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2024-2025 学年四川省成都市石室中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 为虚数单位，复数 满足 (1 + ) = 1，则| | =( )
A. 2 B. 1 C. 22 D.
1
2
2.已知不重合的直线 、 、 和平面 ，下列命题中真命题是( )
A.如果 不平行于 ，则 内的所有直线均与 异面
B.如果 ， ， 、 是异面直线，那么 与 相交
C.如果 ， // ， 、 共面，那么 //
D.如果 // ，那么 平行于经过 的任何平面
3.如图，平行四边形 中， 是 的中点， 在线段 上，且 = 3 ，记 = ， = ，则 =( )
A. 2 + 1 3 3 B.
2 1 1 3 3 5
3 3 C. 4 + 8 D. 4 8
4.“ ∈ [0,2 ]，点 ( , )在第二象限”的一个充分不必要条件是 ∈( )
A. ( 2 ,
3
4 ) ∪ ( ,
5 ) B. (0, 4 6 ) ∪ (
5 3
4 , 2 )
C. ( 2 ,
3
4 ) ∪ (
5
4 ,
3 ) D. (0, 5 3 2 4 ) ∪ ( 4 , 2 )
5.学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚 测得山顶 的仰角为 45°，沿
倾斜角为 15°的斜坡向上走了 600 到达 点( , , , 在同一个平面内)，在 处测
得山顶 的仰角为 60°，则青城山的山高 为( )
A. 300( 6 + 2) B. 300( 6 2)
C. 600( 3 + 1) D. 600( 3 1)
6.已知实数 ， 满足 2 + 2 = 1，则| + 3 7| + |8 3 |的最大值为( )
A. 15 B. 17 C. 19 D. 21
7 ∠ 3.△ 中，sin 2 = 3 ，点 在线段 上，且 = 3 ， = 3，则△ 面积最大值为( )
A. 4 2 B. 6 2 C. 6 3 D. 4 3
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8.如图，在棱长为 6 正方体中，点 为棱 的中点，点 为棱 1 1的中点，点 为棱 1上靠近点 的三等
分点，则经过 ， ， 三点的平面截该正方体所得截面的形状和与侧面 1 1的交线长度分别为( )
A. 2 181五边形， 5
B. 2 181六边形， 5
C. 2 183五边形， 5
D. 2 183六边形， 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = ( , ), = ( 1, 3)，( )
A.若 ⊥ ，则 = 6 + ( ∈ )
B.若 // ，则 = + 3 2 ( ∈ )
C.若| + | 2 取得最大值，则 = 3 + ( ∈ )
D. 若 = 6，则 在 上的投影向量为(
3 , 34 4 )
10.已知复数 1， 2，则下列说法不正确的是( )
A.若| 1| = | 2 22|，则 1 = 2
B.若 1 2 > 0，则 1 > 2

C. 1 2 ∈ 是 1 = 2的充分不必要条件
D. | 1| = 1，| 2| = 1，| 1 2| = 1，则| 1 + 2| = 3
11.已知函数 ( ) = ( + ) + | |，其中 > 0， > 0，则下列说法中正确的有( )
A. ( )的最小值为 2
B. ( )的最大值为 2 2 + 2 2
C. ( ) = 2 3 5 方程在[ 4 , 4 ]上有三个解
D. ( ) ( 在 2 ,
3
2 )上单调递减
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为 6，6，6，其外接球的表面积为______．
13.已知向量 , , 的模长分别为 2，1，1，且 = 0，则| + |的最大值为______．
14 9 8 5.在△ 中，若 + = ，则 的最小值为______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， 1 = = 2， = 1， ， 分别为 1 1， 的中点．
(1)证明： 1 //平面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
16.(本小题 15 分)
设△ 是边长为 3 的正三角形，点 、 三等分线段 (如图所示)．
(1)求 + 的值；
(2) 在线段 的何处时， 取得最小值，并求出此最小值．
17.(本小题 15 分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 2 = 2 ．
(1)求角 ；
(2) △ + 若 是锐角三角形，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
定义向量 = ( , )的“相关函数”为 ( ) = + ；函数 ( ) = + 的“相关向量”
为 = ( , )．
(1)求函数 ( ) = 2 2( 2 +

3 ) 1 的“相关向量”
的模长；
(2)在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若函数 ( )的“相关向量”为 = (0,1)，且已知 =
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4, ( ) = 35．
①求△ 周长的最大值；
②求| + | 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
在 △ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， . = + ， 已知 + ．
(1)求角 ；
(2)已知 ≠ 2 ， = 2 3，点 ， 是边 上的两个动点( , 不重合)，记∠ = ．
= ①当 6时，设△ 的面积为 ，求 的最小值；
②记∠ = ，∠ = .问：是否存在实常数 和 ，对于所有满足题意的 ， ，都有 2 + 2 + =
4 成立？若存在，求出 和 的值；若不存在，说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.108
13. 5 + 1
14.6 211
15.解：(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ，
∵ 为 的中点，∴ //12 ，且 =
1
2 ，
∵ 为 ∴ //1 = 11 1的中点， 1 2 ，且 1 2 ，
∴ // 1，且 = 1，∴四边形 1为平行四边形，
∴ 1 // .又 1 平面 ， 平面 ，
∴ 1 / /平面 ；
(2) ∵ ⊥ ， = 2， = 1，∴ = 3，
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∴ 1 3△ = 2 × 1 × 3 = ．2
∵ 1 1//平面 ，
∴点 到面 的距离等于点 1到面 的距离，
∴ = 1 ，又 1 ⊥平面 ，
∴ 1 = = 1 = 3 △ × =
3
1 ．3
16.解：(1)如图所示，
设 = ， = ，

