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2024-2025学年黑龙江省双鸭山市部分学校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则的虚部是( )
A. B. C. D.
2.，为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是( )
A. ，，则
B. ，与所成角均为，则
C. ，，，则直线，到的距离相等
D. ，，则，可以是异面直线
3.如图是某市随机抽取的户居民的月均用水量频率分布直方图，如果要让的居民用水不超出标准单位：，根据直方图估计，下列最接近的数为( )
A. B. C. D.
4.如图，三个元件，，正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是( )
A. B.
C. D.
5.如图，圆锥的母线长为，底面圆直径，点为底面的中点，则在该圆锥的侧面展开图图中( )
A.
B.
C.
D.
6.抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为，设平面向量，则向量不能作为平面内的一组基底的概率为( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.如图，将正方形沿对角线折成直二面角，则对于翻折后的几何图形，下列结论不正确的是( )
A.
B. 与平面所成角为
C. 为等边三角形
D. 二面角的平面角的正切值是
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则，中至少有一个为
C.
D. 若，，，则
10.降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响如图，这是，两地某年上半年每月降雨量的折线统计图．
下列结论正确的是( )
A. 这年上半年地月平均降雨量比地月平均降雨量大
B. 这年上半年地月降雨量的中位数比地月降雨量的中位数大
C. 这年上半年地月降雨量的极差比地月降雨量的极差大
D. 这年上半年地月降雨量的分位数比地月平均降雨量的分位数大
11.如图，在棱长为的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 不存在点，使得
B. 存在点，使得
C. 对于任意点，到的距离的取值范围为
D. 对于任意点，都是钝角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，的夹角为，，，则______．
13.如图所示，已知一个半径为的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点为半圆弧的中点，该几何体的体积为______．
14.已知某艺术协会的会员中，有的会员喜爱书画或戏曲，有的会员喜爱书画，有的会员同时喜爱书画、戏曲现从该协会中随机抽取一名会员，该会员喜爱戏曲的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点．
计算三棱台的体积；
求证：平面平面．
16.本小题分
某调研小组调查了某市名外卖骑手平均每天完成的任务量简称“单量”，得到如下的频数分布表：
单量单
人数
补全该市名外卖骑手每天单量的频率分布直方图；
根据图表数据，试求样本数据的中位数精确到；
根据外卖骑手的每天单量，参考某平台的类别将外卖骑手分成三类，调查获知不同类别的外卖骑手开展工作所投入的装备成本不尽相同，如下表：
日单量单
类别 普通骑手 精英骑手 王牌骑手
装备价格元
根据以上数据，估计该市外卖骑手购买装备的平均成本．
17.本小题分
某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖抽奖箱里放有个大小相同的小球，其中有两个标有“中奖”字样，每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽取两个小球，且商场规定参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖．
求顾客一次抽奖中奖的概率；
若顾客一次抽奖抽到两个“中奖”小球为一等奖，可兑取价值元的奖品；一次抽奖只抽到一个“中奖”小球为二等奖，可兑取价值元的奖品某日该商场进行的抽奖共计人次，估计兑出奖品的总价值．
18.本小题分
已知，，，函数的最小正周期为．
求函数的单调递减区间；
在锐角中，角、、所对的边分别是、、，且满足，，求周长的取值范围．
19.本小题分
如图，三棱柱中，侧面底面，且，C.
证明：平面；
若，，求平面与平面夹角的余弦值．
参考答案
1.
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14.
15.解：由题可知，，，，
故根据棱台的体积公式，
可得棱台的体积．
证明：如图所示，连接，，，，分别是，，，的中点，
所以，，
所以，平面，平面，
所以平面，
连接，在正方体中，
因为、分别是、的中点，
所以，，
因为，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
故A，
因为平面，平面，
所以平面，
又，所以平面平面．
16.解：由第二组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，
由第四组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，
补全该市名外卖骑手周单量的频率分布直方图，如下：
中位数的估计值：
由，，
所以中位数位于区间中，
设中位数为，则，
解得即样本中位数是；
依题意可知，被调查的人中，普通骑手共有人，
精英骑手共有人，王牌骑手共有人，
这名外卖骑手购买装备的平均成本为元，
所以估计该市外卖骑手购买装备的平均成本为元．
17.设，为两个标有“中奖”字样的小球，，，为三个未标有“中奖”字样的小球，
从中随机抽取两个小球，则有，，，，，，，，，共种情况，
其中中奖的情况共有种，
所以顾客一次抽奖中奖的概率为；
由可知，每次中一等奖的概率为，
每次中二等奖的概率为，
故进行人次抽奖克出奖品价值的估计值为元．
18.因为，，，
所以
，
所以．
因为的最小正周期为，所以，所以，所以．
由，，解得，，
所以的单调递减区间为，．
由知，．
又因为，所以，
所以，解得．
又因为为锐角三角形，
所以，即，解得．
因为，所以由正弦定理，得，，
所以
，
又因为，所以，所以，
所以，所以，
所以周长的取值范围为．
19.解：证明：取的中点，连结、．
因为，，所以，
由于，平面，且，
因此平面．
因为平面，所以A.
又因为，所以，
因为平面平面，平面平面，
且平面，所以平面．
因为，所以平面．
法一因为，且，所以．
以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，
则，令，则，
设平面的法向量为，
则，令，则，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
法二将直三棱柱补成长方体．
连接，过点作，垂足为，再过作，垂足为，连接．
因为平面，且平面，所以．
又因为，由于，平面，且，所以平面．
由于平面，所以．
因为，平面，且，所以平面．
因为平面，所以B.
则为平面与平面的夹角或补角，
在中，由等面积法可得．
因为，所以，
因此平面与平面夹角的余弦值为．
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