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2024-2025 学年江苏省南京市南京外国语学校高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 = | = .设 2 , ∈ Z , = | = +
1
2 , ∈ Z ，则( )
A. B. C. = D. ∩ =
2.设 为复数，则下列命题中错误的是( )
A. | |2 = B.若| | = 1，则 + i 的最大值为 2
C. 2 = | |2 D.若| 1| = 1，则 0 ≤ | | ≤ 2
3.20 个不加区别的小球放入编号为 1、2、3 的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不
同的放法种数共有( )
A. 120 B. 240 C. 300 D. 360
4.已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋，红色口袋内装有两个红球，一个绿球和一个黄球；
绿色口袋内装有两个红球，一个黄球；黄色口袋内装有三个红球，两个绿球(球的大小质地相同).若第一次
先从红色口袋内随机抽取 1 个球，然后将取出的球放入与球同颜色的口袋内，第二次从该口袋内任取一个
球，则第二次取到黄球的概率为( )
A. 1 16 B. 4 C.
5 11
48 D. 48
5.在(2 + + 3 )6的展开式中 3 2项的系数为( )
A. 360 B. 540 C. 720 D. 1080
6.空间四边形 中， = = = = = = ， ， 分别是 与 的中点，则异面直线 ，
所成角的余弦值大小为( )
A. 15 B.
2 2 3
5 C. 3 D. 4
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7.从 1，2，3，…，10 这 10 个数中任取 5 个不同的数 1， 2， 3， 4， 5，则存在 1 ≤ < ≤ 5， ， ∈ ，
使得| | = 1 的取法种数为( )
A. 176 B. 225 C. 246 D. 252
8.在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， ， ， 分别是棱 ， 1， 1的中点，过 作平面 ，使
得 1 // ，则点 到平面 的距离是( )
A. 17 3 17 5 17 7 1717 B. 17 C. 17 D. 17
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 cos2 + cos2 = 2cos2 ，则 cos 的值可以为( )
A. 32 B.
2 C. 1 D. 12 2 2
2 2
10.椭圆 : + 8 4 = 1 的两个焦点分别为 1， 2， 为坐标原点，以下说法正确的是( )
A. 2椭圆 的离心率为 2
B.椭圆 上不存在点 ，使得 1 2 = 0
C.过点 2的直线与椭圆 交于 ， 两点，则 1的面积最大值为 4 2
D. 8 4定义曲线 : 2 + 2 = 1 为椭圆 的伴随曲线，则曲线 与椭圆 无公共点
11.如图，在正方体 1 1 1 1中，点 在线段 1 (包括端点)上运动，则下列结论正确的是( )
A.直线 1 ⊥直线 1
B.三棱锥 1 1 的体积为定值
C. π π异面直线 与 1 所成角的取值范围是[ 4 , 2 ]
D. 6直线 1 与平面 1 1 所成角的正弦值的最大值为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若(2 1)5 = 0 + 1( 1) + ( 1)22 + 3( 1)3 + ( 1)44 + 5( 1)5，则 3的值为 ．
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13.如图，有两堆同样的盒子，一堆 3 个，一堆 7 个，现需要将这些盒子搬走，每次只能从其中一堆搬走最
上面的一个盒子，共有 种不同的搬法．(用数字作答)
14.15 个人围坐在圆桌旁，从其中任取 4 人，两两不相邻的概率是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在 中，已知( + + )( + ) = 3 ．
(1)求角 的度数；
(2)求 2cos2 + cos( )的取值范围．
16.(本小题 15 分)

已知函数 ( ) = +1， 为正常数．
(1)若 ( ) = ln + ( )，且 = 92，求函数 ( )的单调增区间；
(2)若 ( ) = ln + ( )，且对任意 1, 2 ∈ (0,2],
( ) ( )
1 ≠ 2，都有 2 1 < 1，求 的取值范围．2 1
17.(本小题 15 分)
已知设⊙ 1，⊙ 2，…，⊙ 是圆心在抛物线 = 2上的一系列圆，它们圆心的横坐标分别记为 1， 2，…，
= 1 ，已知 1 4， 1 > 2 > … > > 0，⊙ ( = 1,2,3, …, )都与 轴相切，且顺次逐个相邻外切．
(1)求 2；
(2)求由 1， 2，…， 构成的数列 的通项公式；
(3)求证： 21 + 22 + … + 2 <
1
4．
18.(本小题 17 分)
如图1， 是底边为2 的等腰三角形，且 = = 3， 为等腰直角三角形，∠ = 90°，将
沿 翻折到 的位置，且点 不在平面 内(如图 2)，点 为线段 的中点．
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(1)证明： ⊥ ；
(2)当平面 ⊥平面 时，求直线 与平面 所成角的余弦值；
(3) 6若直线 与 所成角的余弦值为 4 时，设平面 与平面 的夹角为 ，求 cos 的值．
19.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 : 2 +

