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2024-2025学年湖南省永州市祁阳市第四中学高二下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.若角的终边过点，则( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
6.若且，则
A. B.
C. D.
7.将甲乙丙丁个人全部分配到三个地区工作，每个地区至少有人，则不同的分配方案为( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器．由中国科学院空天信息创新研究院自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇如图从海拔米的中国科学院珠穆朗玛峰大气与环境综合观测研究站附近发放场地升空，最终超过珠峰米的高度，创造了海拔米的大气科学观测海拔高度世界纪录，彰显了中国实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长米，高米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某高中从本校的三个年级中随机调查了五名同学关于生命科学科普知识的掌握情况，五名同学的成绩如下：，，，，，则( )
A. 这五名同学成绩的平均数为 B. 这五名同学成绩的中位数为
C. 这五名同学成绩的上四分位数为 D. 这五名同学成绩的方差为
10.已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则( )
A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增
C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称
11.已知抛物线：，焦点为，直线与抛物线交于，两点，过，两点作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，且为的中点，则( )
A. B.
C. 梯形的面积是 D. 到轴距离为．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等差数列中，若，则
13.已知函数，若存在大于的极值点，则实数的取值范围 ．
14.甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知正项等比数列的前项和为，且是和的等差中项．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
16.本小题分
在，，，成等差数列，，的面积为这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，__________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
17.本小题分
某商场为吸引客源推出了为期三天的优惠活动，全场购物每满元减元，即一次购物总金额未享受优惠前为元，若付款时无优惠：若付款时优惠元：若，付款时优惠元，以此类推，某机构在该商场门口随机采访了位购物的顾客，统计他们的购物金额如下表所示，并将购物总金额低于元的顾客称为“理性购物者”，购物总金额不低于元的顾客称为“非理性购物者”．
理性购物者 非理性购物者 合计
男性
女性
合计
能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是否为“理性购物者”与性别有关？
设甲、乙两名“非理性购物者相互独立地来此商场购物，甲、乙两位顾客的购物总金额单位：元在的概率分别为，，在的概率分别为，甲、乙两位顾客付款时的优惠金额之和为随机变量，求的分布列与数学期望．
参考公式及数据：，其中．
18.本小题分
如图，在等腰梯形中，，，矩形所在的平面垂直于平面，设平面与平面的交线为．
求证：平面；
若二面角的大小为，求线段的长度．
19.本小题分
已知动圆过点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
过上一点作曲线的两条切线，为切点，与轴分别交于，两点．记，，的面积分别为、、．
(ⅰ)证明：四边形为平行四边形；
(ⅱ)求的值．
参考答案
1.
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14.
15.【详解】正项等比数列的公比设为，，前项和为，
是和的等差中项，可得，
即有，即为，
解得，
，可得，解得，
可得；
，
数列的前项和为

16.【详解】选条件：
由及正弦定理，得．
因为在中，，所以，所以，即，
又，所以，又，，所以不存在这样的三角形．
因此，选条件时，问题中的三角形不存在
选条件：
由及，得，
解得或舍去因为成等差数列，所以，所以，
又，所以，由余弦定理，得，即，
所以由，解得故为正三角形．
因此，选条件时，问题中的三角形存在，且．
选条件：
由，得，即，由，得，
所以，所以，由，得．
由余弦定理，得，所以，从而或．
因此，选条件时，问题中的三角形存在，且或．

17.【详解】由联表可知，
，
所以在犯错误的概率不超过的前提下，能认为理性购物者”与性别有关．
由题可得，购物总金额在内，优惠元，购物总金额在内，优惠元，
则随机变量的所有可能取值为，，，
，
，
，
所以的分布列为
所以．

18.【详解】解：因为四边形为矩形，所以，平面，平面．
所以平面．
又平面，平面与平面的交线为，所以．
因为，平面平面，平面平面，
所以平面，所以平面．
设的中点为，的中点为，的中点为，则两两垂直，以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，则点的坐标为，点的坐标为．
作，交于点，在中，，
所以点的坐标为，点的坐标为，所以．
设平面的法向量为，则，即
令，解得，所以平面的一个法向量为取平面的一个法向量为，
因为二面角的大小为，所以，即，
解得负值不合题意，已舍去，所以线段的长度为．
19.【详解】设圆心，由题意得：，化简整理得：，
所以曲线的方程为：．
设，，因为，所以，
直线的方程为：，即，令，得到，
同理可得直线的方程为：，令，得到，
，，联立，消解得，
所以，
又，，
所以四边形为平行四边形；
(ⅱ)由(ⅰ)知直线的方程为，又，所以，即，
同理可知直线的方程为，又因为在直线，上，设，则有
所以直线的方程为：，故直线过点，
四边形为平行四边形，，，
，，，，
，
，，，
．

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