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2024-2025学年云南省玉溪三中实验班高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数为虚数单位是纯虚数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量满足若，则向量的夹角为( )
A. B. C. D.
3.已知函数为定义在上的奇函数，函数，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆锥的底面半径为，体积为，则它的侧面积为( )
A. B. C. D.
5.某机构统计了一地区部分观众每周观看某一电视节目的时长单位：分钟情况，并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图分为，，，，，，共七组，则估计这些观众观看时长的分位数为( )
A. B. C. D.
6.如图，海中有一座小岛，一艘游轮自东向西航行，在点处测得该岛在其南偏西方向，游轮航行海里后到达点处，测得该岛在其南偏西方向若这艘游轮不改变航向继续前进，则游轮到该岛的最短距离为( )
A. 海里 B. 海里
C. 海里 D. 海里
7.如图，正六棱柱的底面边长为，点，分别为线段，的中点，若异面直线与所成角的余弦值是，则此正六棱柱的体积为( )
A.
B. 或
C.
D. 或
8.如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，是复数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则或 B. 若，则
C. 若，则 D.
10.以下选项正确的是( )
A.
B. 事件与事件互为对立事件，则事件与事件一定互斥
C. 事件与事件相互独立，则事件与事件一定互斥
D. “掷次硬币出现个正面”的概率与“掷次硬币出现个正面”的概率不相等
11.如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆周上异于，的任一点，则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C. 平面平面
D. 平面平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，且，则______．
13.从存放号码分别为，，，，的卡片的盒子里，有放回地取次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下：
卡片号码
取到次数
取到号码为奇数的频率为______．
14.等腰梯形中，，，，底边的中点为，动点，分别在腰，包含端点上，且，若，其中，，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，四边形中，已知，，．
若中点为，求的长；
若，设，
用表示，并写出的取值范围；若，求的值．
16.本小题分
如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点．
证明：平面；
求直线与平面间的距离．
17.本小题分
我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准单位：，月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了位居民某年的月均用水量单位：，将数据按照，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；
若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准，估计的值，并说明理由．
在位居民中，第组有位居民，若这位居民月均用水量的平均数为，方差为，若其中一位居民的用水量为，请判断其它位居民月均用水量的方差与的大小关系，并说明理由参考公式：
18.本小题分
如图，斜三棱柱中，，四边形是菱形，为的中点，平面，．
求证：四边形为矩形；
在上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
若，分别为，的中点，求此斜三棱柱被平面所截的截面面积．
19.本小题分
如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，，，点是圆上不同于，的任意一点，为的中点．
证明：平面；
若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值；
若点为圆含圆周内任意一点，它到点的距离与到直线的距离相等，求三棱锥体积的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.，，，
由余弦定理得，
，
，则；
，，
在中，，，，
由正弦定理得，即，，
，，
，即，
，又，．
16.解：证明：若为的中点，连接，，为的中点，
则且，
由，，则且，
故BCE为平行四边形，
所以，平面，平面，
故CE平面；
由知直线与平面间的距离，即为点与平面间的距离，
由，，，取的中点，连接，，
所以四边形为矩形，，
由是以为斜边的等腰直角三角形，，，
由，且都在平面内，
则平面，
由，则平面，平面，
则平面平面，
以为原点构建空间直角坐标系，
则，，，
由平面，平面，则，
在中，，则，
由，所以，可得，
所以，，则，，，
设平面的一个法向量为，
则，则，
取，则，
所以，
所以直线与平面间的距离为．
17.，解得；
估计，理由如下：
根据题意可知，，
，
故落在第组，，解得，
故该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准；
，理由如下：
根据题意可知，在位居民中，第组有位居民，人，即，
其中一位居民的用水量为，设其它位居民用水量分别为，，，，，，，
故，
其它位居民用水量平均数为：，
故，显然．
18.证明：斜三棱柱中，侧面是平行四边形，
因为平面，平面，因此，
因为，，因此平面，
又因为平面，因此，因此四边形为矩形．
如图，过点作的垂线交于点，
因为平面，平面，因此，
又因为，，，，因此平面，
过点作的平行线交于点，连接，因此平面，
由斜三棱柱的性质易知，
在平面中以为原点，为轴建立平面直角坐标系，
因此，，，，，
设，则，因此，，
因为，因此，
即，解得，
在上是存在点，当时，平面．
延长，交于点，连接交于点，连接，，
则四边形即为所得截面，
因为四边形是菱形，为的中点，平面，平面，
因此，是等边三角形，则，
因为，因此，
过作交于，
因为，，，，平面，因此平面，
因为平面，因此，
因为，，平面，因此平面，
因为平面，因此，，
在中，因为，
由余弦定理可知，
因为，分别为，的中点，，易知与全等，
因此，，，
在直角三角形中，由可得，
在中，由余弦定理可知，
因此，
因此，
设截面面积为，由于，，
因此
．
即所求截面面积为．
19.证明：因为平面，且平面，
所以，
因为点在以为直径的圆上，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面．
因为平面，平面，所以，
因为，所以，
因为平面，
则为直线与平面所成的角，即，
所以，因为为中点，所以，
所以三角形为等边三角形，取中点为，连结，则，
过作交于点，
则为的平面角．
在直角三角形中，，
在三角形中，
由余弦定理得，
所以，
所以．
在三角形中，
由余弦定理得．
过点作，垂足为，
因为平面，且平面，所以，
因为平面，平面，，
所以平面，过点作，垂足为，连结，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
即为点到直线的距离．
因为，所以，
所以点在的角平分线上，
所以，所以，
所以点在直线上，
所以，
因为，
所以，
即三棱锥体积的取值范围为．
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