2 = 1( > > 0)
3
的离心率为 3 ，左、右顶点分别为 、 ，点 、 为椭圆上异于 、 的两
点， 面积的最大值为 6．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 、 的斜率分别为 1、 2，且 1 = 2 2．
①求证：直线 经过定点；
②设 和 的面积分别为 1、 2，求| 1 2|的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.80
13.120
14.3091
15.(1)由( + + )( + ) = 3 ，得 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2 1 π
由余弦定理得 cos = 2 = 2，且 为三角形内角，故 = 3．
(2) 2π 2π由(1)知 + = 3 ，则 2cos
2 + cos( ) = 1 + cos2 + cos(2 3 )，
= 1 + cos2 12 cos2 +
3
2 sin2 = sin(2 +
π
6 ) + 1，
2π π π 3π
由 0 < < 3 ，得6 < 2 + 6 < 2 1 ≤ sin(2 +
π
6 ) ≤ 1，
所以 2cos2 + cos( )的取值范围为[0,2]．
2
16.(1) ′( ) = 1 = +(2 ) +1 ( +1)2 ( +1)2 ，
∵ = 92，令
′( ) > 0，得 > 2 1，或 < 2，
∴函数 ( ) 1的单调增区间为(0, 2 )，(2, + ∞)．
(2) ∵ ( 2) ( 1) < 1 ∴ ( 2) ( 1) ， + 1 < 0，2 1 2 1
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∴ ( 2)+ 2 [ ( 1)+ 1] < 0，……………………8 分2 1
设 ( ) = ( ) + ，依题意， ( )在(0,2]上是减函数．
当 1 ≤ ≤ 2 时， ( ) = ln + +1 + ，
′( ) = 1 ( +1)2 + 1，
( +1)2 1
令 ′( ) ≤ 0，得： ≥ + ( + 1)
2 = 2 + 3 + + 3 对 ∈ [1,2]恒成立，
1 1
设 ( ) = 2 + 3 + + 3，则
′( ) = 2 + 3 2，
∵ 1 ≤ ≤ 2 1，∴ ′( ) = 2 + 3 2 > 0，
∴ ( )在[1,2]上是增函数，则当 = 2 时， ( ) 27有最大值为 2，
∴ ≥ 272．
当 0 < < 1 时， ( ) = ln + +1 + ，
′( ) = 1

( +1)2 + 1，
( +1)2
令 ′( ) ≤ 0，得： ≥ + ( + 1)
2 = 2 + 1 1，
设 ( ) = 2 + 1 ′ 1，则 ( ) = 2 + 1 +
1
2 > 0，
∴ ( )在(0,1)上是增函数，∴ ( ) < (1) = 0，
∴ ≥ 0，
27
综上所述， ≥ 2．
17.(1) 1 1 1由题设 ( 2 4 )
2 + ( 2 22 16 ) = 16 +
2
2，整理得(2 2 1)(6 2 1) = 0，
∴ = 1 12 2或 2 = 6，又 1 > 2 > … > > 0，则
1
2 = 6；
(2)由题意知： 2 2 2 = = = ， 1 = 1，
所以 ( , 2 1 1 1)， 2 ( , )，且| 1 | = 1 + ，
∴ ( 2 2 2 2 2 2 1 ) + ( 1 ) = 1 + ，两边平方，整理得( 2 2 2 1 ) = 4 1 ，
∵ 1 > > 0，
∴ 1 = 2 1 ，
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∴ 1
1 = 2，
1
1
故 是以 4 为首项，公差为 2 的等差数列，
∴ 1 = 4 + 2( 1) = 2 + 2，
∴ =
1
2 +2；
(3) ∵ 2 =
1
4
1 1 1 1 1 1
( +1)2 < 4 ( +1) = 4 ( +1 )，
∴ 2 + 2 + … + 2 < 1 ( 1 1 ) = 1 (1 1 ) = 1 1 11 2 =1 4 +1 4 +1 4 4( +1) < 4．
18.(1)取 中点为 ，连接 ， ，
∵ = ， = ，
∴ ⊥ ， ⊥ ，
又 ∩ = ， 、 平面 ，
∴ ⊥平面 ，又 平面 ，
∴ ⊥ ．
(2) ∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， ⊥ ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，易知 ， ， 两两互相垂直，
以 为原点，以{ , , }为基底，建立空间直角坐标系，
∴ (1,0,0)， (0, 2, 0)， ( 1,0,0)， (0,0,1)， (0, 2 1 ，2 , 2 )
∴ = (0, 2, 1)， = (2,0,0)， = (1, 2 12 , 2 )，
= 2 1 = 0
设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)，则 , = 2 11 + 2 1 + 2 1 = 0
取 1 = 1，得 = (0, 1, 2)，

