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2024-2025学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
3.若，是两条直线，，是两个平面，且，设：，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.的展开式中第项的系数是( )
A. B. C. D.
5.若随机变量服从正态分布，则( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，圆和的两条边相切，射线绕点从开始逆时针方向旋转至，设，在旋转过程中，扫过的圆内阴影部分的面积为，则关于的图象可能是( )
A. B. C. D.
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，满足，当时，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，样本数据：，，，，则( )
A. 的平均数一定等于的平均数 B. 的中位数一定小于的中位数
C. 的极差一定大于的极差 D. 的方差一定小于的方差
10.已知函数，，，( )
A. 若，，则函数为奇函数
B. 若有极小值，则
C. 若有极大值，则
D. 可能在处有极大值
11.如图，已知笛卡尔“鸡蛋”曲线过点，且曲线上任意一点到和的距离满足，则( )
A.
B. 曲线与单位圆有个交点
C. 的最小值为
D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从甲、乙、丙人中选人参加两项活动，有______种不同的选法．
13.准线方程为的抛物线的标准方程是 ．
14.定义：平面点集中的每一点都有唯一的实数与之对应，则称为上的二元函数若点的横、纵坐标，均为整数，则称点为“整数点”已知，则方程的“整数点”为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
Ⅰ求的单调递增区间；
Ⅱ若函数的零点为，求．
16.本小题分
已知函数．
求在点处的切线方程；
求函数的极值；
判断方程的解的个数．
17.本小题分
在平行四边形中，，，，为中点，将沿直线翻折至设是线段的中点，E.
证明：平面；
求三棱锥的体积；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
若无穷正项数列同时满足以下两个性质：存在，使得，；为单调数列，则称数列具有性质．
若，；
判断数列，是否具有性质，并说明理由；
记为数列的前项和，判断数列是否具有性质，并说明理由；
某同学投篮命中率为，每次投篮相互独立，设随机变量为投篮次命中的次数，记，证明：数列具有性质．
19.本小题分
已知双曲线：的两条渐近线为，且经过点．
求双曲线的方程；
，分别是双曲线的左右焦点，过双曲线上一点作双曲线的切线的方程为交轴于点；
证明：，，，四点共圆；
当时，过点作的垂线与的角平分线交于点，求点的轨迹方程．
参考答案
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14.
15.解：，
，，
解得，，
所以的单调递增区间为，；
因为函数的零点为，
所以，
因为，
所以．
16.由函数，可得，
则，，即切线的斜率，切点坐标为，
所以曲线在点处的切线方程．
由知，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
当时，有极小值．
由知，函数在递减，在递增，且有极小值，
又由时，；时，，
函数的图象如图所示，
又由方程的解的个数，即为与的图象的交点个数，
由图象可得：当时，没有公共点，此时方程无解；
当或时，两函数的图象只有一个公共点，此时方程有一解；
当时，两函数的图象有两个公共点，此时方程有两解．
17.证明：因为，，，为中点，
所以，，
即为等边三角形，所以，
在中，．
所以，因为，所以，
又，，，平面，所以平面
由可知，为三棱锥的高，
，
所以；
取中点，中点，以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
，，，
，，
可得平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
故，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18.假设存在，使得，则有，
因为，所以数列不具有性质；
因为，且为单调递减数列，所以数列具有性质；
数列具有性质，，，
两式作差得：
，
，所以数列满足条件；
因为，
所以为单调递增数列，满足条件，数列具有性质；
证明：因为，，，，，记是奇数时的概率和为，是偶数时的概率和为，
，
，
可得，故随着的增大而增大，所以数列具有性质．
19.由题意得：，即，又双曲线经过点，
得，解得，所以双曲线的方程为；
证明；由题意得：过点的切线方程为，
即，又，，
则过，，三点的圆的圆心为有，
即，，
所以，
又，
即，所以，，，四点共圆．
方法一：切线的垂线方程为，
令切线交轴于点，
的角平分线交切线于点，
由角平分线定理得：，
所以，代入坐标得，
故的角平分线方程为，设点，
联立，可得，
所以点的轨迹方程为．
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