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2024-2025学年湖南省长沙市地质中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于( )
A. B. C. D.
2.若，，，则实数之间的大小关系为 ．
A. B. C. D.
3.周髀算经中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为：，则( )
A.
B.
C.
D.
4.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的极小值为 B. 的极大值为
C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减
5.已知函数，，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.如图，平面四边形中，，，，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若存在实数，，使得，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.在平行四边形中，，是平行四边形内包括边界一点，，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线左、右两支于，两点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为( )
A. B. C. D.
10.已知函数( )
A. 若在上单调递增，则实数的取值范围是
B. 若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是
C. 当，在区间上不单调，则实数的取值范围是
D. 若的单调递减区间为，则
11.曲线的曲率就是针对曲线上个克的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线在点处的曲率，其中是的导函数( )
A. 若函数则曲线在点与点处的弯曲程度相同
B. 若是二次函数．则曲线的曲率在顶点处取得最小值
C. 若函数，则函数的值域为
D. 若函数，则曲线上任意一点的曲率的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若存在直线与曲线，都相切，则的范围是______．
13.已知，是函数的两个零点，且，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，且函数在内恰有个最值点，则实数的取值范围为______．
14.设抛物线，点是抛物线的焦点，点在轴正半轴上异于点，动点在抛物线上，若是锐角，则的范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在长方体中，，，与交于点，的中点为．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值；
Ⅲ求平面与平面夹角的余弦值．
16.本小题分
设函数．
若函数有两个极值点，求实数的取值范围；
设，若当时，函数的两个极值点，满足，求证：．
17.本小题分
已知函数，其中．
求函数的最小值；
若有两个极值点，，求实数的取值范围，并证明：
18.本小题分
定义在上的连续函数对任意实数，，恒有，且当时，，又．
求证：为奇函数；
求函数在上的最大值与最小值．
19.本小题分
已知函数．
求函数在区间上的最大值；
求函数零点的个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：Ⅰ证明：建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得，，，，，
因为与交于点，在长方体中可得为的中点，所以，
为的中点，所以，
所以，，，
所以，即，，
即，，而，
所以平面；
Ⅱ由Ⅰ可得，，，
设面的法向量，
则，即，
令，
则，
所以，，
设直线与平面所成角为，
则，，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
Ⅲ设面的法向量，，，
则，即，令，
可得，
所以，，
设平面与平面夹角为，则，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
16.解：由题意可得有个变号零点，
故有个变号零点，
令，则，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
又时，，时，，且当时，函数取得极大值也是最大值，
故，
即
证明：，
则，
由题意得，，
，，
由可得，
解得，
由于恒成立时取等号
，
令，则在上单调递减，
当时，取得最小值，
故．
17.解：对求导可得，
令，得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以函数的最小值为；
，
求导可得，
因为函数有两个极值点，，
所以导函数有两个正的零点，，且在零点左右附近导数值异号，
所以二次函数必有两个正的零点，
故，解得，即实数的取值范围是．
又，，代入中可得
，
设，则，
所以，即．
又由中可知在取等号，
所以当时，，再结合，
可得，
所以．
综上，成立．
18.证明：令，得，
令，，得，所以，
所以，即，
所以为奇函数．
解：设，，且，
则，即，
因为，所以，
所以，所以为上的减函数．
因为，所以，
，，
因为在上是减函数，
所以，．
19.解：，
令，则，
所以，所以，所以在上单调递增，
又，
，
故存在唯一，使得，
故为上的极小值，
又，，
故函数在区间上的最大值为．
函数的定义域是，
当时，，，
所以，所以在上单调递减，
又，所以，故此时的零点为；
当时，由知，函数在区间上有唯一零点；
当时，令，，
则，
所以在上单调递增，
所以．
又，故对任意，都有，
所以函数在区间上没有零点，
综上，函数有且仅有个零点．
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