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2024-2025学年四川省绵阳市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某质点沿直线运动，位移单位：与时间单位：之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是( )
A. B. C. D.
2.已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取件，定义则随机变量的方差( )
A. B. C. D.
4.已知在一定范围内，水稻对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系某盆栽水稻实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度单位：与氮元素吸收量单位：天的相关数据，如下表所示：
根据表中数据可得及经验回归方程为，则( )
A.
B. 变量和变量的样本相关系数
C. 当时，残差为
D. 水稻根长度每增加，一天的氮元素吸收量一定增加
5.用数字，，，，组成没有重复数字的三位奇数的个数为( )
A. B. C. D.
6.的展开式中含项的系数为( )
A. B. C. D.
7.已知为函数的导函数，则的大致图象是( )
A. B.
C. D.
8.已知数列满足：，，，数列满足，则数列的前项的和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.体育锻炼对青少年具有促进生长发育、提升心肺功能、增强免疫力、改善心理状态等重要作用立德中学高一、高二两个年级学生参加体育测试，其中高一男生的成绩与高二男生的成绩均服从正态分布，且，，则下列选项不正确的是( )
A. B. 的分布比的分布更集中
C. D.
10.已知为数列的前项和，若，，则下列选项正确的是( )
A. B. 数列是等比数列
C. D.
11.已知函数，则下列选项正确的是( )
A. 在区间上，的图象比的图象更陡峭
B. 若，则
C. 若，，则实数的最大值为
D. 函数不存在零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的极小值为______．
13.现有箱酸奶，里面都装有水果味和原味两种口味，第一箱内装有袋，其中有袋是水果味；第二
箱内装有袋，其中有袋是水果味；第三箱内装有袋，其中有袋是水果味现从三箱中任意选择一
箱，然后从该箱中随机取袋酸奶取出的酸奶是水果味的概率为______．
14.有名男生和名女生站成一排照相，要求两名女生不能相邻，同时男生甲不能站在最左边，女生乙不能站在最中间，满足条件的站法种数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某学校开设了具有地方特色的包饺子、园艺、剪纸、种植、非物质文化遗产等劳动实践课程该校为进一步优化劳动教育课程，随机抽取了名学生进行了一次问卷调查，了解不同性别的学生对已开设劳动课程的满意情况，得到如下列联表：
满意 不满意 合计
男生
女生
合计
根据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对已开设劳动课程的满意情况与学生性别有关联？参考公式及数据：，其中，．
从不满意的学生中抽取名学生进行访谈，求至少抽到一名男生的概率．
16.本小题分
某位同学抛掷两枚质地均匀的骰子标记为Ⅰ号和Ⅱ号，将Ⅰ号朝上的面的点数记为，将Ⅱ号朝上的面的点数记为，设事件“为偶数”，事件“”．
判断事件与是否相互独立若不相互独立，求；若相互独立，请说明理由；
若该同学连续抛掷这两枚骰子次，设事件发生的次数为，求的分布列与均值．
17.本小题分
已知正项数列的前项和为，且满足，数列为公比大于的等比数列，且，．
求，；
若在与之间插入个，由此构成一个新的数列，求的值．
18.本小题分
已知．
若，求曲线在处的切线方程；
若在区间上的最小值为，求的值；
若，求实数的取值范围．
19.本小题分
在一次程序设计竞赛中，需要通过逐一运行测试点的方式对选手编写的程序进行评测评测共有个测试点，分为个基本功能点与个强测优化点每通过个基本功能点，选手将获得分；每通过个强测优化点，选手将获得分选手最终得分为所有测试点得分之和主办方准备了两种评测方案，可供选手选择，每种方案都按确定的次序进行评测，每个测试点只测试次．
方案一：先测试个基本功能点，在这个过程中只要有测试点不通过则终止评测；选手通过所有基本功能点后才能测试个强测优化点，在这个过程中即使有测试点不通过，也将继续测试，直到所有强测优化点测试完毕．
方案二：选手按个基本功能点，个强测功能点，个基本功能点进行交叉测试，过程中出现任何个测试点不通过的情况都立刻终止测试．
小张编写的程序通过每一个基本功能点的概率均为，通过每一个强测优化点的概率均为每个测试点是否通过都相互独立，且，．
若，，小张选择了方案一进行评测求小张最终得分不少于分的概率；
设小张的最终得分为随机变量为，分别求出方案一与方案二中的分布列；
以小张的最终得分的期望为依据，判断小张应该选择哪一种方案？
参考答案
1.
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10.
11.
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14.
15.已知列联表：
满意 不满意 合计
男生
女生
合计
零假设：该校劳动课程与学生性别无关联．
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据说明不成立，
即可认为该校劳动课程与学生性别没有有关联．
记至少抽到一名男生的概率为，
则或，
则至少抽到一名男生的概率为．
16.有序数对共有种可能结果，
其中事件“为偶数”共有种可能结果，
所以，
事件，，，，，，，，，，共种可能结果，
所以，
事件，，，，，，共种可能结果，
所以，
故，则事件，不相互独立，
所以，
所以；
由可知，，，
所以，
由题意可知，，
所以，，
所以的分布列为：
所以的均值．
17.当时，且，解得，
当时，由，可得，
两式相减可得，
化为，
由正项数列，可得，
则是首项和公差均为的等差数列，所以；
数列为公比大于的等比数列，且，．
设数列的公比为，则，，
即，解得，，所以；
根据题意，在与之间插入个，
即在和之间插入个；在和之间插入个；
在和之间插入个；在和之间插入个；
在和之间插入个，
到时，恰好有项，故．
18.当时，，则，
则，又，
所求切线方程为；
由题意，，因，则，
当时，，故在区间上单调递增，
依题意，，解得，故不成立；
时，；，
故在上单调递减，在上单调递增，
由，解得，成立；
当时，，故在区间上单调递减，
由，解得，故不成立；
综上所述：；
时，令，，
则，
令，，则，故在上单调递增，；
时，则，此时在上单调递增，
依题意需使：，解得：或舍掉，故；
时，，因时，，
故存在，使得，即，
当时，，即，此时在上单调递减；
当时，，即，此时在上单调递增；
，
又由可得：代入上式可得：解得：，
令，显然在上单调递减，
则，故．
综上所述：实数的取值范围为．
19.小张最终得分不少于分，说明小张通过了个基本功能点，并至少通过了个强测优化点，
所以概率为；
若选择方案一，则，，，，，，，
，，，
，
，
，
，
故的分布列为：
若选择方案二，则，，，，，，，
，，，
，，，
，
故的分布列为：
若选择方案一，则其得分期望：
，
若选择方案二，其得分期望：
，
故有，
令，
则，
由二次函数的性质可得，在上单调递增并存在唯一零点，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，
而，，故在上恒小于，
令，．
故为开口向下的二次函数，，，
令，则，
在上单增并存在唯一零点，
故在单调递减，在单调递增，
且，，故在上恒小于，即，
故在上存在唯一零点：，
因此，当时，．
当时，．
综上所述：当时，选择方案二；
当时，两种方案都可选择；
当时，选择方案一．
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