则| | = | | = 3，且< , >= 3，
∵点 、 三等分线段 ，
∴ = 2 + 1 3 3 ，
= 1 + 2 3 3 ，
2
∴ + = ( + ) = ( 43 +
2 2 1 8 2 8 2 8 8
3 ) ( 3 + 3 ) = 9 + 9 + 9 = 9 × 9 + 9 × 3 ×
3 × 1 22 + 9 × 9 = 14；
(2)以线段 所在的直线为 轴，以线段的垂直平分线为 轴，建系如图：
则 (0, 3 3 )， (
3
2 2
, 0)，
3 3
又 在线段 上，设 ( , 0)， ∈ [ 2 , 2 ]，
3∴ = ( , 3 3 )， = ( 2 , 0)，2
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∴ = ( 32 ) =
2 3 3 2 92 = ( 4 ) 16，
∴当 = 3时， 4
9
取得最小值 16．
17.(1)因为 2 = 2 ，
所以 2 = 2 ，
可得 2 ( + ) = 2 ，
可得 2 + 2 = 2 ，
可得 2 = ，
又 ≠ 0，
1
可得 = 2，
又因为 ∈ (0, )，
所以 = 3；
0 < < 0 < <

(2) 2 2 由题意可得 ，即 ，解得 < < ，
0 < < 2 6 22 0 < 3 < 2
+ +
由正弦定理得： =
3
2 + sin(
2
3 )=
3 1+ 1
= 2 + 2
3 1+ 2 2

2 1 1= 2 +2 22 cos 2
= 3 12 +
1
tan 2
，
2

由于6 < < 2，可得12 < 2 < 4，

tan
2
= 12 = 3又 6 1 tan2 3 ，则 tan

12 = 2 3，12

所以 2 3 < tan 2 < 1，
3+1 < 3 1 1则 2 2 + 2 < 3 + 2，tan2
+ 3+1
可得 的范围为( 2 , 3 + 2)．
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18.(1) ( ) = 2 2( 2 + 3 ) 1 = cos( +
2
3 ) =
3
2 +
1
2 ，
因此由“相关向量”定义可知：
( ) 3 1函数 的“相关向量”为 = ( 2 , 2 )，
则“相关向量” 的模长为 1；
(2)①由函数 ( )的“相关向量”为 = (0,1)，得 ( ) = ，
( ) = 3由 5，得 =
3
5，
在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ，
2
则 16 = 2 + 2 6 = ( + )2 16 ≥ ( + )2 16 ( + )2 = ( + )5 5 5 2 5 ，
解得 + ≤ 4 5，当且仅当 = = 2 5时取等号，
所以 + + ≤ 4 5 + 4，
即△ 周长的最大值为 4 5 + 4；
6
②由①知： 2 + 2 = 16 + 5 ，
则| + | = 2 + 2 + 65
3
5 = 2 4 +
3
5
3
5 ，
而 16 = 2 + 2 65 ≥
4
5 ，则 ≤ 20，
当且仅当 = = 2 5时取等号，于是 0 < ≤ 20，
= 4 + 3令 5 ∈ (2,4],
则| + | = 2 + 2 + 4 = ( 1)2 + 5 ∈ [ 4,4)，
所以| + | 的取值范围为[ 4,4)．
19. (1) = + = + 解： 因为 + ，所以由正弦定理可得 + ，
所以 + = + ，
所以 = ，所以 sin( ) = sin( )，
因为 ∈ ( , )， ∈ ( , )，
所以 = 或( ) + ( ) = 2 × 2或( ) + ( ) = 2 × (

2 )，
即 2 = + 或 = + (舍去)或 = + (舍去)，又 + + = ，所以 = 3；

(2)①因为 ≠ 2 ，所以 = 2，又 = 3， = 2 3，所以 = 2， = 4．
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如图，设∠ = ， ∈ [0, 3 ]，
则在△ 中，由正弦定理，得 = sin( + )，

即为sin =
2 3
6 sin(

6+ )
，
所以 =
3
sin( + )，6
3
在△ 中，由正弦定理，得 = sin( + 3)
，所以 = sin( + 3)
，
= 12
3 3 3
6 = 4 ( + 6)sin( +
) =3 2[cos(2 +
=
2) cos( 6)] 3+2 2
，
因为 ∈ [0, 2 3 ]，所以 2 ∈ [0, 3 ]，
2 = 3故当 2，即 = 4时， = 3+2 = 3(2 3)；
②假设存在实常数 ， ，对于所有满足题意的 ， ，都有 2 + 2 + = 4 成立，
则存在实常数 ， ，对于所有满足题意的 ， ，
都有 2 ( + )cos( ) + = 2 [cos( ) cos( + )]，
即为 2[sin( + ) ]cos( ) + [1 + 2 ( + )] = 0 恒成立，
由题意， + = 是定值，所以 sin( + )，cos( + )是定值，
sin( + ) = 0
故有 [1 + 2 ( + )] = 0，因为 = sin( + ) ≠ 0，从而 1 + 2 ( + ) = 0，
即 cos( + ) = 12，
因为 ， 为△ 的内角，所以 + = 2 3，
从而 = 2 3 =
3
3， = ．2
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