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2024-2025学年云南省丽江市永胜一中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则复数的模等于( )
A. B. C. D.
2.设命题：，，则的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，，，，若与共线，则( )
A. B. C. 或 D. 或
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取名学生，已知该校初中部和高中部分别有名和名学生，则不同的抽样结果共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.如图，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则( )
A.
B.
C.
D. 平面
7.在棱长为的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共22分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.校园合唱比赛中，高一班演唱结束后，位裁判分别进行打分，结果如下满分分：，，，，，，，，，；则下列说法正确的是( )
A. 该班的平均得分是分
B. 该班得分的第百分位数是分
C. 该班得分的方差是
D. 若得分数据去掉一个最高分和一个最低分后，该班得分的平均分不变，方差变小
10.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点为线段上的动点不包括端点，则下列结论正确的是( )
A. 该四棱锥的体积为
B. 一定存在点，使平面
C. 一定存在点，使平面
D. 的最小值为
11.已知圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，则( )
A. 的方程为
B. 的最小值为
C.
D. 曲线在点处的切线方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线的焦点和准线的距离等于______．
13.展开式中第项的系数是______．
14.克罗狄斯托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和已知四边形是圆的内接四边形，且若，则圆的半径为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在中，内角，，所对的边分别是，，，且满足．
求角；
若点在线段上，且平分，若，且，求的面积．
16.本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ求函数的单调区间；
Ⅲ已如函数，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数，其中为正整数．
当时，求在上极值点；
当时，记数列，有限数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和化成最简形式．
18.本小题分
若数列满足，则称数列为项数列集合是由所有的项数列构成的，现从集合中任意取出两个数列，，记随机变量．
求集合中元素的个数；
求概率的值；
若的期望，求的最小值．
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，椭圆的下顶点和上顶点分别为，且，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点．
求椭圆的标准方程；
当时，求的面积；
求证：直线与直线的交点恒在一条定直线上．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：，
则由正弦定理可得，，即，
，
，
，
，即．
点在线段上，且平分，
则，
设，，，
则，
由正弦定理可得，，，即，，
则，
由余弦定理可得，，解得，
又，
则，
，即，解得，
则，
故的面积为．
16.解：Ⅰ，定义域是，
，，，
故切线方程为，即；
Ⅱ由Ⅰ，
令，解得，令，解得，
故在单调递增，在单调递减；
Ⅲ由Ⅱ得的极大值是，
即的最大值是，
，，
令，解得或，
若，，不等式恒成立，
则时，恒成立，
当即时，在上单调递增，
此时，令，得；
当时，即时，在单调递减，在单调递增，
此时，
令，解得，不符合题意；
当即时，在单调递减，
故，
令，解得，不符合题意
综上，实数的取值范围是．
17.由题意可得，
令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故的极大值点为，极小值点为；
，
故，则，
又是首项为，公差为的等差数列，故，
则，其中，
，
则考虑，
则，
则，
，故，
故．
18.根据数列中的个数可得，集合中元素的个数为，
所以集合中共有个元素；
因为数列，为中的两个数列，它们各项元素不能完全相同，
所以的所有可能取值为，，，，
当时，数列，中有项取值不同，有项取值相同，
从项中选择项，和在项中的某一项数字相同，其余项，两者均在同一位置数字相反，
所以问题为组合问题，所有的情况会重复次，
所以共有种情况，
所以；
由可知，
所以的分布列为：
，
所以．
令，
则，
所以数列是递增函数．
因为，
所以，，
所以的最小值为．
19.解：由题意可得，解得：，，
所以椭圆的方程为：；
由题意可得直线的方程为：，设，，
联立，整理可得：，
，，
所以弦长，
到直线的距离，
所以；
证明：设直线的方程为：，设，，
联立，整理可得：，
所以，可得：，
且，，
由可得，，设，
由，，三点共线，所以，
由，，三点共线：，
由可得：，
所以可得，解得：，
所以点恒在直线上．
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