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??课时跟踪检测(七)　机械能守恒定律
(选择题1～8小题，每小题4分；10～11小题，每小题6分。本检测卷满分70分)
A级——学考达标
1．(2023·全国甲卷)一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中(　　)
A．机械能一直增加
B．加速度保持不变
C．速度大小保持不变
D．被推出后瞬间动能最大
2．关于机械能，下列说法正确的是(　　)
A．做变速运动的物体，只要受到摩擦力，其机械能一定减少
B．如果物体所受的合外力不为零，则物体的机械能一定发生变化
C．将物体斜向上抛出后，不计空气阻力时机械能守恒，物体在同一水平高度处具有相同的速率
D．在水平面上做变速运动的物体，它的机械能一定变化
3．(2024·贵州安顺高一检测)如图所示，两个相距0.2 m的小环套在水平杆上以相同的初速度v1＝2 m/s向右滑行。不计阻力，g＝10 m/s2，当两环高度下降0.25 m，进入较低的水平杆运动时，两环相距(　　)
A．0.1 m B．0.13 m
C．0.2 m D．0.3 m
4．质量为m的小球，从离地面h高处以初速度v0竖直上抛，小球上升到最高点时离抛出点距离为H，若选取最高点为零势能面，不计空气阻力，则(　　)
A．小球在抛出点(刚抛出时)的机械能为零
B．小球落回抛出点时的机械能－mgh
C．小球落到地面时的动能为mv02－mgh
D．小球落到地面时的重力势能为－mgh
5．(多选)如图，有一竖直放置的轻弹簧，将物块放在轻弹簧上端，物块将向下运动压缩弹簧。已知物块质量为m，弹簧的最大压缩量为d，重力加速度为g。在此过程中(　　)
A．重力对物块做正功
B．弹簧弹力对物块做正功
C．物块重力势能减少了mgd
D．弹簧的弹性势能减少了mgd
6．(多选)如图，某弹射装置竖直固定在水平桌面上，装置上的光滑杆下端固定有轻弹簧，弹簧处于原长时位于O点位置，弹簧上端放一滑块与弹簧不拴接。现用滑块将弹簧压缩至A点并锁定，解除锁定，滑块经O点到达B点时速度为零。则解除锁定后滑块由A点运动至B点过程中(　　)
A．滑块的机械能守恒
B．滑块与弹簧构成的系统机械能守恒
C．滑块在O点速度最大
D．滑块的加速度先减小、后增大，再保持不变
7．一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示。长度为πR、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球。小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直。将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为(重力加速度为g，不计空气阻力)(　　)
A. B.
C. D．2
8．固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于(　　)
A．它滑过的弧长
B．它下降的高度
C．它到P点的距离
D．它与P点的连线扫过的面积
9．(12分)如图所示，用内表面光滑的圆管弯成的曲线型轨道，固定在竖直平面内，中部是一个直径为1.6 m的圆，左端口A距地面0.8 m，右端口B距地面1.2 m，质量为0.02 kg、可视为质点的小球表面光滑，可以通过左端口A进入光滑轨道，经过C、D，到达右端口B。g取10 m/s2，求：
(1)若小球以2 m/s的速度从A进入管中，则其到达轨道底部C时的动能为多大？
(2)若使小球能从右端口B离开轨道，小球应至少以多大的速度进入左端口A
B级——选考进阶
10．(2023·浙江6月选考)铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是(　　)
11.如图所示，有一条长为1 m的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10 m/s2)(　　)
A．2.5 m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
12．(14分)小物块A的质量为m，物块与坡道间的动摩擦因数为μ，水平滑道光滑；坡道顶端距水平滑道高度为h，倾角为θ(μ(1)物块滑到O点时的速度大小；
(2)弹簧达到最大压缩量d时的弹性势能；
(3)物块A被弹回到坡道时上升的最大高度。
课时跟踪检测(七)
1．选B　铅球做平抛运动，仅受重力作用，故机械能守恒，A错误；铅球的加速度恒为重力加速度保持不变，B正确；铅球做平抛运动，水平方向速度不变，竖直方向做匀加速直线运动，根据运动的合成可知铅球的速度变大，则动能越来越大，C、D错误。
