1 1
2 2 +
5.由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春：未来科学大奖获奖
者对话青少年活动于 2023 年 9 月 8 日在全国各地以线上线下结合的方式举行.现有某市组织 5 名获奖者到
当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至多派两名获奖者，每名获奖者只去一个会场，
则不同的派出方法有( )
A. 60 种 B. 90 种 C. 150 种 D. 180 种
6.已知点 (1,0,2), ( 1,1,2), (1,1, 2)，则点 到直线 的距离是( )
A. 2 5 B. 1055 5 C.
5
5 D. 5
7.某校高二数学期末考试成绩 近似服从正态分布 95, 2 ，且 (80 < < 110) = 0.68，已知该校高二数
学期末考试成绩超过 80 分的人数有 420 人，则( )
A.估计该校高二学生人数为 520．
B.估计该校高二学生中成绩不超过 95 分的人数为 280．
C.估计该校高二学生中成绩介于 80 到 95 分之间的人数为 170．
D.在该校高二学生中任取 1 人，其成绩低于 70 分的概率大于超过 120 分的概率．
第 1页，共 8页
8.如图，在杨辉三角形中，斜线 的上方从 1 按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：
1,3,3,4,6,5,10, …，记此数列的前 项之和为 ，则 32的值为( )．
A. 452 B. 848 C. 984 D. 1003
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B.若 > 0，则 , 是锐角
C.已知向量 , , 组是空间的一个基底，则 2 , , 也是空间的一个基底
D.若对空间中任意一点 ，有 = 1 + 1 + 2 12 4 3 ，则 , , , 四点共面
10.如图，在四棱锥 π中，底面 为平行四边形，∠ = 3， = 2 = 2 ， ⊥底面 ，
则( )．
A. ⊥
B. π与平面 所成角为6
C. 5异面直线 与 所成角的余弦值为 5
D.二面角 21的正弦值为 7
11.以石墨烯电池、量子计算、 等颠覆性技术为引领的前沿趋势，正在或将重塑世界工业的发展模式，对
人类生产力的创新提升意义重大，我国某公司为了抢抓机遇，成立了 、 、 三个科研小组针对某技术难题
同时进行科研攻关，攻克技术难题的小组会受到奖励．已知 、 、 三个小组攻克该技术难题的概率分别为
1 1 2
2，2，3，且三个小组各自独立进行科研攻关．下列说法正确的( )
第 2页，共 8页
A. 1 1三个小组都受到奖励的概率是6 B.只有 小组受到奖励的概率是2
C. 2 5只有 小组受到奖励的概率是11 D.受到奖励的小组数的期望值是3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (1, , 2)， = ( 3,6, )，若 ， ， 三点共线，则 =
13.某批麦种中，一等麦种占 90%，二等麦种占 10%，一、二等麦种种植后所结麦穗含有 50 粒以上麦粒的
概率分别为 0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有 50 粒以上麦粒的概率为 ．
14.定义：设 ， 是离散型随机变量，则 在给定事件 = 条件下的期望为 = = =1 =
| = = = , = =1 ( = ) ，其中 1, 2, , 为 的所有可能取值集合， ( = , = )表示事件
“ = ”与事件“ = ”都发生的概率．某日小张掷一枚质地均匀的骰子，若掷出 1 点向上两次时即停
止．设 表示第一次掷出 1 点向上时的投掷次数， 表示第二次掷出 1 点向上时的投掷次数，则
= 4 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知(2 3)7 = 70( 1) + 1( 1)6 + + 6( 1) + 7．
(1)求 0 + 1 + 2 + + 7；
(2)求 0 7．
16.(本小题 15 分)
袋中有大小相同的小球 10 个，其中黑球 3 个，红球 个，白球(7 )个， ∈ N .从中任取 2 个球，至少有
1 7个红球的概率为9．
(1)任取 3 球，求取出的球中恰有 2 球同色的概率；
(2)任取 2 球，取到 1 个红球得 2 分，取到 1 个白球得 0 分，取到 1 个黑球得 1 分，求总得分 的概率分
布列及数学期望 ( )．
17.(本小题 15 分)
如图，四面体 中， ⊥ ， = ，∠ = ∠ ， 为 的中点．
第 3页，共 8页
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)设 ⊥ ， = 1，∠ = 60°，点 在 上，若 与平面 4 3所成的角的正弦值为 7 ，求此时
点的位置．
18.(本小题 17 分)
为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓球比赛．决赛采用三局二胜制的比赛规则(先赢得 2 局的队伍获胜并
结束比赛).已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛中甲队获胜的概率为 (0 < <
1)，乙队获胜的概率为 1 ，每局比赛的结果互不影响．
(1) 2若 = 3，求乙队以 2：0 获胜的概率；
(2) = 2若 3，比赛结束时甲队获胜的局数记为 ，求 的期望；
(3)若比赛打满 3 局的概率记为 ( )，请直接写出 ( )的最大值及此时 的值，并解释此时的实际意义．
19.(本小题 17 分)
1
数轴上的一个质点 从原点出发，每次随机向右或向左移动 1 个单位长度，其中向右移动的概率为 > 2 ，
向左移动的概率为 1 ，记质点 移动 次后所在的位置对应的实数为 ．
(1)当 = 23， = 10 时，质点 在哪一个位置的可能性最大，并说明理由；
(2)求证： 的数学期望 ≥ 0．
第 4页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 8
13.0.56/1425
14.2
15.解：(1)令 = 2，得 0 + 1 + 2 + + 7 = (2 × 2 3)7 = 1．
(2)令 = 1，得 7 = (2 × 1 3)7 = 1，
(2 3)7 = [2( 1) 1]7 = ( 1)70 + 1( 1)6 + + 6( 1) + 7
( 1)7的系数 0 7 00 = C72 ( 1) = 128，
所以 0 7 = 129．
2
16. (1)1 C10 = 7解： 2 ，得 = 5，C10 9
故黑球 3 个，红球 5 个，白球 2 个，
事件 A：取出的 3 球中恰有 2 球同色，则
C2C1 C2C1 C2C1 79
( ) = 3 7 + 5 5 + 2 8 =
C3 3 310 C10 C10 120
(2) = 2, 1,0,1,2,4．
C23 1 C1C1 2 ( = 2) = 2 = 15 , ( = 1) =
3 2
C 2
=
10 C10 15
第 5页，共 8页
C2 1 1
( = 0) = 2
1 C C 1
2 = , ( = 1) =
3 5
C 2
=
10 45 C10 3
C1C1 2 C2 2
( = 2) = 5 2 = , ( = 4) = 5 =
C2 9 C210 10 9
的概率分布列

