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第二十四章　圆
本章总结提升　
圆
热点一　垂径定理及推论
1．在☉O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC∶OB＝3∶5，则DE的长为( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A．6 B．9 C．12 D．15
2．［情境题·数学文化］我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺(1尺＝10寸)．问这根圆形木材的直径是 寸．
3．［跨历史·石拱桥］［宜昌中考］石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶，隋代建造的赵州桥距今约有1 400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图所示的是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度(弧所对的弦长)AB＝26 m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D，拱高(弧的中心到弦的距离)CD＝5 m，连接OB．
(1)直接判断AD与BD的数量关系；
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径(精确到1 m)．
热点二　圆周角定理及其推论
4．如图，点A，B，C，D，E均在☉O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为( )
A．45° B．60° C．75° D．90°
第4题图　　　第5题图
5．如图，四边形ABCD的外接圆为☉O，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD＝45°，则∠ADB的度数为( )
A．55° B．60° C．65° D．70°
6．［安徽中考］如图，☉O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交☉O于另一点F，FA＝FE．
(1)求证：CD⊥AB；
(2)设FM⊥AB，垂足为M．若OM＝OE＝1，求AC的长．
热点三　圆内接四边形
7．如图，四边形ABCD内接于☉O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
第7题图　　　第8题图
8．如图，四边形PAOB是扇形MON的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与M，N重合，当点P在弧MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2＋PB2的值( )
A．变大 B．变小
C．不变 D．不能确定
9．如图，正方形ABCD是☉O的内接正方形，E在边AB上，F在DC的延长线上，且∠F＝∠BEC，BF交☉O于点G，连接DG，交BC于点H．求证：
(1)四边形BECF是平行四边形；
(2)DH＝CE．
热点四　三角形的外接圆与内切圆
10．如图，☉O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是( )
A．65° B．60° C．58° D．50°
11．［情境题·数学文化］刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是( )
A．d＝a＋b－c
B．d＝
C．d＝
D．d＝|(a－b)(c－b)|
12．如图，△ABC 内接于☉O，AB是☉O的直径，C是的中点，弦CE⊥AB于点H，连接AD，分别交CE，BC于点P，Q．
(1)求证：P是线段AQ的中点；
(2)若☉O的半径为5，D是的中点，求弦CE的长．
热点五　直线与圆的位置关系
13．已知平面内有☉O和点A，B，若☉O半径为2 cm，线段OA＝3 cm，OB＝2 cm，则直线AB与☉O的位置关系为( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．相交或相切
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的☉O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝，则图中阴影部分的面积为( )
A．4－ B．2－
C．2－π D．1－
第14题图　　　第15题图
15．［福建中考］如图，已知点A，B在☉O上，∠AOB＝72°，直线MN与☉O相切，切点为C，且C为的中点，则∠ACM等于( )
A．18° B．30° C．36° D．72°
16．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画☉O，☉O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA，交☉O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
(1)求证：AC是☉O的切线；
(3)若F是AB的中点，试探究BD＋CE与AF的数量关系，并说明理由．
热点六　正多边形与圆
17．如图，☉O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是( )
A．144° B．130° C．129° D．108°
第17题图　　　第18题图
18．如图，在边长为2 cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为 cm2．
19．如图，△ABC是☉O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是 度．
第19题图　　　第20题图
热点七　弧长与扇形面积
20．如图，两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD的圆心C是的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE，CF交于点G，半径BE，CD交于点H，则图中阴影部分的面积等于( )
A．－1 B．－2 C．π－1 D．π－2
21．［青岛中考］如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若☉O的半径为5，则的长为( )
A．π B．π C．π D．π
第21题图　　第23题图
22．一个扇形的面积是13π cm2，半径是6 cm，则此扇形的圆心角是 度．
热点八　圆锥的侧面展开图
23．如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是( )
A． B． C． D．1
24．如图，已知水平放置的圆柱形污水排水管道的截面半径OB＝12 cm，
截面圆心O到污水面的距离OC＝6 cm．求截面上有污水部分的面积为 cm2(结果保留根号)． 第二十四章　圆
本章总结提升　
圆
热点一　垂径定理及推论
1．在☉O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC∶OB＝3∶5，则DE的长为( C )
　　　　　　　　　　　　　　　
A．6 B．9 C．12 D．15
2．［情境题·数学文化］我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺(1尺＝10寸)．问这根圆形木材的直径是　26　寸．
3．［跨历史·石拱桥］［宜昌中考］石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶，隋代建造的赵州桥距今约有1 400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图所示的是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度(弧所对的弦长)AB＝26 m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D，拱高(弧的中心到弦的距离)CD＝5 m，连接OB．
(1)直接判断AD与BD的数量关系；
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径(精确到1 m)．
解：(1)AD＝BD．
(2)设主桥拱的半径为R m，∵AB＝26 m，CD＝5 m，∴BD＝AB＝×26＝13(m)，OD＝OC－CD＝(R－5)m．在Rt△OBD中，由勾股定理，得OB2＝BD2＋OD2，即R2＝132＋(R－5)2，解得R＝19.4，∴R≈19．因此，这座石拱桥的主桥拱的半径约为19 m．
热点二　圆周角定理及其推论
