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2024-2025 学年湖南省永州市第一中学高二下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 i + 2 = 2i，则| | =( )
A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 8
2.若全集 = ， = { ∣ = ln(2 )}， = ∣ = 2 , ∈ ，则下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
3.若向量 , 满足 = 2 = 8，且 = 48，则 , 的夹角为( )
A. π6 B.
π
3 C.
π D. 2π2 3
4.在( 2)5的展开式中， 2的系数为( )．
A. 5 B. 5 C. 10 D. 10
5.若 = 2 是函数 ( ) = ( 2 + 1) 1的极值点，则 ( )的极小值为．
A. 1 B. 2e 3 C. 5e 3 D. 1
6.已知双曲线 的一个焦点为 (2,0)，且双曲线的渐近线与圆( 2)2 + 2 = 3 相切，则双曲线 的离心率为
( )
A. 2 33 B. 3 C. 2 D. 2 3
7.已知正四棱锥的侧棱长为 3 3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 3
8.已知 ( ) = log 2 1 + 4 + ，则满足 (2 3) < ( )的实数 的取值范围为( )
A. (1,3) B. 32 , 3 C. ∞, 3 D. 3, + ∞
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量 服从正态分布 (0,1)，设函数 ( ) = ( ≤ )，则下列说法正确的是( )
A. (0) = 1 B. ( )是偶函数
C. ( ) 1的图象关于点 0, 2 中心对称 D. ( )是增函数
10.已知函数 ( )是定义在 上的偶函数， ( + 1)是定义在 上的奇函数，则( )
A. ( )的图象关于点(1,0)中心对称 B. ( )是周期为 2 的函数
C. (2027) = 0 D. 19 =1 ( ) = 0
11.定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”.在 中， = 1,
边上的高等于 tan ，以 的各边为直径向 外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为 ，
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其“直径”为 ，则( )
A. 2 + 2 = 3 B. 5面积的最大值为 4
C. ∠ = π = 5+1 D. 6+1当 2时， 2 的最大值为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 .已知 = ln 2 + 1 为奇函数，则实数 的值是 ．
13 1.已知数列 1 满足 1 + 2 2 + + 2 = 2 ，则数列 前 100 项和为 ． +1
14.若 ， 为正实数，函数 ( ) = ( + 1)e + ( + 2)2在 ∈ 上单调递增，则 的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
3 3 已知数列 的首项 1 = 5，且满足

+1 = 2 +1．
(1) 1求证：数列 1 为等比数列．
(2) 1 1 1 1若 + + + + < 100，求满足条件的最大整数 ．1 2 3
16.(本小题 15 分)
ln
已知函数 ( ) = e + 1．
(1)若在(1, (1))处的切线斜率为 1，求 ；
(2)若 ( ) ≥ 0 恒成立，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ，平面 ⊥平面 ， = = = 2， = 3 22 ．
(1)证明： ⊥ ；
(2)若 ⊥ ， 为 的中点，求 与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
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2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点为 (1,0)， , 分别为椭圆 的左、右顶点， , 分别为椭圆 的
上、下顶点，四边形 的面积为 4 3．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 且斜率不为 0 的直线 与椭圆 相交于 、 两点，直线 与 的交点为 ．
π①若直线 的倾斜角为6，求线段 的长度；
②试问∠ 是否有最大值？如果有，求出∠ 的最大值；如果没有，说明理由．
19.(本小题 17 分)
《最强大脑》“脑王争霸”是节目中最激烈的高智商对抗环节，通常由往届擂主与多名挑战者进行多轮脑
力对决．现有一擂主与三名挑战者甲、乙、丙．
(1)擂主与甲、乙、丙各比赛一局，各局比赛结果相互独立．已知该擂主与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别
1 , 1 , 1为2 3 4 .求该擂主连胜三局的概率．
(2)若新赛制让甲和乙进行比赛，规定每局比赛胜者得 1 分，负者得 0 分，没有平局，比赛进行到一方比另
一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，且
每局比赛结果相互独立．
( )若比赛最多进行 5 局，求比赛结束时比赛局数 的分布列及期望 ( )的最大值；
2
( ) 若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件 ，证明： ( ) = 2+ 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4
13.2551
14.ln2 + 1
15. 3 1 2 +1 1 1 2【详解】(1)由题意，数列 满足 = +1 2 +1，可得 = 3 = +1 3 + ， 3
1
1 1 = 1 1 + 2 1 = 1 1
1
可得 3 3 3 ( 1)
+1 1，即
+1 1
= 3，
1
又由 1 =
3 1 2
5，所以 1 = ，1 3
1 2 1
所以数列 1 表示首项为3，公比为3的等比数列．
(2) 1 2 1由(1)可得 1 = 3 × ( 3 )
1 = 2 ( 1 1 23 ) ，所以 = 3 × (
1
3 )
1 = 2 ( 13 )
+ 1

