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2024-2025 学年宁夏银川一中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1.已知集合 = { | +3 < 0}, = { |lg( + 1) > 0}，则( ) ∪ =( )
A. { | ≤ 3，或 > 0} B. { | ≤ 3，或 > 1}
C. { | 3 ≤ ≤ 1} D. { | 3 ≤ ≤ 1}
2.已知函数 ( ) = 2 log2 6，则用二分法求 ( )的零点时，其中一个零点的初始区间可以为( )
A. [1,2] B. [2,3] C. [3,4] D. [4,5]
3.随机变量 的分布列如下表所示，其中 ， 为函数 ( ) = 2 3 15 2 + 的两个不同的极值点，则 =( )
0 1 2

A. 13 B.
1
2 C.
1
4 D.
1
6
4.在一个不透明的容器中装 7 块形状相同的酥性饼干，其中 2 块是葱香饼干，2 块是芝麻饼干，3 块是奶
油饼干，每次从中任意抽取 1 块，抽出的饼干不再放回，则在第 1 次抽到的不是奶油饼干的条件下，第 2
次抽到的是奶油饼干的概率为( )
A. 14 B.
1
3 C.
1 3
2 D. 4
ln( 25 +1+ ).函数 ( ) = + 的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知 = 1.52， = 21.5， = log1.52，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
7
, < 0, 1 1
.已知函数 ( ) = ( 2), ≥ 0，方程 ( ) = 8 + 2的根的个数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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8.已知定义域均为 的函数 ( )， ( )满足 (2 ) + ( ) = 2， (4 ) = ( )， (2) = 3，若 ( ) = (2 +
) + 4，则下列说法错误的是( )
A. ( )的图象关于 轴对称 B. 8 为 ( )的一个周期
C. (2023) = 1 D. 22 =1 ( ) = 16
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下表为某商品的宣传投入费用 (单位：万元)与对应利润 (单位：万元)的数据统计表.根据表中数据，得

到 关于 的经验回归方程为 = 3.9 + (参考数据：5 =1 = 105)，则下列结论正确的是( )
宣传投入费用 3 4 5 6 7
对应利润 1 2 20 4 5

