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2024-2025学年湖南省常德市汉寿一中高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.下列说法不正确的是( )
A. 若随机变量服从正态分布，且，则
B. 一组数据，，，，，，，，，的第百分位数为
C. 若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强
D. 对具有线性相关关系的变量，，且线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 外离 C. 外切 D. 内含
5.已知平面及直线，，则下列说法错误的个数是( )
若直线，与平面所成角都是，则这两条直线平行；
若直线，与平面所成角都是，则这两条直线不可能垂直；
若直线，垂直，则这两条直线与平面不可能都垂直；
若直线，平行，则这两条直线中至少有一条与平面平行．
A. B. C. D.
6.根据马伯庸的小说长安十二时辰同名改编的电视剧中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息．望楼传递信息的方式如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色此处以阴影代表紫色之间变换，从而一共可以有种不同的颜色组合，即代表种不同的信息．现要求最多出现个紫色格子，那么一共可以传递的不同的信息有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知从椭圆：的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线交的另一个焦点，，为椭圆的长轴端点，，为椭圆的短轴端点，，分别为椭圆的左右焦点，动点满足，若的面积的最大值为，则面积的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若对任意，都有成立，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. “”的充要条件是“”
B. 若，则的虚部为
C. 若，，则
D. 方程在复数集中有个解
10.下列四个结论中，正确的结论为( )
A. 函数与函数相等
B. 若函数且的图象没有经过第二象限，则
C. 当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为
D. 若函数的最大值为，最小值为，则
11.非零实数，，不全相等下列说法正确的是( )
A. 若，，成等差数列，则，，可以构成等差数列
B. 若，，成等比数列，则，，必定构成等比数列
C. 若，，则
D. 若，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，求 ______．
13.已知双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右焦点，点
在双曲线上，且，则 ______．
14.若函数，且的图象与直线没有交点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知公差不等于零的等差数列的前项和为，且满足，，，成等比数列．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，．
求证：平面平面；
若，，，，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数．
讨论函数在区间上的单调性；
当时，证明：．
18.本小题分
我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式若的内角，，的对应边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为．
用“三斜求积”公式证明；
若，且，求面积的最大值；
定义：四面体中，若异面棱长相等的四面体为等腰四面体设等腰四面体的外接球表面积为，的外接圆面积为已知，，且，，，试用，，表示，并求的取值范围．
19.本小题分
新能源汽车的春天来了年月日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自年月日至年月日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税．某人计划于年月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如表：
月份
月份编号
销量万辆
经分析，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量万辆与月份编号之间的相关关系．请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测年月份当地该品牌新能源汽车的销量；
年月日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程对购车补贴进行新一轮调整．已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
补贴金额预期值区间万元
频数
求这位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值的样本方差及中位数的估计值同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到；
将频率视为概率，现用随机抽样方法从该地区拟购买新能源汽车的所有消费者中随机抽取人，记被抽取人中对补贴金额的心理预期值不低于万元的人数为，求的分布列及数学期望．
参考公式及数据：回归方程，其中，；．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.Ⅰ设公差为的等差数列的前项和为，满足，，，成等比数列，
所以，整理得，
所以，，
故．
Ⅱ由于，
所以．
16.证明：平面，平面，，
，，又，，，平面，
平面，又平面，
平面平面；
过点作交于点，连接，
则与平面所成角即为与平面所成角，
平面，为在平面上的射影，
为直线与平面所成角，
，，
四边形为平行四边形，
，，
，，
在中，，
在中，，
直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：函数的定义域为，，
令，可得，
当，即时，函数在区间上单调递增；
当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递．
证明：当时，不等式可化为，
不等式两边同除以后整理为，
令，
有，
令可得；令可得；
故函数的增区间为，减区间为，
可得，
故不等式成立．
18.证明：由余弦定理得，所以，
所以
，
所以得证．
解：法一：因为，
由余弦定理得，，
因为，代入上式化简得，所以，
所以
，
所以当时，面积的最大值为．
法二：因为，所以，，
因为，
所以，
所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以
，
所以当时，面积的最大值为．
解：由题意，等腰四面体可补形成与其共外接球的长方体，设，则，
设等腰四面体的外接球半径为，所以，
所以，
法一：
在中，由余弦定理得，
，
所以，
设的外接圆半径为，由正弦定理得，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，，，
所以，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
又，所以，
所以，即，
所以，所以的取值范围为．
法二：
因为，
设的外接圆半径为，由正弦定理得，
因为，所以，代入，
，
所以，
下同法一．
19.解：由题意知，，
，
，
，
关于的线性回归方程为．
当时，，即年月份当地该品牌新能源汽车的销量约为万辆．
根据题意，这位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期的平均值为：
，
样本方差为：．
中位数的估计值为：．
根据给定的频数表知：
任意抽取名拟购买新能源汽车的消费者，
对补贴金额的心理预期不低于万元的频率为，
由题意得，
，
，
，
，
的分布列为：


所以．
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