1
设数列 的前 项和为 ，
则 =
1
+
1 + 1 1 1 1 1 1
1 2
+ + = 2( 3 +3 32
+ 32 + + 3 ) +
1 1
= 2 × 3
[1 (3) ]+ = + 1 1，
1 1 3 3
1
若 < 100，即 + 1 3 < 100，
因为函数 = + 1 13 为单调递增函数，
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所以满足 < 100 的最大整数 的值为 99．
16.【详解】(1)因为 ( ) = e ln + 1，
所以 ′( ) = e 1 ln ′ 1 1 ln1 2 2，依题意 (1) = e 12 12 = 1，解得 = e；
(2)因为 ( ) = e ln + 1 的定义域为(0, + ∞)，
( ) = e ln + 1 = e
ln +
又 ≥ 0，
所以 e ln + ≥ 0 恒成立，
令 ( ) = e ln + ， ∈ (0, + ∞) 1，则 ′( ) = ( + 1) e ，
令 ( ) = e 1 ′ ， ∈ (0, + ∞)，则 ( ) = e
+ 1 2 > 0，所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
1
又 1 22 = e 2 < 0， (1) = e 1 > 0，
∈ 1 , 1 = 0 ′ = 0 e 0 1所以 0 2 使得 0 ，即 0 ， = 0，则 ln 0 = 0，0
所以当 ∈ 0, 0 时 ′( ) < 0，当 ∈ 0, + ∞ 时 ′( ) > 0，
所以 ( )在 0, 0 上单调递减，在 0, + ∞ 上单调递增，
所以 ( ) min = 0 = 0e 0 ln 0 0 + = 1 + 0 0 + ≥ 0，所以 ≥ 1，
即实数 的取值范围为[ 1, + ∞)．
17.【详解】(1)证明：连接 ，作 ⊥ ，垂足为 ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)由题意知 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点，以 ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴建
立空间直角坐标系(如图所示)，则 (0,0,0)， (2,0,0)， (0,2,0)， (0,0,2) 3， 2 , 0,
3
2 ， (0,1,1)，
所以 = ( 2,0,2), = 3 12 , 1 2 ．
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由(1)知， ⊥平面 ，所以 = ( 2,0,2)为平面 的一个法向量，
设 与平面 所成角为 ，

所以 sin = cos , = 2 7| =| | | 2 2× 14
= 7 ，
2
7
即直线 与平面 所成角的正弦值为 7 ．
1
18.【详解】(1) 2 × 2 × 2 = 4 3由题知 ，解得 = 2, = 3，
2 = 2 + 1
2 2
所以椭圆 的方程为 4 + 3 = 1．
(2)设 ( 1, 1), ( 2, 2)，
①当直线 π 3的倾斜角为6时，直线 的方程为 = 3 ( 1)，
2 +
2
4 3 = 1由 ，消 得到 13 2 + 6 3 9 = 0，
= 33 ( 1)
所以 1 + 2 =
6 3
13 ,
9
1 2 = 13，
1
所以| | = 1 + 2 1 = 1+
1 ( + )22 2 1 2 4 1 2 = 1+ 3 (
6 3 2
13 ) +
4×9 48
13 = 13．
②由(1)知 ( 2,0), (2,0)，易知 1 2 ≠ 0，
2 2
设直线 : = + 1 4 + 3 = 1，由 ，消 得到(3 2 + 4) 2 + 6 9 = 0，
= + 1
6 9
所以 1 + 2 = 3 2+4 , 1 2 = 3 2+4，
, 设直线 的斜率分别为 1 21, 2，且 1 = 1+2
, 2 = 2 2
，
9 6
1 = 1( 2 2) = 1( 2 1)
+
所以 1 2 1 3
2+4 2 3 2+4 1
2 ( 1+2) 2 ( 1+3)
=
2 1 2+3
=
2 9
= ，
2 +3 33 +4 2
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2 2 2 3
得到 3 1 = 2，又 tan∠ = 1 2 11+ =1 2 1+3 2
= 1 ≤ = ，
1 +3 1 2 3 31
1
当且仅当 = 3
3 3
1 ，即 1 = 3 时，tan∠ 的最大值为 ，1 3
又∠ ∈ 0, π π，所以∠ 的最大值为6．
19.【详解】(1)设该擂主连胜三局为事件 ，该擂主与甲、乙、丙比赛获胜分别为事件 ， ， ，则 ( ) =
1
2 , ( ) =
1
3 , ( ) =
1
4，
由题知，事件 ， ， 相互独立，
所以 ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) = 12 ×
1
3 ×
1
4 =
1
24，
1
所以该擂主连胜三局的概率为24．
(2)( )因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，则 + = 1，
由题意得 的所有可能取值为：2，4，5，
( = 2) = 2 + 2
( = 4) = ( + ) 2 + ( + ) 2 = 2 2 + 2 ，
( = 5) = ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) = 4 2 2，
所以 的分布列为：

2 4 5
2 + 2 2 2 + 2 4 2 2
所以 的期望为： ( ) = 2 2 + 2 + 8 2 + 2 + 20 2 2
= 2(1 2 ) + 8 (1 2 ) + 20 2 2 = 4 2 2 + 4 + 2，
由 1 = + ≥ 2 ≤ 1 1 1，得 4，当且仅当 = = 2时取等号，则 0 < ≤ 4，
1 2 13
因此 ( ) = 4 2 2 + 4 + 2 = (2 + 1)2 + 1 ≤ 2 × 4 + 1 + 1 = 4，
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所以 ( ) 13的最大值为 4．
( )设事件 ， 分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”．
由题知甲最后赢得比赛的局数是偶数，
由题设可知前两局比赛结果可能是 ， ， ， ，其中事件 表示“甲赢得比赛”，
事件 表示“乙赢得比赛”，事件 ， 表示“甲、乙各得 1 分”，
当甲、乙得分总数相同时，甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同，
所以 ( ) = ( ) 1 + ( ) 0 + ( ) ( ) + ( ) ( )
= ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( )
= 2 + ( ) + ( ) = 2 + 2 ( )，
2
因此(1 2 ) ( ) = 2，得 ( ) = 1 2 ，
2 2 2
而 + = 1 ，所以 ( ) = ( + )2 2 = 2+2 + 2 2 = 2+ 2．
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