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2024-2025学年宁夏银川一中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. ，或 B. ，或
C. D.
2.已知函数，则用二分法求的零点时，其中一个零点的初始区间可以为( )
A. B. C. D.
3.随机变量的分布列如下表所示，其中，为函数的两个不同的极值点，则( )
A. B. C. D.
4.在一个不透明的容器中装块形状相同的酥性饼干，其中块是葱香饼干，块是芝麻饼干，块是奶油饼干，每次从中任意抽取块，抽出的饼干不再放回，则在第次抽到的不是奶油饼干的条件下，第次抽到的是奶油饼干的概率为( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，方程的根的个数为( )
A. B. C. D.
8.已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是( )
A. 的图象关于轴对称 B. 为的一个周期
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下表为某商品的宣传投入费用单位：万元与对应利润单位：万元的数据统计表根据表中数据，得到关于的经验回归方程为参考数据：，则下列结论正确的是( )
宣传投入费用
对应利润
A.
B. 经验回归直线经过点
C. 根据该模型，宣传投入费用每增加万元，对应利润相应增加万元
D. 根据该模型，若该商品的宣传投入费用为万元，则对应利润的预测值为万元
10.下列说法正确的是( )
A. 函数且的图象恒过定点
B. 若函数满足，则函数的图象关于点对称
C. 当时，函数的最小值为
D. 函数的单调增区间为
11.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则( )
A. 当时，
B. 函数有个零点
C. 函数过点的切线方程为
D. ，，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数是奇函数，则 ______．
13.若随机变量，且，，则的最小值为______．
14.若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
当时，讨论函数的单调性．
16.本小题分
为研究某种学习软件对学生成绩的提升是否有影响，对某高中部分学生进行了调研，得到如下列联表：
单位：人
成绩提升情况 学习软件 合计
经常使用 不经常使用
提升
没有提升
合计
求，的值，并依据小概率值的独立性检验，分析经常使用这种学习软件是否对学生成绩提升有影响；
在学习成绩没有提升的学生中采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取人，再从这人中随机抽出人作进一步的调研，若抽取的人中经常使用这种学习软件的人数为，求随机变量的分布列与期望．
附：．
17.本小题分
“小黄城外芍药花，十里五里生朝霞，花前花后皆人家，家家种花如桑麻．”这是清代文学家刘开有描写安徽亳州的诗句，亳州位于安徽省西北部，有“中华药都”之称．亳州自商汤建都到今，已有年的文明史，是汉代著名医学家华佗的故乡，由于一代名医的影响，带动了亳州医药的发展，到明、清时期亳州就是全国四大药都之一，现已是“四大药都”之首．亳州建有全球规模最大、设施最好、档次最高的“中国亳州中药材交易中心”，已成为全球最大的中药材集散地，以及价格形成中心．某校数学学习小组在假期社会实践活动中，通过对某药厂一种中药材销售情况的调查发现：该中药材在年的价格浮动最大的一个月内以天计日平均销售单价单位：元千克与第天的函数关系满足为正常数该中药材的日销售量单位：千克与的部分数据如下表所示：
已知第天该中药材的日销售收入为元．日销售收入日销售单价日销售量
求的值；
给出以下四种函数模型：，，，，请你根据表中的数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该中药材的日销售量与的关系，并求出该函数的解析式和日销售收入单位：元的最小值．
18.本小题分
已知，其中为奇函数，为偶函数．
求的解析式并指出的单调性无需证明；
若对于任意的实数，都有成立，求实数的取值范围；
若对于任意的实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
对于定义在上的函数，其导函数为，若存在，使得，且是函数的极值点，则称函数为“函数”．
设函数，其中，．
若函数是单调函数，求实数的取值范围；
证明：函数不是“函数”；
对任意，证明：函数是“函数”．
参考答案
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14.
15.当时，，
，
又，所以切线方程为；
定义域为，
令，解得或，
当，即时，在单调递减，
当，即时，在单调递减，在上单调递增，
当，即时，
在上单调递减，在上单调递增．
16.由题意得，．
零假设为：经常使用这种学习软件对学生成绩提升无影响．
由题意得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
认为经常使用这种学习软件对学生成绩提升有影响．
在学习成绩没有提升的学生中采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取人，
其中经常使用这种学习软件的有人，不经常使用这种学习软件的有人，
的可能取值为，，，
则，
的分布列为：
．
17.解：由时，，得．
因为数据有增有减，不合符题意，
将二三组数据代入类函数解析式可得：
，解得：，
即得类函数解析式为．
将二三组数据代入类函数解析式可得：
，解得：，
即得类函数解析式为，
将第一组数据代入，
可知：，
将第一组数据代入，
可知：，
因此最合适，
当时，
，
当且仅当时，等号成立，
当时，
，
函数在上单调递减，
所以，当且仅当时，等号成立，
综上可知，当或日销售收入最小值为元．
18.因为，为奇函数，为偶函数，
则，
即，
联立，得，，
因为函数、在上均为增函数，
故函数在上单调递增；
由得单调递增，
因为，
所以，
整理得对于任意的成立，
则，
令，
则，
当且仅当时，即时取等号，
所以，
所以实数的取值范围为；
由知，，，
则
，
令，
则，当时等号成立，
则原题目转化为存在，使得成立，
当，成立；
当时，
则有，
解得；
综上，，
所以实数的取值范围为
19.解：函数，其中，，
，
若在上单调递减，则恒成立，
即恒成立，；
若在上单调递增，则恒成立，
即恒成立，．
综上，实数的取值范围是．
证明：假设是“函数”，则是的极值点，
，解得，
由可知，当时，在上单调递减，与是的极值点矛盾，
不是“函数”．
证明：由题意得，则，
当时，，
当时，，
设，，
当，即时，由知在上单调递减，
又，当时，，即，
当时，，即，
在处取得极大值，此时是“函数”；
当时，即时，由可知在上单调递增，
又，时，，即，
当时，，即，
在处取得极小值，此时是“函数”；
当时，，
设，
由题意知在上单调递增，在上单调递减，
，，
存在，，使得，
当时，，
即，在上单调递增，
又，当时，，即，
当时，，即，
在处取得极小值，此时是“函数”．
综上，对于任意，均为“函数”．
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