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2024-2025学年湖南省长沙市望城区第一中学高二下学期期末调研
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知非常数函数满足，则下列函数中，不是奇函数的为( )
A. B. C. D.
4.两枚骰子，设出现的点数之和分别为，，的概率分别为，，，则( )
A. B.
C. D.
5.在中，，若，则的最大值是( )
A. B. C. D.
6.记等差数列的前项和为，若成等差数列，成等比数列，则( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知点是椭圆上的动点，过点作圆的切线，为其中一个切点，则的取值范围为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 数据的第百分位数是
B. 若，则
C. 名学生选报门校本选修课，每人只能选其中一门，则总选法数为种
D. 展开式中项的二项式系数为
10.已知在数列中，，，其前项和为，则( )
A. 当时，
B. 当时，数列是递增数列
C.
D. 对任意，存在，使得数列成等比数列
11.已知正方体棱长为，为棱上的动点，平面，则下列说法正确的是( )
A. 若为中点，当最小时，
B. 当点与点重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大
C. 直线与平面所成角的余弦值的取值范围为
D. 当点与点重合时，四面体内切球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的图象在点处的切线斜率为，则实数 ．
13.已知且，则 ．
14.如图所示，二面角为，是棱上的两点，分别在半平面内，且，，，，，则的长 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响．
求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
求该选手至多进入第三轮考核的概率．
16.本小题分
中，内角的对边分别是，已知成等比数列，且．
求的值；
设，求的值．
17.本小题分
如图，在四棱锥上，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，是棱上的点，，，．
求证：平面平面
若二面角大小为，求的值
18.本小题分
已知过点的双曲线的渐近线方程为如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点．

求双曲线的标准方程；
若双曲线上的点到其两条渐近线的距离分别为，求的值；
已知点，求证：．
19.本小题分
已知函数，其中常数．
若在上是增函数，求实数的取值范围；
若，设，求证：函数在上有两个极值点．
参考答案
1.
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15.【详解】记表示该选手能正确回答第个问题，则
．
该选手进入第四轮才被淘汰就是前三轮答题成功，第四轮没有成功，
各轮问题能否回答正确互不影响，
所以所求概率是．
该选手至多进入第三轮考核，即可能第一轮被淘汰，可能第二轮被淘汰，
可能第三轮被淘汰，这三种情况又是互斥的，
所以所求概率为
．

16.【详解】成等比数列，，
，或，
，；
，
由正弦定理知：，或．
，，即，
由余弦定理得：，
解得：．

17.【详解】证明：，，为的中点，
四边形为平行四边形，
，
又，
，即．
又平面平面，且平面平面，平面，
平面，
平面，
平面平面．
，为的中点，，
平面平面，且平面平面，平面，
平面．
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
易知平面的法向量为，
又，，
设，，
，
又，设平面的法向量为，
，取，
二面角为，
，解得，即

18.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，
所以设双曲线方程为，
又双曲线过点，
则，所以双曲线的方程为，
即．
因为在曲线上，
则，
渐近线方程：，
所以：
由可知的斜率存在且不为，设的方程为，
联立，消去得，
设，由题意得
则
所以
所以得证．

【点睛】关键点点睛：由，求证；

19.要证函数在上有两个极值点，只需证在上有两个不等实根，令，利用导数研究出函数的零点即可．
【详解】因为在上是增函数，
所以在上恒成立，
即恒成立，只需，
设，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，函数在上单调递增，
所以的最小值为，
所以，解得．
故实数的取值范围是；
要证函数在上有两个极值点，
只需证在上有两个不等实根，
由题意，当时，，则，
令，则，
由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，，，
所以存在，，使得，，
所以是函数的两个极值点，
即在上有两个极值点．
【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
函数在区间上单调递增在区间上恒成立；
函数在区间上单调递减在区间上恒成立；
函数在区间上不单调在区间上存在异号零点；
函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；
函数在区间上存在单调递减区间，使得成立．

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