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2024-2025学年福建省三明一中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.下列结论中正确的是( )
A. 正四面体是四棱锥
B. 棱台的侧棱长均相等
C. 圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线
D. 以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体叫圆锥
3.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.在空间中，，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则，为异面直线
C. 若，，，则
D. 若，，则
5.如图，在中，点是的中点，点是的中点，设，，那么( )
A.
B.
C.
D.
6.已知单位向量，满足，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.在中，，，是斜边上的两个动点，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.在四棱锥中，，过直线的平面将四棱锥截成体积相等的两个部分，设该平面与棱
交于点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于向量，，，下列说法正确的是( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D. 若，，则
10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是( )
A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小
11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论奔驰定理与三角形四心重心、内心、外心、垂心有着神秘的关联它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且以下命题正确的有( )
A. 若：：：：，则为的重心
B. 若为的内心，则
C. 若，，为的外心，则
D. 若为的垂心，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.化简的结果等于______．
13.在中，，，，则 ______．
14.已知复数，且，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数为虚数单位在复平面上对应的点在第四象限，且满足．
求实数的值；
若，且，，求的值．
16.本小题分
已知向量，．
求；
若，且，求向量与向量的夹角；
若，且，求向量的坐标．
17.本小题分
如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点．
求四棱锥的体积；
证明：平面；
证明：．
18.本小题分
记的内角，，所对的边分别为，，，若，．
求角的大小；
若，求的周长；
求边上的中线长度的最小值．
19.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求．
若，点，是边上的两个动点，当时，求面积的取值范围．
若点，是直线上的两个动点，记若恒成立，求的值．
参考答案
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15.复数为虚数单位，
在复平面上对应的点在第四象限，且满足，
，且，
解得；
由可得，把代入，化简得，
即，解得，
．
16.因为，，因此．
因此．
因为，因此，因此．
因此，
结合，解得；
因为，，因此．
因为，设，
则，
解得，
故或．
17.解：因为底面，
则为四棱锥的高，
因为，正方形的边长为，
则四棱锥的体积为；
证明：连接，且，连接，
因为四边形为正方形，则为线段的中点，
又为侧棱的中点，则为的中位线，
则，因为平面，平面，
则平面；
证明：因为四边形为正方形，则，
又平面，平面，
则，
因为，平面，平面，
则平面，又平面，
则．
18.，由正弦定理得，
又由余弦定理，可得，
，；
，由正弦定理得，
，，，，
又，，则，
由，可得，，
的周长为；
，由余弦定理得，即，
又，当且仅当时等号成立，，，
为边上的中线，可得，
，
，则，
边上的中线长度的最小值为．
19.解：因为，
所以由正弦定理得，
因为，
所以，
因为，
所以，
由，可得，即，
所以，
由正弦定理可得，则，
得，则或舍去，
所以；
设，在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
的面积
，
因为，
所以，
则，
故面积的取值范围为；
因为，
所以，
则，即，
又是定值，
所以，是定值，
所以，
因为，为的内角，
所以，
故的值为．
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