资源简介

2024-2025学年辽宁省五校联考高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若点在角的终边上，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.已知点，将向量绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
6.若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于坐标原点对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.在平行四边形中，，，，为的中点，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数图象的一个对称中心是，函数的图象与的图象关于对称，若对任意，，当时，都有，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数为虚数单位，的共轭复数为，则( )
A. 的实部为 B. 的虚部为
C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第一象限
10.在中，角，，的对边分别为，，，且，则下列选项中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.在正三棱柱中，，，，分别为，的中点，，，，四点均在球的表面上，则( )
A. 平面
B. 球的表面积为
C. 球表面与三棱柱表面的交线长度之和为
D. 六面体与七面体公共部分的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，其中，，则 ______．
13.已知复数，满足，，，则 ______．
14.已知圆台上、下底面的圆周都在球心为的球面上，若球半径为，，分别为圆台上下底面圆周上的动点，且直线，与圆台底面所成的角分别为，，则面积的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，函数．
求函数的单调减区间；
若，且，求的值．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，且，分别为，的中点．
证明：平面；
证明：．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求角；
若，，线段延长线上的一点满足，求线段的长．
18.本小题分
如图，平面四边形中，点是线段上一点，，且，，，沿着将三角形折叠得到四棱锥，折叠后．
求证：平面平面；
若，求平面与平面夹角的正切值；
若，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，证明：当球的半径最小时，点在平面内．
19.本小题分
已知函数，．
证明：曲线关于点对称；
若存在，使得关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；
若，在上的值域为，在上的值域为，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.，
由，
解得，
所以函数的单调减区间为；
由，得，
又，
所以，
所以，
所以，，
所以．
16.证明：如图，取的中点，连接，，
因为为的中点，所以，且，
又因为，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面；
取的中点，连接，，
因为，所以，所以，
因为面，面，所以以，
因为，面，
所以面，
因为面，所以，
因为，，
所以，，
所以四边形是正方形，所以，
因为，，面，
所以面，
因为平面，
所以．
17.由，
由正弦定理得，
所以，
又，所以，
所以，因为，
所以，
由及余弦定理得，
即，
又，，解得，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
由，
得，
所以，
即，
所以，
设的面积为，
则，
即，又，
解得，
所以的长为．
18.证明：在四边形中，因为，所以折叠后有，，
又，平面，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
由题意，又，故，
过点作交于，则，连接，，
因为平面平面，面面，平面，
且，所以平面．
因为平面，所以，同理，
因为，，，
所以由余弦定理得，
所以，
因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，所以，所以为二面角的平面角．
所以在中，，
所以平面与平面夹角的正切值为．
证明：由知平面平面，
设和的外心分别和，
因为、、、均在以为球心的球面上，
则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点，
过点作于，连接，
设，显然四边形为矩形，
所以．
在中，设，由及余弦定理得，
再由正弦定理得的外接圆半径．
在中，，，，
由余弦定理得，
再由正弦定理得的外接圆半径．
所以，
即，
所以，
故当时，球的半径最小，此时点与点重合，所以点在平面内．
19.证明：因为，
，
所以，，
又，，
即，
所以曲线关于点对称；
因为当时，，，所以，
由题知存在使得，对任意的恒成立，
所以，对任意的恒成立，
令，则，
，则恒成立，即，对恒成立，
因为上单调递减，即，
所以，对恒成立，
所以，可得，所以的取值范围为；
当为奇数时，对任意，，且，
由于，，所以，，
从而，
即，
所以在上单调递增，
当时取得最小值，当时取得最大值，
所以在上的值域；
当为偶数时，一方面因为时，，
所以，
另一方面，由于对任意正整数，因为，
，则有，
，
所以，
进而，
所以时，，
当时取得最大值，当时取得最小值，
所以时，在上的值域，
而时，在上的值域；
综上，时，，时，．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