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2024-2025学年江西省宜春中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设函数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数的定义域为，且满足，则( )
A. B. C. D.
4.记等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知定义在上的偶函数满足，若，则( )
A. B. C. D.
6.等比数列的前项积为，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.若定义在上的奇函数，对，，且有，且，则满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知实数，，满足，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中的假命题是( )
A. 命题“，”的否定是：，
B. 设，则“”是“”的充分而不必要条件
C. 若，则的最小值为
D.
10.已知数列满足，，设其前项和为，则( )
A. B. C. D.
11.函数叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其它函数进行运算产生新的函数已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数在上单调递减
B. 函数既有极大值，也有极小值
C. 方程有个不同的实数解
D. 在定义域内，恒有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且，则的最小值为______．
13.记为数列的前项和，若，则 ．
14.已知函数恰有个极值点，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间以及极值；
求函数在上的最小值．
16.本小题分
在数列中，，．
证明：数列是等差数列．
求的通项公式．
若，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，，，为的中点．
证明：平面；
若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知双曲线：的实轴长为，一条渐近线的方程为，过点的直线与的右支交于，两点．
求的标准方程；
是轴上的定点，且．
求的坐标；
若的外接圆被轴截得的弦长为，求外接圆的面积．
19.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
证明：时，；
判断函数的零点个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：的定义域是．
又导函数，令，得，令，得，
因此的单调递减区间为，单调递增区间为，
因此的极大值为，无极小值．
根据第一问可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
因此函数在上的最小值为．
因为，，所以，
所以函数在上的最小值为．
16.解：证明：在数列中，，，
可得，
可得是首项为，公差为的等差数列；
由等差数列的通项公式可得，
即有；
若，则，
可得数列的前项和
．
17.解：证明：连接，
，是的中点，
，且，
又，
，，
则，
则，
，平面，平面，
平面；
解：建立以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系如图：
，，，，
，
设，，
则，
则平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，
则
令，则，，
即，
二面角为，
，
即，
解得：或舍，
则平面的法向量，
，
与平面所成角的正弦值，．
18.解：因为的实轴长为，渐近线方程为，
所以，，解得，，
所以的标准方程为．
设直线的方程为，，，，
联立化简得．
因为直线与双曲线的右支交于，两点，
由，整理得，
则或或，
解得．
由，可得，即，
将，代入上式得，
，
将，代入上式，
并化简得，
整理得，
因为上式对任意都成立，所以，
解得，所以．
因为，所以外接圆是以为直径的圆，记为圆，
因为圆心，即，
所以半径．
因为外接圆被轴截得的弦长为，
所以，即，解得或，
因为直线与的右支交于，两点，所以，
所以，舍去，代入可得，
所以外接圆的面积为．
19.解：由题意，，
则，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
证明：不等式，
令函数，即，
而，则，
则函数在上单调递增，，
所以．
函数的零点个数，即方程根的个数，
而时，方程不成立，则原函数零点个数即为方程根的个数，
令，原函数零点个数即为函数的零点个数，
当时，，而，则，
因此函数在时无零点；
当时，，函数在上单调递增，
，因此函数在时只有一个零点；
当时，令，则，
显然函数在上单调递增，而，，
则存在使得，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，又，
则存在，使得，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
而，因此函数在上只有一个零点；
当时，，即，
因此函数在时无零点，
所以函数有个零点，即函数的零点个数为．
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