2．选C　做变速运动的物体，若受到摩擦力，其机械能不一定减少，如由静止放上水平传送带的物体，加速阶段摩擦力做正功，物体机械能增大，A错误；物体所受的合外力不为零，物体的机械能不一定发生变化，如在水平面做匀速圆周运动的物体，合外力作为向心力(不为零)，物体机械能不变，B错误；将物体斜向上抛出后，不计空气阻力时，只有重力做功，物体机械能守恒，物体在同一水平高度处，重力势能相等，故动能相等，物体具有相同的速率，C正确；在水平面上做变速运动的物体，若只是速度方向改变，则它的机械能不变，D错误。
3．选D　设小环进入较低的水平杆时的速度为v2，根据机械能守恒定律得mv12＋mgh＝mv22，解得v2＝3 m/s，两个小环在倾斜杆上运动过程相同，运动的时间相同，所以两个小环到达较低杆的时间差为Δt＝＝0.1 s，进入较低的水平杆运动时，两环的距离为Δx＝v2·Δt＝0.3 m，故选D。
4．选A　小球上抛过程和下落过程中机械能守恒，在最高点时机械能为零，则小球在抛出点(刚抛出时)的机械能为零，小球落回抛出点时的机械能也为零，选项A正确，B错误；从抛出到落地，由机械能守恒定律得：mgh＝mv2－mv02，小球落到地面时的动能为mv02＋mgh，选项C错误；小球落到地面时的重力势能为－mg(H＋h)，选项D错误。
5．选AC　根据题意可知，物块下降压缩弹簧，则重力对物块做正功，弹簧弹力对物块做负功，故B错误，A正确；由公式W＝Fs可得，重力做功为W＝mgd，由重力做功与重力势能的关系可知，物块重力势能减少了mgd，故C正确；根据系统机械能守恒定律可知，弹簧的弹性势能增加了mgd，故D错误。
6．选BD　由于有弹簧的弹力做功，故滑块的机械能不守恒，故A错误；将滑块与弹簧看成一个系统，由于杆表面光滑，故滑块与弹簧构成的系统机械能守恒，故B正确；当弹簧的弹力大小与滑块重力大小相等时，滑块加速度为零，速度最大，而O点是弹簧的原长点，故滑块在O点的速度不是最大，故C错误；滑块从A到O，刚开始弹簧的弹力大于滑块重力，则有kx－mg＝ma，由于形变量减小，故加速度减小，方向向上，然后kx＝mg时，加速度为零，速度最大，之后弹簧的弹力小于滑块重力，则有mg－kx＝ma′，由于形变量进一步减小，故加速度增大，方向向下，之后从O到B，滑块只受重力作用，加速度为g，保持不变，故D正确。
7．选A　当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球下落的高度为h＝πR－R＋R＝R，小球下落过程中，根据动能定理有mgh＝mv2，联立以上两式解得v＝，故A正确，B、C、D错误。
8.选C　如图所示，设小环下降的高度为h，圆环的半径为R，小环到P点的距离为L，根据机械能守恒定律得mgh＝mv2。由几何关系可得h＝Lsin θ，sin θ＝，联立可得h＝，可得v＝L ，故C正确，A、B、D错误。
9．解析：(1)小球从A运动到C，只有重力做功，根据机械能守恒有EA＝EC，即EkC＝mvA2＋mghA＝0.2 J。
(2)小球能够到达B，必须“越过”最高的D点，根据机械能守恒有mvA2＋mghA＝mghD，代入数据解得vA＝4 m/s。
答案：(1)0.2 J　(2)4 m/s
10．选D　由于不计空气阻力，铅球被水平推出后只受重力作用，加速度等于重力加速度，不随时间改变，故A错误；铅球被水平推出后做平抛运动，竖直方向有vy＝gt，则被水平推出后速度大小为v＝，可知速度大小与时间不是一次函数关系，故B错误；铅球被水平推出后的动能Ek＝mv2＝m，可知动能与时间不是一次函数关系，故C错误；由于忽略空气阻力，所以被水平推出后铅球机械能守恒，故D正确。
11．选A　设链条的质量为2m，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为E＝Ep＋Ek＝－mg·sin θ－mg·＋0＝－mgL，链条全部下滑出斜面后，动能为Ek′＝×2mv2，重力势能为Ep′＝－2mg·，由机械能守恒可得E＝Ek′＋Ep′，即－mgL＝mv2－mgL，解得v＝ ＝2.5 m/s，故A正确，B、C、D错误。
12．解析：(1)设物块滑到O点时的速度大小为v，物块从A点滑到O点的过程中，重力做正功，摩擦力做负功，根据动能定理得
mgh－μmgcos θ·＝mv2
解得v＝ 。
(2)在水平滑道上，物块速度减小为零时，弹簧有最大压缩量，设此时弹簧的弹性势能为Ep，
由机械能守恒定律得mv2＝Ep，解得Ep＝mgh－。
(3)设物块A被弹回到坡道时能够上升的最大高度为h1，物块被弹回过程中由动能定理得
0－mv2＝－mgh1－μmgcos θ·
解得h1＝。
答案：(1) 　(2)mgh－　(3)
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科学验证：机械能守恒定律