∴ cos , = 2 2 2 2
|
= = ，
| | | 3× 3 3
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设直线 与平面 所成角为 ，则 sin = 2 23 ，又 ∈ [0,
π
2 ]，
∴ 2 2直线 与平面 所成角的余弦值为 3 ．
(3)以 为原点，以 为 轴， 为 轴，垂直于平面 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
∵ 为等腰三角形， = = 2，
∴ = 1，则 (1,0,0)， (0, 2, 0)， ( 1,0,0)，
设∠ = ，则 (0, cos , sin )，则 = ( 1, cos , sin )， = ( 1, 2, 0)，

|cos , | = |
1 2cos 6
故
| ||
| = | | = ，
| 2× 3 4
∴ cos = 24 或 cos =
5 2 π
4 (舍)，又 ∈ [0, 2 ]，
∴ cos = cos = 24 ．
19.(1)当点 为椭圆 短轴顶点时， 的面积取最大值，
1
且最大值为2 | | =
1
2 × 2 = = 6，
= 3 3 = 3
由题意可得 = 6，解得 = 2 ,
2 = 2 2 = 1
2 2
∴ 椭圆 的标准方程为 3 + 2 = 1．
(2)
①证明：设点 ( 1, 1)、 ( 2, 2)，
若直线 的斜率为零，则点 、 关于 轴对称，则 1 = 2，不合乎题意；
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设直线 的方程为 = + ，由于直线 不过椭圆 的左、右顶点，则 ≠± 2，
= +
联立 22 2 + 3 2 = 6，消去 可得(2 + 3)
2 + 4 + 2 2 6 = 0，
由 = 16 2 2 4(2 2 + 3)(2 2 6) = 24(2 2 2 + 3) > 0，得 2 2 2 + 3 > 0，
2
由韦达定理可得 1 + =
4 2 6
2 2 2+3， 1 2 = 2 2+3，
= 3
2
则 1 2 2 ( 1 + 2)，
1 1 2 3 ( 2 + 3) 1 1 + ( 3) ∴ = = = 2 1 2 1 + 3 2 ( 1 + + 3) 2 1 2 + ( + 3) 2
3 2
2 ( 1 + 2) + ( 3) 1=
3 2
2 ( 1 + 2) + ( + 3) 2
= 3 ( 3+ )( 1+ 2) 2 1 3 3+ ( 3 )( + )+2 =1 2 2 3+
= 2，
3
解得 = 3 ，
即直线 的方程为 = 3 33 ，故直线 过定点 ( 3 , 0)．
+ = 4 3 16②由韦达定理可得 1 2 3(2 2+3)， 1 2 = 3(2 2+3)，
2
∴ | 1
1
2| = 2 || | | || | | =
3 ( + )2 4 = 4 3 3 +41 2 3 1 2 1 2 3 2 2+3 ，
∵ 2 ≥ 0，令 3 2 + 4 = ，则 ≥ 2，
∴ | | = 4 3 4 31 2 2 2+1 = ，2 +1
∵ 1函数 ( ) = 2 + 在[2, + ∞)上单调递增，
∴ | 1
8 3
2| ≤ 9 ，当且仅当 = 0 时，等号成立，
因此，| 1
8 3
2|的最大值为 9 ．
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