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2024-2025学年陕西省渭南市临渭区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.正项等比数列，，则( )
A. B. C. D.
2.某班学生的一次数学考试成绩满分：分服从正态分布：，且，，则( )
A. B. C. D.
3.有件产品，其中件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的件数，则( )
A. B. C. D.
4.随机变量服从两点分布，若，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知等比数列的前项和，则的值为( )
A. B. C. D.
7.年第届藏博会在拉萨举行，藏博会上本地核桃油深受大家喜爱，某商家统计了最近个月销量，如表所示：
时间
销售量万瓶
若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是( )
A. 由题中数据可知，变量与负相关
B. 样本中心点为
C. 可以预测当时销量约为万瓶
D. 线性回归方程中
8.已知实数，满足，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 在上单调递增 B. 在上单调递减
C. 在处取得极小值 D. 在处取得极大值
10.在等差数列中，，现从数列的前项中随机抽取个不同的数，记取出的数为正数的个数为则下列结论正确的是( )
A. 服从二项分布 B. 服从超几何分布 C. D.
11.已知函数是其导函数，恒有，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数列的前项和为，若，则______．
13.设等差数列，的前项和分别为，，且，则 ______．
14.若关于的不等式恒成立，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处取得极值．
求曲线在点处的切线方程；
求函数在上的最值．
16.本小题分
设为数列的前项和，已知，．
求的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，在月日至月日在卡塔尔境内举行足球运动是备受学生喜爱的体育运动，某校开展足球技能测试，甲参加点球测试，他每次点球成功的概率均为现他有次点球机会，并规定连续两次点球不成功即终止测试，否则继续下一次点球机会已知甲不放弃任何一次点球机会．
求甲恰好用完次点球机会的概率；
甲每次点球成功一次，可以获得积分，记其获得的积分总和为，求的分布列和数学期望．
18.本小题分
我国今年月神舟十八号载人飞船成功发射、神舟十七号载人飞船顺利返回地球，月嫦娥六号探测器成功发射，航天工作者的艰苦努力和科技创新精神被公众广泛赞誉，航天精神成为新时代的时代楷模为进一步弘扬航天精神、学习航天知识，传播航天文化，某校计划开展“航天知识大讲堂”活动，为了解学生对“航天知识大讲堂”的喜爱程度，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调查，以下是调查的部分数据：
喜欢航天知识大讲堂 不喜欢航天知识大讲堂 合计
男
女
合计
附：，其中．
Ⅰ请将上面列联表补充完整，依据的独立性检验，能否认为该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与性别有关联；
Ⅱ现从抽取的“喜欢航天知识大讲堂”学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取人，并从这人中随机抽取人，记这人中“喜欢航天知识大讲堂”的女生人数为，求的分布列和数学期望．
19.本小题分
已知函数
Ⅰ讨论函数的单调性；
Ⅱ当时，证明不等式：；
Ⅲ当时，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因，故，
由于在处取得极值，
故有，即，
解得，
经检验，，时，符合题意，所以，，
，，故，．
所以曲线在点处的切线方程为：，即．
，，
得或；即单调递增，单调递减，单调递增，
，，，，
因此在的最小值为；
最大值为．
16.解：，，可得时，，即，
当时，由，可得，两式相减可得，
当时，上式显然成立，
当时，，
则，
上式对，都成立，
所以，；
，
，
，
上面两式相减可得
，
化为．
17.解：设事件：恰好用完次机会，事件：前次均不成功，
依题意得，，
易知的所有可能取值为，，，，
，
，
．，
，
所以的分布列为
所以．
18.解：Ⅰ列联表如下：
喜欢航天知识大讲堂 不喜欢航天知识大讲堂 合计
男
女
合计
零假设为：“该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与“性别”无关，
此时，
根据的独立性检验，零假设成立，
所以有把握认为该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与性别无关；
Ⅱ若从“喜欢航天知识大讲堂”学生中按性别分层抽样，
男生有人，女生有人，
此时的所有可能取值为，，，
可得，，，
则的分布列为：
故．
19.解：由，可得
当时，，在上单调递减；
当时，由，得，由，得，
在上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；
令，当时，由可知在上单调递减，在上单调递增，
故，即，不等式得证；
当时，可化为，
令，则，
令，解得，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
故，
．
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