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2024-2025学年吉林省友好学校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.若复数满足其中是虚数单位，则( )
A. 的实部是 B. 的虚部是 C. D.
3.已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长是，则该正四棱锥的表面积为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生到之间取整数值的随机数，指定，，，表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下组随机数：，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A. B. C. D.
7.如图，在四边形中，，，设，，则等于( )
A. B. C. D.
8.演讲比赛共有位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从个原始评分中去掉个最高分、个最低分，得到个有效评分个有效评分与个原始评分相比，不变的数字特征是( )
A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.近年来，我国人口老龄化持续加剧，为改善人口结构，保障国民经济可持续发展，国家出台了一系列政策，如年起实施全面两孩生育政策，年起实施三孩生育政策等根据下方的统计图，下列结论正确的是( )
A. 至年每年新生儿数量的平均数高于万
B. 至年每年新生儿数量的第一四分位数低于万
C. 至年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势
D. 至年每年新生儿数量的方差大于至年每年新生儿数量的方差
10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是( )
A.
B. 与所成的角为
C. 与是异面直线
D. 平面
11.下列选项中，正确是( )
A. 如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内任取两条直线，两直线平行
B. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面平行
C. 如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行
D. 如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从甲、乙等名同学中随机选名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为______．
13.已知正三棱柱的棱长均为，则其外接球体积为______．
14.已知向量满足，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，，分别为内角，，的对边，且．
求的大小；
若，且顶点到边的距离等于，求和的长．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点．
求证：平面；
若点是棱的中点，求证：平面．
17.本小题分
随机抽取名学生，测得他们的身高单位：，按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．
求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数；
估计该校名学生身高的分位数．
18.本小题分
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费元不足一小时的部分按一小时计算有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游各租一车一次，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时．
求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
求甲、乙两人所付的租车费用之和为元的概率．
19.本小题分
如图，在正方体中，
求异面直线与所成的角的大小；
求二面角的大小．
参考答案
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15.解：由正弦定理，，
即．
因为，，
所以．
由可知．
又因为，所以，
联立解得，或，．
16.证明：因为平面，平面，
所以，
又因为底面是菱形，则，，，平面，
所以平面．
连接，，如图所示：
因为，分别为，的中点，
则且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面．
17.解：由频率分布直方图可知：
，
解得，
人，
即身高在及以上的学生人数为人；
的人数占比为，的人数占比为，
该校名生学身高的分位数落在，
设该校名生学身高的分位数为，
则，解得，
故该校名生学身高的分位数为．
18.解：甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为，；
租车费用相同可以分为租车费用都为元、元、元三种情况，
都付费元的概率为；
都付费元的概率为；
都付费元的概率为．
所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为；
设甲、乙两人所付的租车费用之和为，
则表示两人的租车费用之和为元，
其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为：
元，元；
元，元；
元，元．
故．
19.解：在正方体中，连接，，
，是异面直线与所成的角，
三角形是等边三角形，，
异面直线与所成的角的大小为．
在正方体中，，，
是二面角的平面角，
根据正方体的性质可知，
二面角的大小为．
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