4．如图，点A，B，C，D，E均在☉O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为( D )
A．45° B．60° C．75° D．90°
第4题图　　　第5题图
5．如图，四边形ABCD的外接圆为☉O，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD＝45°，则∠ADB的度数为( C )
A．55° B．60° C．65° D．70°
6．［安徽中考］如图，☉O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交☉O于另一点F，FA＝FE．
(1)求证：CD⊥AB；
(2)设FM⊥AB，垂足为M．若OM＝OE＝1，求AC的长．
(1)证明∵FA＝FE，∴∠FAE＝∠AEF．∵∠FAE与∠BCE都是所对的圆周角，∴∠FAE＝∠BCE．又∵∠AEF＝∠CEB，∴∠CEB＝∠BCE．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CEB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＝∠ACB＝90°，∴∠CDE＝90°，∴CD⊥AB．
(2)解：由(1)知，∠BEC＝∠BCE，∴BE＝BC．∵AF＝EF，FM⊥AB，OM＝OE＝1，
∴MA＝ME＝2，∴AE＝4，∴圆的半径OA＝OB＝AE－OE＝3，∴BC＝BE＝OB－OE＝2．在△ABC中，AB＝6，BC＝2，∠ACB＝90°，
∴AC＝＝4．
热点三　圆内接四边形
7．如图，四边形ABCD内接于☉O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于( A )
A．40° B．50° C．60° D．70°
第7题图　　　第8题图
8．如图，四边形PAOB是扇形MON的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与M，N重合，当点P在弧MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2＋PB2的值( C )
A．变大 B．变小
C．不变 D．不能确定
9．如图，正方形ABCD是☉O的内接正方形，E在边AB上，F在DC的延长线上，且∠F＝∠BEC，BF交☉O于点G，连接DG，交BC于点H．求证：
(1)四边形BECF是平行四边形；
(2)DH＝CE．
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DF，∴∠DCE＝∠CEB．∵∠F＝∠BEC，
∴∠F＝∠DCE，∴BF∥CE，∴四边形BECF是平行四边形．
(2)∵BF∥EC，∴∠CBF＝∠BCE．
∵∠CDH＝∠CBG，∴∠CDH＝∠BCE．
∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCH＝∠CBE＝90°，
在△DCH和△CBE中，
∴△DCH≌△CBE(ASA)，∴DH＝CE．
热点四　三角形的外接圆与内切圆
10．如图，☉O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是( B )
A．65° B．60° C．58° D．50°
11．［情境题·数学文化］刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是( D )
A．d＝a＋b－c
B．d＝
C．d＝
D．d＝|(a－b)(c－b)|
12．如图，△ABC 内接于☉O，AB是☉O的直径，C是的中点，弦CE⊥AB于点H，连接AD，分别交CE，BC于点P，Q．
(1)求证：P是线段AQ的中点；
(2)若☉O的半径为5，D是的中点，求弦CE的长．
(1)证明：∵CE⊥AB，AB是直径，∴．又∵C是的中点，∴，∴，∴∠CAD＝∠ACE，∴AP＝CP．∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠BCP＝90°，∠CAD＋∠CQA＝90°，∴∠BCP＝∠CQA，∴CP＝PQ，∴AP＝PQ，即P是线段AQ的中点．
(2)解：∵，AB是直径，
∴∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．又∵AB＝5×2＝10，∴AC＝5，BC＝5．又∵CE⊥AB，∴CH＝．∴CE＝2CH＝2×＝5．
热点五　直线与圆的位置关系
13．已知平面内有☉O和点A，B，若☉O半径为2 cm，线段OA＝3 cm，OB＝2 cm，则直线AB与☉O的位置关系为( D )
A．相离 B．相交
C．相切 D．相交或相切
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的☉O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝，则图中阴影部分的面积为( B )
A．4－ B．2－
C．2－π D．1－
第14题图　　　第15题图
15．［福建中考］如图，已知点A，B在☉O上，∠AOB＝72°，直线MN与☉O相切，切点为C，且C为的中点，则∠ACM等于( A )
A．18° B．30° C．36° D．72°
16．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画☉O，☉O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA，交☉O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
(1)求证：AC是☉O的切线；
(3)若F是AB的中点，试探究BD＋CE与AF的数量关系，并说明理由．
(1)证明：如图1，连接OD，∵☉O与边AB相切于点D，∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°．∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，∴△ACO≌△ADO(SSS)，∴∠ACO＝∠ADO＝90°．又∵OC是半径，∴AC是☉O的切线．
图1　　图2
(2)解：AF＝BD＋CE．理由：如图2，连接OD，DE，由(1)可知，△ACO≌△ADO，
∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD．又∵CO＝DO，OE＝OE，∴△COE≌△DOE(SAS)，∴∠OEC＝∠OED，CE＝DE．
∵OC＝OE＝OD，∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，∴∠DEF＝180°－∠OEC－∠OED＝180°－2∠OCE．∵点F是AB中点，∠ACB＝90°，∴CF＝BF＝AF，∴∠FCB＝∠CBF，∴∠DFE＝180°－∠BCF－∠CBF＝180°－2∠OCE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF＝CE，∴AF＝BF＝DF＋BD＝CE＋BD．
热点六　正多边形与圆
17．如图，☉O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是( A )
A．144° B．130° C．129° D．108°
第17题图　　　第18题图
18．如图，在边长为2 cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为　2　cm2．
19．如图，△ABC是☉O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是　120　度．
第19题图　　　第20题图
热点七　弧长与扇形面积
20．如图，两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD的圆心C是的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE，CF交于点G，半径BE，CD交于点H，则图中阴影部分的面积等于( D )
A．－1 B．－2 C．π－1 D．π－2
21．［青岛中考］如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若☉O的半径为5，则的长为( C )
A．π B．π C．π D．π
第21题图　　第23题图
22．一个扇形的面积是13π cm2，半径是6 cm，则此扇形的圆心角是　130　度．
热点八　圆锥的侧面展开图
23．如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是( B )
A． B． C． D．1
24．如图，已知水平放置的圆柱形污水排水管道的截面半径OB＝12 cm，
截面圆心O到污水面的距离OC＝6 cm．求截面上有污水部分的面积为　(48π－36)　cm2(结果保留根号)．

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