2 1 0 1 2 4
1 2 1 1 2 2
15 15 45 3 9 9
( ) = 2 × 115+ ( 1) ×
2 + 1 × 1 + 2 × 2+ 4 × 2 = 63 = 715 3 9 9 45 5．
17.解：(1)因为 = ， 为 的中点，所以 ⊥ ，
在 和 中 = , ∠ = ∠ , = ，
所以 △ ，所以 = ，又 为 的中点，
所以 ⊥ ，又 , 平面 ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ．
(2)因为 △ ，则 = ， = ，
由∠ = 60°且 = ，所以 是等边三角形，
由 ⊥ 且 = ， 为 的中点，
所以，在等腰直角 中 = = = 1，则 = 3，
故 ⊥ ，又 ⊥ 且 ⊥ ，
以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 (1,0,0), 0, 3, 0 , (0,0,1)，所以 = ( 1,0,1), = 1, 3, 0 ， = 0, 3, 1 ，

设面 的一个法向量为 = ( , , ) = + = 0，则

，取 = 3，则 = 3, 3, 3 ，
= + 3 = 0
又 ( 1,0,0)， = (1,0,1)，
设 = = 0, 3 , ， ∈ [0,1]，
所以 = + = 1, 3 , 1 ，
设 与平面 所成的角的正弦值为 0 ≤ ≤ π2 ，
因为 sin = cos , = 4 37 ，
第 6页，共 8页

cos , = = |3+3 +3 3 | = 4 3所以 ，
21× 1+3 2+(1 )2 7
所以(4 1)2 = 0 1，解得 = 4，
所以 为 的四等分点且靠近 点位置．
18.解：(1)乙队以 2: 0 获胜意味着乙队在前两局中均获胜.乙队每局获胜的概率为 1 ，因此乙队以 2: 0 获
胜的概率为：
(乙队 2: 0 获胜) = (1 )2.
代入 = 23，得：
2 2 1 2 1
(乙队 2: 0 获胜) = 1 3 = 3 = 9 .
(2)比赛结束时甲队获胜的局数 的可能取值为 0、1 或 2.计算各情况的概率如下：
= 0：甲队一局未胜，即乙队以 2: 0 获胜，概率为 ( = 0) = (1 )2．
= 1：甲队仅胜 1 局，乙队胜 2 局，可能的情况有两种(甲胜第 1 局或第 2 局)，概率为：
( = 1) = 2 (1 )2.
= 2：甲队胜 2 局，可能的情况有两种(甲胜前 2 局或前 2 局胜 1 局)，概率为：
( = 2) = 2 + 2 2(1 ) = 2(3 2 ).
因此， 的期望为：
( ) = 0 × ( = 0) + 1 × ( = 1) + 2 × ( = 2),
代入 = 23，得：
1 2 1 2 2 2 4
( ) = 0 × 9+ 1 × 2 × 3 × 3 + 2 × 3 × 3 3 .
( ) = 44化简后得 27．
(3)比赛打满 3 局的概率 ( )表示比赛进行到第 3 局才分出胜负．
第 7页，共 8页
这种情况发生当且仅当前两局双方各胜 1 局，因此： ( ) = 2 (1 ).
将 ( ) 1视为关于 的函数，其最大值出现在 = 2处，最大值为：
1 1 1 1
2 = 2 × 2 × 1 2 = 2 .
实际意义是当甲、乙两队实力相当时，比赛打满 3 局的概率最大．
19. 2解：(1)当 = 3， = 10 时，不妨设质点 向右移动 次，向左移动(10 )次的概率为 ，此时 =
C 1
10 2 1 1 11 2 1
10 3 3 ，而 1 = C10 3 3 ，
22
所以 = 2． 1
当 ≤ 7 时， > 1，则 随着 值的增大而增大；
当 > 7 时， < 1，则 随着 值的增大而减小．
当 = 7 时， 取得最大值，故质点 所在的位置对应的实数应为 4．
(2)若质点 移动 次中一共向右移动 次，则 = ( ) = 2 ．
所以 = 2 = C (1 ) ， = 0,1,2, , ．
若质点 移动 次中一共向左移动 次，则 = ( ) = 2 ．
所以 = 2 = C (1 ) ， = 0,1,2, , ．
所以 = =0 ( 2 )C
(1 ) =

=0 ( 2 )C

(1 ) ，
所以 2 = =0 (2 )C
(1 ) + ( 2 )C (1 )
= =0 ( 2 )C
(1 ) 2 (1 )2 ，
当 2 ≤ 0 时， 2 ≤ (1 )2 ；
当 2 ≥ 0 时， 2 ≥ (1 )2 ．
所以 2 = 2 2 =0 ( 2 )C (1 ) (1 ) ≥ 0，
即 ≥ 0．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