A. = 1.5
B.经验回归直线经过点(5,21)
C.根据该模型，宣传投入费用每增加 1 万元，对应利润相应增加 3.9 万元
D.根据该模型，若该商品的宣传投入费用为 10 万元，则对应利润的预测值为 40.5 万元
10.下列说法正确的是( )
A.函数 ( ) = 1 2( > 0 且 ≠ 1)的图象恒过定点(1, 1)
B.若函数 ( )满足 ( ) + ( ) = 6，则函数 ( )的图象关于点(0,3)对称
C.当 > 0 3时，函数 = + +1 1 的最小值为 2 3 1
D. ( ) = ( 1 ) 2 +2 1函数 2 的单调增区间为[ 2 , 1]
11.已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，当 > 0 时， ( ) = ( 1)，则( )
A.当 < 0 时， ( ) = ( + 1)
B.函数 ( )有 2 个零点
C.函数 ( )过点( 1,0)的切线方程为 + 1 = 0
D. 1， 2 ∈ ，都有| ( 1) ( 2)| < 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2
12.若函数 ( ) = + 2 , ≥ 0,2 是奇函数，则 ( (3)) = ______． + , < 0
13.若随机变量 ～ (3, 2)，且 (1 ≤ ≤ 3) = ， ( ≥ 5) = 3 +4 ，则 2 的最小值为______．
3
14 .若函数 ( ) = 23 2 + + 1 在区间(
1
3 , 4)上有极值点，则实数 的取值范围是______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 1 22 + (3 2 ) 6 ．
(1)当 = 2 时，求曲线 = ( )在(1, (1))处的切线方程；
(2)当 < 0 时，讨论函数 ( )的单调性．
16.(本小题 15 分)
为研究某种学习软件对学生成绩的提升是否有影响，对某高中部分学生进行了调研，得到如下列联表：
单位：人
学习软件
成绩提升情况 合计
经常使用不经常使用
提升 100 70
没有提升 10 20 30
合计 110 200
(1)求 ， 的值，并依据小概率值 = 0.01 的独立性检验，分析经常使用这种学习软件是否对学生成绩提升
有影响；
(2)在学习成绩没有提升的学生中采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽出 2
人作进一步的调研，若抽取的 2 人中经常使用这种学习软件的人数为 ，求随机变量 的分布列与期望．
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + ) , = + + + ．
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
17.(本小题 15 分)
“小黄城外芍药花，十里五里生朝霞，花前花后皆人家，家家种花如桑麻．”这是清代文学家刘开有描写
安徽亳州的诗句，亳州位于安徽省西北部，有“中华药都”之称．亳州自商汤建都到今，已有 3700 年的文
明史，是汉代著名医学家华佗的故乡，由于一代名医的影响，带动了亳州医药的发展，到明、清时期亳州
就是全国四大药都之一，现已是“四大药都”之首．亳州建有全球规模最大、设施最好、档次最高的“中
国(亳州)中药材交易中心”，已成为全球最大的中药材集散地，以及价格形成中心．某校数学学习小组在假
期社会实践活动中，通过对某药厂一种中药材销售情况的调查发现：该中药材在 2021 年的价格浮动最大的
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一个月内(以 30 天计)日平均销售单价 ( )(单位：元/千克)与第 天(1 ≤ ≤ 30, ∈ )的函数关系满足
( ) = +1 + 20( 为正常数).该中药材的日销售量 ( )(单位：千克)与 的部分数据如下表所示：
4 10 20 30
( ) 149 155 165 155
已知第 4 天该中药材的日销售收入为 3129 元．(日销售收入=日销售单价×日销售量)
(1)求 的值；
(2)给出以下四种函数模型：① ( ) = + ，② ( ) = ( 20)2 + ，③ ( ) = | 20| + ，④ ( ) =
log ，请你根据表中的数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该中药材的日销售量
( )与 的关系，并求出该函数的解析式和日销售收入 ( )(单位：元)的最小值．
18.(本小题 17 分)
已知 ( ) + ( ) = ，其中 ( )为奇函数， ( )为偶函数．
(1)求 ( )的解析式并指出 ( )的单调性(无需证明)；
(2)若对于任意的实数 > 0，都有 ( 2 + 3) > ( )成立，求实数 的取值范围；
(3)若对于任意的实数 1 ∈ [0, + ∞)，总存在实数 2 ∈ [1,3]，使得 4[ ( )]21 2 ( 1) > 2 + 1 成立，求实
数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
对于定义在 上的函数 ( )，其导函数为 ′( )，若存在 ∈ ，使得 ′( ) = ( )，且 = 是函数 ( )的
极值点，则称函数 ( )为“ 函数”．
(1) 设函数 ( ) = + ，其中 2 < < 2， ∈ ．
①若函数 ( )是单调函数，求实数 的取值范围；
②证明：函数 ( )不是“0 函数”；
(2)对任意 ∈ ，证明：函数 ( ) = + 是“0 函数”．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.7 + 4 3
14.(2, 174 )
15.(1)当 = 2 时， ( ) = 2 6 ，
′( ) = 2 1 6 , ′(1) = 5，
又 (1) = 0，所以切线方程为 = 5( 1) = 5 + 5；
(2) ( )定义域为(0, + ∞), ( ) = + (3 2 ) 6 = ( 2)( +3)′ ，
令 ′( ) = 0 3，解得 1 = 2 或 2 = ，
3 3
①当 = 2，即 = 2时， ( )在(0, + ∞)单调递减，
②当 0 < 3 < 2，即 <
3 3 3
2时，在(0, ), (2, + ∞)单调递减，在( , 2)上单调递增，
③当 3 > 2
3
，即 2 < < 0 时，
( )在(0,2), ( 3 , + ∞)上单调递减，在(2,
3
)上单调递增．
16.(1)由题意得 = 100 + 70 = 170， = 70 + 20 = 90．
零假设为 0：经常使用这种学习软件对学生成绩提升无影响．
2 = 200×(100×20 70×10)
2
由题意得 110×90×170×30 ≈ 6.694 > 6.635，
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根据小概率值 = 0.01 的独立性检验，推断 0不成立，
∴认为经常使用这种学习软件对学生成绩提升有影响．
(2)在学习成绩没有提升的学生中采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取 6 人，
其中经常使用这种学习软件的有 2 人，不经常使用这种学习软件的有 4 人，
∴ 的可能取值为 0，1，2，
2 1 1 2
则 ( = 0) = 4 = 6 = 22 15 5 , ( = 1) =
2 4 8 2 1
2
= 15 , ( = 2) = 2 = 15，6 6 6
∴ 的分布列为：
0 1 2
2 8 1
5 15 15
∴ ( ) = 0 × 2 8 1 25+ 1 × 15 + 2 × 15 = 3．
17.解：(1)由 = 4 时，( +1 + 20) 149 = 3129，得 = 5．
(2)因为数据有增有减，①④不合符题意，
将二三组数据代入②类函数解析式可得：
(10 20)2 + = 155 = 1
2 ，解得： 10， (20 20) + = 165 = 165
1
即得②类函数解析式为 ( ) = 10 ( 20)
2 + 165．
将二三组数据代入③类函数解析式可得：
|10 20| + = 155 = 1
|20 20| + = 165，解得： = 165，
即得③类函数解析式为 ( ) = | 20| + 165，
1
将第一组数据代入 ( ) = 10 ( 20)
2 + 165，
(1) = 1可知： 10 (4 20)
2 + 165 = 139.4，
将第一组数据代入 ( ) = | 20| + 165，
可知： (1) = |4 20| + 165 = 149，
因此 ( ) = | 20| + 165(0 ≤ ≤ 30)最合适，
当 ∈ [1,20)时，
( ) = ( 5 + 20)( + 145) = 5 + 20( + 1) + 5×144 +1 +1 + 2880 ≥ 2885 + 2 20( + 1)
5×144
+1 = 3125，
当且仅当 = 5 时，等号成立，
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当 ∈ [20,30]时，
( ) = ( 5 +1 + 2)( + 185) =
5×186
+1 20( + 1) + 3715，
函数 ( )在[20,30]上单调递减，
所以 ( ) ≥ (30) = 3125，当且仅当 = 30 时，等号成立，
综上可知，当 = 5 或 30 日销售收入最小值为 3125 元．
18.(1)因为 ( ) + ( ) = ①， ( )为奇函数， ( )为偶函数，
则 ( ) + ( ) = ，
即 ( ) + ( ) = ②，

