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2024-2025学年河南省驻马店市新蔡第一高级中学高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，复数在复平面内对应的点位于第二象限，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，满足，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.已知角终边上一点为，则角的正切值为( )
A. B. C. D.
4.在中，，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
5.在深圳高级中学年“创意之光”文创设计大赛中，某学生设计了一把“紫堡文创”扇子其扇面可以近似的理解为扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇面的近似面积为( )
A.
B.
C.
D.
6.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
7.要得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位
8.中，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
10.如图，在正四棱锥中，，分别是，的中点，则下列结论正确的是( )
A. 设平面，则
B. 三棱锥与正四棱锥的体积之比为：
C. 若，则正四棱锥内切球与外接球的半径之比为：
D. 正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为：
11.已知函数的部分图象如图所示，其中，，则( )
A. 的最小正周期为
B. 时，的最大值是
C. 的图象向右平移个单位后为奇函数
D. 与有相同的零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量对应的复数为，复数可以将向量按逆时针方向旋转______得到填最小正角．
13.已知中，，，将顶点绕棱旋转到，当时，三棱锥的体积为______．
14.如图，已知直线，直线垂直于和，垂足分别为，若点是线段上的定点，，两点分别是直线，上的动点，且，，，则面积的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
中，内角，，所对的边分别是，，，向量，满足．
求角的大小；
若，求的周长的最大值．
16.本小题分
在锐角中，角，，所对应边分别为，，，．
求；
若，求的取值范围．
17.本小题分
已知直线和是图象的两条相邻的对称轴．
求的解析式；
将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象若在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，四面体中，，，，，为的中点，点在上．
证明：；
求直线与平面所成角的正弦值；
当的面积最小时，求三棱锥的体积．
19.本小题分
已知：
任何一个复数都可以表示成的形式其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线射线为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式．
被称为欧拉公式，是复数的指数形式．
方程为正整数有个不同的复数根．
设，求；
试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合；
复数，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，，且．
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以；
由得，因为，
所以由余弦定理得：，
所以，
所以，所以，当且仅当时取等号，
所以，所以的周长的最大值为．
16.，
由正弦定理得
即
又在锐角中，有，
，；
结合可得，
由，则根据正弦定理有，
得，，
根据余弦定理有，得，
又为锐角三角形，则，解得，
，．
故
17.由题意得的最小正周期，
根据，解得，
根据是图象的一条对称轴，可得，，
结合，解得，所以；
将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，
可得到函数的图象，所以，
当时，，
因为在区间上恰有两个零点，
所以，解得，实数的取值范围为．
18.证明：因为，是的中点，所以．
因为，，，根据全等三角形边角边的判定，
所以≌，
所以，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
因为，，
所以是等腰直角三角形，所以，．
依题意，所以，
则，所以，
又因为，，，平面，所以平面．
所以即为直线与平面所成的角．
在中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
因为，，且，，平面，
所以平面．
由已证≌，所以，
因为，，，根据全等三角形边角边的判定，
所以≌，
所以，是的中点，所以，
因为，所以当最短时，的面积最小．
当时，最短，过作，垂足为，
在中，，解得，
所以，，所以．
过作，垂足为，则，
所以平面，且，所以，
所以．
19.解：由，
则，
则；
设，则，
故，，，
则当，，，，，时，分别对应的，，
故相应的，，
故由所有的复数所组成的集合为；
若，则，
因为，
则，
易知，关于的方程的根为，，，，
故，
又，
故，
令，可得，且为奇数，
所以．
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