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2024-2025学年广西崇左市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，则集合( )
A. B. C. D.
2.的最小值为( )
A. B. C. D.
3.年我国居民人均可支配收入单位：元分别为，，，，，则这组数据的分位数是( )
A. B. C. D.
4.在平行四边形中，，则( )
A. B. C. D.
5.若，则的值是( )
A. B. C. D.
6.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
7.从正五棱锥的个顶点中任取个顶点，则这个顶点所在的直线与直线是异面直线的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，当时，取得最大值，则函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 经过个点的平面有且只有一个 B. 若直线平面，则平面内有无数条直线与平行
C. 若平面，，满足，，则 D. 若直线，，满足，，则
10.如图，在一个古典概型的样本空间与事件，，中，，，，，，则( )
A.
B.
C. 事件与事件互斥
D. 事件与事件相互独立
11.在中，，，，为的中点，为的垂心，则( )
A. B.
C. D. 点到直线的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是奇函数，且，则 ______．
13.已知上底面半径为，下底面半径为的圆台的体积为，上底面边长为，下底面边长为的正四棱台的体积为，若该圆台与正四棱台的高相等，则 ______．
14.已知函数图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为，在上单调，且，则 ______，的最小正值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
年月日，贵港市港南区香江端午龙舟赛激情开赛，香江码头热闹非凡，鼓声阵阵、人潮涌动此次龙舟赛，还为观众带来了动力滑翔伞队表演、传统手工艺品展示、民俗技艺互动体验等活动，让大家尽享节日的快乐据统计，当天共吸引了约万名观众前来观赛助威，网络平台观看人数更是超过万人次某统计人员在现场随机抽取了名观众对此次活动进行打分满分分，将得到的数据按，，，，分为组，如下表所示：
分数
频数
频率
求，，；
请在图中画出频率分布直方图；
估计这名观众打分的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，的周长为，且．
求．
已知的面积为．
求，；
求的外接圆的半径．
17.本小题分
若函数的定义域为，值域为，且，则称为“子集函数”．
证明：函数是“子集函数”．
判断函数是否为“子集函数”，并说明理由．
若函数的定义域为，且是“子集函数”，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在正三棱柱中，为的中点，，．
证明：E.
证明：平面．
求二面角的正切值．
19.本小题分
甲、乙两人进行投篮比赛，规则如下：每轮由其中一人进行投篮，若投中，则投篮者得分，对方得分，且下一轮继续投篮；若未投中，则投篮者得分，对方得分，且下一轮由对方投篮；当一方领先对方分时，领先者获胜，比赛结束已知甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，且每轮投篮相互独立第一轮甲先进行投篮．
求第二轮投篮后乙获胜的概率；
求第四轮投篮后甲获胜的概率；
求第六轮投篮后甲获胜的概率．
参考答案
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14.
15.根据题意可得，所以，所以；
补全后的频率分布直方图如下：
估计平均数为分．
16.因为，
由正弦定理得，
因为，所以，
得；
由题意得，则，
则有，解得，或，；
由余弦定理得，
则，
设外接圆的半径为，由正弦定理得，得．
17.证明：若，则定义域为，
值域为，
因为，
所以是“子集函数”；
不是“子集函数”，理由以下：
由于，可得，
所以函数的定义域为，
因为，所以，即的值域为，
因为，，
所以不是“子集函数”；
因为，所以，
所以，
因为，
所以的值域为，
因为是“子集函数”，
所以，
则，解得，
故的取值范围为．
18.解：证明：在等边中，因为为的中点，可得，
在正三棱柱中，可得平面，且平面，
所以，
因为，且，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以E.
证明：由知平面，且平面，
所以，
在直角中，由，，
可得，
在直角中，因为，可得，，
可得，
在直角中，由，，
可得，
因为，
则满足，
所以，
因为，且，平面，
所以平面．
过点作，垂足为，
由知平面，且平面，所以，
因为，且，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
在直角中，由，，可得，
又由知平面，且平面，所以，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
所以二面角的正切值为．
19.设甲投中为事件，乙投中为事件，
要使得第二轮投篮后乙获胜，则第一轮甲未中，第二轮乙投中，
所以第二轮投篮后乙获胜的概率．
要使得第四轮投篮后甲获胜，则甲乙的比分为：，则或，
所以第四轮投篮后甲获胜的概率为
．
要使得第六轮投篮后甲获胜，则甲乙的比分为：，
则满足或或或，
所以第六轮投篮后甲获胜的概率：
．
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