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2024-2025学年广西南宁三十六中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数满足，则复数( )
A. B. C. D.
2.设，，若，则( )
A. B. C. D.
3.某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为( )
A. B. C. D.
4.一艘轮船北偏西方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为海里，该轮船以海里时的速度沿南偏西的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
5.如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形的周长为( )
A. B.
C. D.
6.据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，则下列说法正确的是( )
A. 和是互斥事件但不是对立事件 B. 和是互斥事件不是对立事件
C. D.
7.如图，有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为，，，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为( )
A. B. C. D.
8.中，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若函数的两条相邻对称轴距离为，且，则( )
A. B. 点是函数的对称中心
C. 函数在上单调递增 D. 直线是函数图象的对称轴
10.在中，，为边上一动点，则( )
A.
B. 的外接圆半径为
C. 当为中点时，
D. 当为角的角平分线时，
11.如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点含端点，则下列结论正确的有( )
A. 过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为
B. 存在点，使得平面平面
C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积不变
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.已知向量，向量，则在上的投影向量是______注：本题答案用坐标表示．
13.在某次活动中，登记的个数据，，，，的平均数为，方差为，其中后来发现应该为，并且漏登记了一个数据，则修正后的个数据的平均数为______，方差为______．
14.在三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
内角，，的对边分别为，，，已知．
求角；
若，的面积为求的周长．
16.本小题分
树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量简称“美食”的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改为此后勤部门随机调查了该校名学生，根据这名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值和第百分位数结果保留两位小数；
为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于分的学生中，按照调查评分的分组，分为层，通过分层随机抽样抽取人进行座谈，求应选取评分在的学生人数；
根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由．
17.本小题分
天文学中用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球光年的地方测得的恒星的亮度，反应恒星的真实发光本领如果两颗恒星的亮度分别为，，视星等分别为，，那么
已知太阳的视星等是，夜空中最亮的恒星天狼星的视星等是，求太阳与天狼星的亮度之比；保留两位有效数字，
如果一颗恒星的绝对星等，视星等分别是，，距地球的距离是光年，那么已知天狼星，织女星，牛郎星的绝对星等，视星等如下表：
星体 视星等 绝对星等
天狼星
织女星
牛郎星
把这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序；直接写出结果
如果一颗恒星的视星等大于绝对星等，能由此推断出什么结论？
18.本小题分
在中，，为中点，与交于点．
设，求实数的值；
若，，，设是上一点，且，求的值．
19.本小题分
如图，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图所示．
在图中：
求证：平面平面；
求点到平面的距离；
求二面角的余弦值．
参考答案
1.
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13.
14.
15因为，
所以，
所以，分
因为，所以，
又因为，所以；
因为，
所以，即，
又由余弦定理得：，
所以，
整理得：，
所以，解得，
所以的周长为．
16.解：，
解得：；
第百分位数估计为；
低于分所占的频率为，
低于分的共人，
分的共人，应选取分人；
认可程度平均分为：
，
设认可程度评分第百分位数为，则，解得，
因此认可系数，所以需要进一步整改．
17.已知太阳的视星等是，天狼星的视星等是，
设太阳、天狼星的亮度分别为，，
则，
可得，
所以太阳与天狼星的亮度之比为．
因为，
可得，
则随着增大而增大，
星体 视星等 绝对星等
天狼星
织女星
牛郎星
又，
即由小到大依次为：天狼星、牛郎星、织女星，
所以这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序为：天狼星、牛郎星、织女星．
若一颗恒星的视星等大于绝对星等，
则，
可知，
所以该恒星距地球的距离大于光年．
18.解：在中，，为中点，与交于点，
在中，由，
根据平面向量的减法法则可得，则，
而为中点，则，
又，因此，
又点，，共线，
于是，所以；
若，，，
设是上一点，且，
根据平面向量的减法法则可得，
由得，，
由，，，得，
所以
，
则的值为．
19.证明：由题意知，，，
则，故AC，
又，且，，平面，
故AD平面，
而平面，
故平面平面D.
由，可得，由知平面，
所以，
又，
所以．
在平面内作，垂足为；在平面内作，垂足为，
连接，由平面，平面，故AD，
因为，，，平面，
所以平面，
由知，因为平面，故C，又，
，，平面，
所以平面，
又平面，所以，又，
则为二面角的平面角，
又平面，故C，
由题意知直角三角形中，，，
故，
又，则，
所以，
故二面角的余弦值为．
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