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2024-2025 学年宁远县明德湘南中学高二下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本大题共 8 小题，共 40 分。
1.已知集合 = = ln(1 2 ) , = = e ，则 ∩ =( )
A. 12 , + ∞ B. ∞,
1
2 C. 0,
1
2 D.
2
2 2
.已知双曲线的标准方程为 4+ 5 = 1，则该双曲线的焦距是( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
3.设等差数列 的前 项和 ，若 3 = 9， 6 = 36，则 7 + 8 + 9 =( )
A. 18 B. 27 C. 45 D. 63
4.若古典概型的样本空间Ω = 1,2,3,4 ，事件 = 1,2 ，甲：事件 = Ω，乙：事件 , 相互独立，则甲是
乙的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.冬季是流感高发期，其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数 0与世代间隔 是流行病学基本参考数
据．某市疾控中心数据库统计分析，可以用函数模型 ( ) = 2 来描述累计感染甲型流感病毒的人数 ( )
随时间 ， ∈ Z(单位：天)的变化规律，其中指数增长率 与基本再生数 0和世代间隔 之间的关系近似满足
0 = 1 + ，根据已有数据估计出 0 = 4 时， = 12.据此回答，累计感染甲型流感病毒的人数增加至 (0)
的 3 倍至少需要(参考数据：lg2 ≈ 0.301，lg3 ≈ 0.477)( )
A. 6 天 B. 7 天 C. 8 天 D. 9 天
6.如图是两个底面半径都为 1 的圆锥底面重合在一起构成的几何体，上面圆锥的侧面积是下面圆锥侧面积
的 2 倍， ⊥ ，则 =( )
A. 74 B.
26 5
2 C. 2 D. 3
7 1 tan 1 + tan( )tan .已知 2 2 = 6，tan tan