联立①②，得 ( ) = 2 ， ( ) =
+
2 ，
=

因为函数 2、 =

2 在 上均为增函数，
故函数 ( )在 上单调递增；
(2)由(1)得 ( )单调递增，
因为 ( 2 + 3) > ( )，
所以 2 + 3 > ，
2+3
整理得 < +1对于任意的 > 0 成立，
2
< ( +3则 +1 ) ，
令 = + 1 ∈ (1, + ∞)，
2+3 2= 2 +4 = + 4则 +1 2 ≥ 2
4
2 = 2，
4
当且仅当 = 时，即 = 2 时取等号，
所以 < 2，
所以实数 的取值范围为( ∞,2)；

(3) (1) ( ) = ( ) =
+
由 知， 2 ， 2 ，
则 4[ ( 2 1)] 2 ( 1) = ( 1 + 1)2 ( 1 1) = 2 1 + 2 1 ( 1 1) + 2
= ( 1 1)2 2( 1 1) + 4，
令 = 1 1 ∈ (0, + ∞)，
则 4[ ( 1)]2 2 ( 1) = 2 + 4 = (
1 )2 + 15 15 12 4 ≥ 4，当 = 2时等号成立，
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∈ [1,3] < 11则原题目转化为存在 2 ，使得 2 4成立，
当 ≤ 0，成立；
当 > 0 时，
则有( 112) = < 4，
解得 0 < < 114；
综上， < 114，
11
所以实数 的取值范围为( ∞, 4 ).
19.解：(1)① ∵函数 ( ) = + ，其中 2 < < 2， ∈ ，
2
∴ ′( ) = cos + cos2 ，
( ) ( ) ( , 若 在 2 2 )上单调递减，则 ′( ) ≤ 0 恒成立，
即 ≤ cos2 恒成立，∴ ≤ 1；
( )若 ( ) ( 在 2 ,

2 )上单调递增，则 ′( ) > 0 恒成立，
即 ≥ cos2 恒成立，∴ ≥ 0．
综上，实数 的取值范围是( ∞, 1] ∪ [0, + ∞)．
②证明：假设 ( )是“0 函数”，则 = 0 是 ( )的极值点，
∴ ′(0) = 1 + = 0，解得 = 1，
由①可知，当 = 1 时， ( )在( 2 , 2 )上单调递减，与 = 0 是 ( )的极值点矛盾，
∴ ( )不是“0 函数”．
(2)证明：由题意得 ′( ) = (1 ) + ，则 ′(0) = (0) = 0，
当 ∈ ( 2 ,

2 )时， ′( ) = [(1 ) + ] ，
∴当 ∈ ( , 2 2 )时， > 0，
设 ( ) = (1 ) + ， ∈ ( 2 2 )，
①当 1 ≤ 1，即 ≥ 2 时，由( )知 ( )在( 2 , 2 )上单调递减，
又 (0) = 0，∴当 ∈ ( 2 , 0)时， ( ) > 0，即 ′( ) > 0，
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当 ∈ (0, 2 )时， ( ) < 0，即 ′( ) < 0，
∴ ( )在 = 0 处取得极大值，此时 ( )是“0 函数”；
②当 1 ≥ 0 时，即 ≤ 1 时，由( )可知 ( )在( 2 , 2 )上单调递增，

又 (0) = 0，∴ ∈ ( 2 , 0)时， ( ) < 0，即 ′( ) < 0，
当 ∈ (0, 2 )时， ( ) > 0，即 ′( ) > 0，
∴ ( )在 = 0 处取得极小值，此时 ( )是“0 函数”；
1 < < 2 ( ) = 1 +cos
2
③当 时， ′ cos2 ，
设 ( ) = 1 + cos2 ，
由题意知 ( )在( 2 , 0)上单调递增，在(0, 2 )上单调递减，
∵ (0) = 2 > 0 ， ( 2 ) = ( 2 ) = 1 < 0，
∴ 存在 1 ∈ ( 2 , 0)， 2 ∈ (0, 2 )，使得 ( 1) = ( 2) = 0，
当 ∈ ( 1, 2)时， ( ) > 0，
即 ′( ) > 0， ( )在( 1, 2)上单调递增，
又 (0) = 0，∴当 ∈ ( 1, 0)时， ( ) < 0，即 ′( ) < 0，
当 ∈ (0, 2)时， ( ) > 0，即 ′( ) > 0，
∴ ( )在 = 0 处取得极小值，此时 ( )是“0 函数”．
综上，对于任意 ∈ ， ( )均为“0 函数”．
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