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2024-2025学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数在处的导数等于( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
3.树人中学高二年级举办古诗词比赛，所有同学均可自愿报名参加某学习小组有名同学，其中甲、乙两位同学决定要么都去，要么都不去，则该学习小组不同的报名情况总数是( )
A. B. C. D.
4.记试验的样本空间，事件，，则( )
A. B. C. D.
5.如图，直线与曲线相切于点，则函数在上的极值点的个数为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，一质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次向左或向右移动一个单位长度，向左移动的概率为，向右移动的概率为，共移动次，则该质点位于原点右侧的概率为( )
A. B. C. D.
7.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若恒成立，则正整数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.的展开式中，下列说法正确的是( )
A. 展开式共有项 B. 常数项为
C. 第二项与第四项的二项式系数相等 D. 各项系数之和为
10.根据分类变量与的成对样本数据，提出零假设，并计算得到，则下列说法正确的是( )
附：
A. 零假设为：分类变量与独立
B. 根据小概率值的独立性检验，可以认为与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
C. 根据小概率值的独立性检验，可以认为与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
D. 若所有样本数据都扩大为原来的倍，根据小概率值的独立性检验，可以认为与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
11.已知为上的偶函数，，为的导函数，且当时，，则( )
A. 当时， B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，那么 ______．
13.已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为______．
14.有张卡片，正面分别写有数字，，，，，，背面均写有数字先把这些卡片正面朝上排成一排，且第个位置上的卡片恰好写有数字然后掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数为，则将第个位置上的卡片翻面并置于原处进行上述实验次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，计算骰子恰有一次点数为的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
若是的极小值点，求及函数的极值．
16.本小题分
在科技日新月异的今天，无人驾驶网约车正逐渐成为出行领域的新宠，根据统计数据显示，某区域过去天的订单数如下：
日期天
订单数件
为了进一步了解订单数的变化情况，甲乙两个数学学习小组分别进行了研究，
甲小组决定用线性回归模型进行拟合，求此时关于的经验回归方程；
乙小组采用非线性回归模型进行拟合，求得关于的经验回归方程为，并计算出决定系数，
根据回归模型的决定系数，说明哪个小组的模型拟合效果更好；
用中选择的模型预测该区域第天的订单数结果保留整数附：；决定系数．
参考数据：
17.本小题分
近年来，轻食作为餐饮的一种创新形态，广受消费者青睐某公司为了获得轻食消费者行为数据，对一地区消费者进行抽样调查统计其中名消费者表中个年龄段的人数各人食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表．
年龄
食用频数 岁以下 岁到岁 岁及以上
轻食低频消费者每周次
轻食中频消费者每周次
轻食高频消费者每周次及以上
已知该地区岁以下、岁到岁、岁及以上三个年龄段的人数比例为：：，用频率估计概率，求从该地区随机抽取一人，其为高频消费者的概率．
从以上样本的轻食高频消费者每周次及以上中，采用按比例分配的分层随机抽样抽取人，再从这人中随机抽取人，记这人中年龄在岁以下与岁到岁的人数分别为，，记，求的分布列与期望．
18.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若方程有两根，求的取值范围；
证明：当时，．
19.本小题分
现有一批产品，每件产品是否合格相互独立，每件产品合格的概率均为在某次抽样中，经统计抽取的件产品中，恰有件合格品．
以频率估计概率，若从该批产品中再抽取件，记合格品的数量为，求的期望；
在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值设为与未知参数有关的离散型随机变量，其中的取值范围为若对已知结果，存在，且对任意，有成立，则称为的一个极大似然估计值．
请根据此次抽样，求的极大似然估计值．
在实际操作中往往采用多次独立抽样来求参数的极大似然估计值，现对该批产品进行次独立抽样，每次从中抽取个产品，记录合格品数分别对应为，，，，请根据这次独立抽样结果，求的极大似然估计值．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
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7.
8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.当时，函数，则，
又，则，
即曲线在处的切线斜率，
故在处的切线方程为．
，
令，得或．
因为是函数的极小值点，所以必有，则，
当或时，，当时，．
所以函数在和上单调递增，在上单调递减．
则时取极小值，即，此时，
则的极大值为，极小值为．
16.由题可得，
，
所以，
，
所以关于的经验回归方程为．
由知，从而有：
，
，
，
因为，从来看甲小组的线性回归模型拟合效果更好．
当时，，
所以预测第天的订单数为件．
17.记从该地区中任抽一人，其年龄在岁以下、岁到岁、岁及以上分别为事件，，，其为高频消费者为事件，
则，，，
所以，，，
；
若利用分层抽样的方法抽取的人中，
其中年龄在岁以下与岁到岁的人数分别为和，
易得的所有可能取值分别为，，，，
所以，
，
，
，
则的分布列为：
故．
18.由题意有．
当时，，在单调递减；
当时，令，得，单调递增；
令，得，单调递减．
综上所述，当时，在单调递减；
当时，在单调递减，在单调递增．
由知，当时，在单调递减，所以方程最多一根，故．
因为当时，在单调递减，在单调递增，
又因为，，且，，
故要使方程有两根，则，
即，得，故的取值范围为．
证明：要证，
即，
令，
则只需证，
当时，，上式显然成立；
现证当时上式成立：
由知，，
取，
即得，
取，
即可得，
即得证．
19.估计合格率，则，
的期望；
从这批产品中抽取件产品，记合格品的数量为，则，
，设，
，
，当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值，即的极大似然估计值为．
，则，，，，，，
设．
两边同时取自然对数并整理得：
，
令，
求导得，
令，可得，时，，此时单调递增，
时，，此时单调递减，
时，最大，此时取得最大值．
因此，的极大似然估计值为．
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