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2024-2025学年安徽省合肥168中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知是奇函数，则( )
A. B. C. D.
4.如果奇函数在区间上是增函数且最小值为，那么在区间上是( )
A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为
C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为
5.已知事件，，且，，，则( )
A. B. C. D.
6.甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中，正确的是( )
A. 若：，，则：，
B. 若不等式的解集为，则
C. “”是“”的充分不必要条件
D. 若，，且，则的最小值为
10.已知的图象如图所示，若，则关于方程根的情况说法正确的是( )
A. 有三个实根
B. 当时，恰有一实根
C. 当时，恰有一实根
D. 当时，恰有一实根
11.已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则______．
13.已知函数在同一个坐标系的图象如图，则能使不等式成立的的取值范围是______．
14.已知，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数，．
求方程的实数解；
若不等式对于一切都成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点已知函数．
当，时，求函数的不动点；
若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；
在的条件下，若的两个不动点为，，且，求实数的取值范围．
17.本小题分
某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取名会员的数据如下：
会员序号 总和
锻炼时长小时
体重减少量千克
并计算得：
．
根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明；
求经验回归方程结果精确到；
该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了千克请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释．
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，参考值：
18.本小题分
某公司计划举办周年庆活动，其中设计了“做游戏赢奖金”环节，从所有员工中选取名业绩突出的员工参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者投掷一枚均匀的骰子，初始分数为，每次掷得点数为偶数得分，点数为奇数得分连续投掷累计得分达到分或分时，游戏结束．
设员工在游戏过程中累计得分的概率为．
求，，；
求证数列为等比数列．
得分的员工，获得二等奖，得分的员工，获得一等奖，若一等奖的奖金为二等奖的奖金的两倍，且该公司计划作为游戏奖励的预算资金不超过万元，则一等奖的奖金最多不能超过多少元？精确到元
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若有两个零点，为的导函数．
求实数的取值范围；
记较小的一个零点为，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：由知，方程，即为，
即，
解得，即．
不等式，即，
原不等式可化为对于一切都成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
所以，
所以实数的取值范围为．
16.因为，，所以，
设函数的不动点为，
则，
化简得，解得，
所以的不动点为；
令，则有两个相异的解．
所以，
即对于任意恒成立，
令，
则，
解得，
所以实数的取值范围为；
因为，为的两个不动点，且，
所以，
所以，
因为由知，，
所以，
所以．
由得到，
根据基本不等式的性质可得，
当且仅当时，即时等号成立，
所以．
又，所以．
所以，
即实数的取值范围为
17.解：由表可知：，
又因为，
所以，
因为与的相关系数接近，
所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系；
由题可知：，
，
所以；
由可知：根据线性回归方程预测，会员平均每周锻炼时长增加个小时，
预测平均体重减少量增加千克，与实际增加值千克较为接近，
因此实际结果与预测结果基本一致，说明该回归模型具有参考价值，
造成一定差异的原因可能是由于样本数据过少，
或者造成体重减少的原因还受其他因素影响，
比如睡眠，饮食、锻炼强度以及效果等．
18.由参与者投掷一枚均匀的骰子，初始分数为，
每次掷得点数为偶数得分，点数为奇数得分．
连续投掷累计得分达到分或分时，游戏结束，
设员工在游戏过程中累计得分的概率为，
可得；
；
；
证明：由题知，累计获得分时有可能是获得分时掷骰子点数为奇数
或获得分时掷骰子点数为偶数，
而掷骰子点数为奇数和偶数的概率均为．
所以，
则，又
故为首项为，公比为的等比数列．
由知，
将所有等式相加得，
所以，
所以，
设一等奖的奖金为元，二等奖的奖金为元，
由题意知元，
解得，即一等奖的奖金最多不超过元．
19.的定义域为，
导函数，
当时，导函数，在区间单调递减；
当时，令导函数，解得，
当时，导函数，单调递减；
当时，导函数，单调递增．
综上所述，当时，在单调递减；
当时，在单调递增，在上单调递减．
若，根据第一问知，函数至多有一个零点；
若，根据第一问知，当时，函数取得最小值为．
由于当时，函数；
当时，函数，
因此有两个零点当且仅当．
设函数，在区间单调递增．
由于，的解集为．
综上所述，的取值范围是．
证明：由于函数，根据，结合知，
要证，那么即证，即，
当时，由于，，不等式恒成立；
当时，根据，得．
即证．
即证．
即证．
设，，
由，
所以在单调递增．所以，故原不等式成立．
所以．
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