2 = 3，则 cos(4 + 4 ) =( )tan 2
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A. 79 7981 B. 81 C.
49
81 D.
49
81
8.已知球 的直径为 = 2 3, 、 是球面上两点，且 = = 3, ∠ = π3，则三棱锥 的体积
( )
A. 32 B. 3 C.
6
2 D. 6
二、多选题：本大题共 3 小题，共 18 分。
9.某学校高一年级学生有 900 人，其中男生 500 人，女生 400 人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，
现采用样本量比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为 180 的样本，经计算得男生样本的均值为 170，
方差为 19，女生样本的均值为 161，方差为 28，则下列说法中正确的是( )
A.男生样本容量为 100 B.抽取的样本的方差为 43
C.抽取的样本的均值为 166 D.抽取的样本的均值为 165.5
10.已知 ≥ 1， > 1，且 = 4，则( )
A. 1 ≤ ≤ 4，1 < < 4 B. 4 ≤ + ≤ 5
C. 最大值为 4 D. 4 +
2的最小值为 12
11.已知数列 的前 项和为 ，且 2 +1 + +1 = 3， 1 = (0 < < 1)，则( )
A. 13 1当 0 < < 4 时， 2 > 1 B. 3 > 2
C. 3数列 2 1 单调递增， 2 单调递减 D.当 = 4时，恒有 =1 1 <
5
4
三、填空题：本大题共 3 小题，共 15 分。
12.在(1 + ) (其中 ∈ N , ≠ 0)的展开式中， 的系数为 10，各项系数之和为 1，则 = ．
13.已知四面体 ，其中 = = 2， = = 5， = = 7， 为 的中点，则直线
与 所成角的余弦值为 ；四面体 外接球的表面积为 ．
14.函数 ( ) = 2sin + π6 ( > 0)
π
在区间 6 ,
π
2 上有且只有两个零点，则 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 2 sin 3 = 0．
(1)求 ；
(2)求 4sin 4sin 的取值范围．
16.如图， 为圆锥的顶点， 为圆锥底面的直径， 为等边三角形， 是圆锥底面的圆心． 为底
面圆 的内接正三角形，且边长为 2 3，点 为线段 中点．
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(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2) 为底面圆 的劣弧 上一点，且∠ = 30°.求平面 与平面 夹角的余弦值．
17.有 2( ≥ 4)个正数，排成 行 列的数表：其中 表示位于第 行，第 列的数，数表中每一行的数成等差
1 3
数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知 24 = 1， 42 = 8， 43 = 16．
11 12 13 14 … 1
21 22 23 24 … 2
31 32 33 34 … 3
41 42 43 44 … 4
… … … … … …
1 2 3 4 …
(1)求公比．
(2)求 11 + 22 + … + ．
18
2
.已知函数 ( ) = e ，其中 > 0．
(1)若 ( )在(0,2]上单调递增，求 的取值范围；
(2)当 = 1 时，若 1 + 2 = 4 且 0 < 1 < 2，比较 1 与 2 的大小，并说明理由
19.马尔科夫链因俄国数学家安德烈 马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第 + 1 次状态的概
率分布只跟第 次的状态有关，与第 1, 2, 3, 次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模
型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极
其广泛的应用.现有 , 两个盒子，各装有 2 个黑球和 1 个红球，现从 , 两个盒子中各任取一个球交换放入
另一个盒子，重复进行 ∈ 次这样的操作后，记 盒子中红球的个数为 ，恰有 1 个红球的概率为 ．
(1)求 1, 2的值；
(2)求 的值(用 表示)；
(3)求证： 的数学期望 为定值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.5
13.5 17 534 /34 17； ； ； ；
；8π
14. 11 , 5 ∪ 17 , 233 3 3
15.【详解】(1)2 sin 3 = 0，由正弦定理得 2sin sin 3sin = 0．
因为 sin ≠ 0，所以 sin = 32 .因为
π
为锐角三角形，所以 = 3．
(2)因为 = π 23，所以 + = 3π．
0 < < π ,
因为 2 为锐角三角形，所以
0 < 2π < π
得6 < < 2．
3 2 ,
因为 4sin 4sin = 4sin 4sin( + ) = 2sin 2 3cos = 4sin π3 ，
由 π π π π 1 13 ∈ 6 , 6 ，得 sin 3 ∈ 2 , 2 ，所以 4sin 4sin ∈ ( 2,2)．
即 4sin 4sin 的取值范围为( 2,2)．
16.【详解】(1)
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设 , 交于点 ，因为 为圆锥底面的直径，
所以由垂径分线定理可知 ⊥ , = ，
又因为 为底面圆 的内接正三角形，
所以 = 12 =
1
2 ，即点 是 的中点，
又因为点 为线段 中点，即 是三角形 的中位线，
所以 // ，
由题意 ⊥面 ，
所以 ⊥面 ，
又因为 面 ，
所以平面 ⊥平面 ；
(2)由(1)可知 , , 两两垂直，
以 为原点， , , 分别为 , , 轴建立如图所示的空间直角坐标系：
显然可取平面 的一个法向量为 = (0,1,0)，
因为∠ = 30°，等边 的边长为 2 3，
= 1 × 2 3所以由正弦定理得圆的半径为 2 sin60 = 2，从而 =
3
2 = 3，即 (3,0,0)，
而 = 12 × 2 = 2，所以 = 3 2cos60
= 2, = 2sin60 = 3，即 2, 3, 0 ，
因为 为等边三角形， 是三角形 的中位线，
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= 1 = 1所以 2 2 × 2 × 3 = 3，即 0,0, 3 ，
所以 = 3,0, 3 , = 2, 3, 3 ，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 3 3 = 0 3
所以

，令 = 1，解得 = 3, = ，
= 2 + 3 3 = 0 3
即可取平面 的一个法向量为 = 1, 33 , 3 ，
3
从而 cos , = 3 = 13．
1+1 133+3
所以平面 13与平面 夹角的余弦值为 13 ．
17.【详解】(1) 4 1 1 1第 行公差为 = 43 42 = 16， 44 = 43 + 16 = 4．
由已知： 2 1 124 = 44 = 4，所以 =± 2．
1
又每个数都是正数，所以 = 2．
(2)因为 = 141 16，所以
1 1
4 是首项为16，公差为16的等差数列.故 =

4 16．
1 4 1
因为每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，所以 = 4 2 = 2 ．
1
故 = 2 ，设 的前 项和为 ，
1 1 1 2 1 2 1
= 11 + 22 + + = 1 × 2 + 2 × 2 + 3 × 2 + + × 2 ①.
1 1 2 3 4 +1
2 = 1 × 2 + 2 ×
1
2 + 3 ×
1
2 + + ×
1
2 ②，
1 2 3 + 1 1 1 +1
① 1②得2 =
1
2 +
1
2 +
1
2 + +
1 × 1 = 2 2 × 12 2 1 1 22
= 1 1 +22 2 +1 .所以 = 2 2 ．
2 2 218.【详解】(1) ∵ ( ) = e , ∴
′( ) = e ，
∵ ( )在(0,2]上单调递增，∴ ′( ) ≥ 0 在(0,2]上恒成立且满足 ′( ) = 0 的点不连续．
2 2
当 ∈ (0,2]时， ≤ .由 = 在(0,2]上单调递减可知，
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当 = 2 2时， = 1，∴ ≤ 1，min
综上， 的取值范围为(0,1]
2
(2)当 = 1 时， ( ) = e ，
1 + 2 = 4 且 0 < 1 < 2，
下面证明 1 < 2 ，
2 2 2
即证明 1 2 2 1
2
e 1 < e 2，等价于证明：e < ，1
2+ 2
设 1 = 2 , 2 = 2 + , 0 < < 2，所证即为：e2 < 2 ，
等价于证明： < ln 2+ 2 , 0 < < 2，
设函数 ( ) = ln 2+ 2 , 0 < < 2．
2
∵ ′( ) = 4 2 > 0, ∴ ( )在(0,2)上单调递增，而 ( )min = (0) = 0, ∴ ( ) > 0，
∴ ln 2+ 2 > , 0 < < 2，所证不等式成立．
19【. 详解】(1)设第 ∈ 次操作后 盒子中恰有 2 个红球的概率为 ，则没有红球的概率为 1 ．
C1 1 1 1
由题意知 = 2C2+C1C11 1 1 =
5
，
C3C3 9
C12C1 2 1 = 1 =C1C13 3 9
,
C1C1 +C1C1 C1 1 1 1
= 2 2 1 1 + 2
C3 C3C2 49
2 1 C1C1 1 C1 1
+ 1
C 1
1 C1C1
= 81．3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1
(2) = C2C2+C1C1 + C2C
1 1 1
因为 3 + 1 C3C2 1 2 1 C1C1 1 C1C1 1 1 C1C1 = 3 3 3 3 3 3 9
1 + 3．
所以
3
5 =
1 3
9 1 5 ．
3 2 3 2 1
又因为 1 5 = 45 ≠ 0，所以 5 是以 45为首项， 9为公比的等比数列．
3 2 1 1
所以 5 = 45 × 9 ，
2 1 1 3
= 45 × 9 + 5．
1 1 1 1
(3) = C2C1 + C1C因为 3 2 1 C1C1 1 1 = + ，①3 3 C3C1 1 9 1 3 13
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C1C1 C1C1 2 1
1 1 2 3 1 = C1

C1 1
+
C1C1
1 1 1 = 9 1 + 3 1 1 1 ,②．3 3 3 3
1
所以①一②，得 2 + 1 = 3 2 1 + 1 1 ．
又因为 2 1 + 1 1 = 0，所以 2
1
+ 1 = 0，所以 = 2 ．
的可能取值是 0,1,2，
1
= 0 = 1 =

2 ,
= 1 = ,
1
= 2 = = 2 ．
所以 的概率分布列为

0 1 2
1 1
2 2
所以 = 0 ×
1 + 1 × + 2 × 1 2 2 = 1．
所以 的数学期望 为定值 1．
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