第5节
课标要求 层级达标 1.理解机械能守恒定律，体会守恒观念对认识物理规律的重要性。 2.能用机械能守恒定律分析生产生活中的有关问题。 学考层级 1.了解物体的动能和势能的相互转化，初步形成机械能的概念。
2.会正确推导物体在运动过程中的机械能守恒，体会守恒观念对认识物理规律的重要性。
选考层级 1.理解机械能守恒定律的内容，知道它的含义和适用条件，能获得结论。
2.在具体问题中，会判断机械能是否守恒，并能用机械能守恒定律解决简单问题。
机械能守恒定律
(赋能课——精细培优科学思维)
第1课时
1
课前预知教材
2
课堂精析重难
3
课时跟踪检测
CONTENTS
目录
课前预知教材
1.机械能：运动的物体往往既有动能又有势能，
物体的_______________ (弹性势能)之和称为机械能。
2.推导：如图所示，如果物体只在重力作用下自由
下落，重力做的功设为WG，由动能定理得WG=m-m①
由重力做功与重力势能改变的关系可知
WG=mg(h1-h2 )=mgh1-mgh2=Ep1-Ep2②
动能与重力势能
①②联立可得
mgh1-mgh2=m-m，
即m+mgh1=m+mgh2
由机械能的定义得Ek1+Ep1=Ek2+Ep2。
3.内容：在只有重力或弹力这类力做功的情况下，物体系统的动能与势能___________，机械能的总量___________。
4.条件：只有_______或系统内弹力对物体做功，机械能的大小与运动方向和轨迹的曲、直无关。
5.表达式：
(1)m+mgh1=____________或Ek1+Ep1=Ek2+Ep2。
(2)mgh1-mgh2=m-m，即ΔEp减=ΔEk增。
相互转化
保持不变
重力
m+mgh2
[质疑辨析]
如图所示，蹦床运动员在向上的运动过程中。请对以下说法作出判断：
(1)离开蹦床前，蹦床的弹性势能减小，运动员的重力势能增大，运动员的机械能不变。 ( )
(2)离开蹦床前，蹦床的弹性势能转化为运动员的机械能，运动员的机械能增大。 ( )
(3)离开蹦床后，运动员的动能转化为运动员的重力势能，运动员的机械能不变。 ( )
×
√
√
[情境思考]
物理课上，老师让学生做了一个趣味实验：用细绳把
橡皮球吊在高处，并把橡皮球拉到学生的鼻子尖前释放，保
持头的位置不动，橡皮球摆回来时，橡皮球会打到鼻子吗 请解释原因。
提示：橡皮球不会打到鼻子。由伽利略的理想斜面实验知，若没有阻力，橡皮球刚好能回到初位置，遵循机械能守恒定律。若存在阻力，机械能损失，橡皮球速度为零时的高度低于开始下落时的高度，橡皮球一定不能到达鼻子的位置。
课堂精析重难
如图所示为正在比赛的撑竿跳高运动员，如果忽略
空气的阻力，运动员靠撑竿上升的过程中有什么力做
功 运动员的机械能守恒吗
提示：撑竿跳高运动员上升的过程中重力、竿的弹力都做功，运动员的机械能不守恒；但运动员和撑竿组成的系统机械能守恒。
强化点(一)　机械能守恒定律的理解
任务驱动
1.机械能守恒的条件
(1)从做功的角度看，只有重力(或弹力)做功，机械能守恒。
①只有重力做功，单个物体的动能和重力势能相互转化，物体的机械能守恒。
②只有弹力做功，物体的动能和弹簧的弹性势能相互转化，物体与弹簧组成的系统机械能守恒。
要点释解明
③只有重力和弹力做功，物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，物体和弹簧组成的系统机械能守恒。
(2)从能量转化的角度看，只有系统内动能与势能的相互转化，无其他形式能量的转化，系统机械能守恒。
2.判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)：
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)：
1.以下对机械能守恒的理解正确的是 (　 )
A.如果机械能只在系统内部物体间转化，则该系统机械能一定守恒
B.如果系统内部只有动能与势能的相互转化，则该系统机械能一定守恒
C.如果物体受力平衡，则物体与地球组成的系统机械能一定守恒
D.如果外力对一个系统所做的功为0，则该系统机械能一定守恒
题点全练清
√
解析：如果系统内部只有动能与势能的相互转化，不发生机械能与其他形式能的转化，则该系统机械能一定守恒，A错误，B正确；如果物体受力平衡，匀速上升，动能不变，但是重力势能增大，机械能不守恒，C错误；如果外力对一个系统所做的功为0，说明是动能不变，但是机械能可能变化，比如物体匀速上升，动能不变，但是重力势能增大，机械能不守恒，D错误。
2.如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是 (　 )
A.甲图中，火箭升空的过程，若匀速升空机械能守恒，若加速升空机械能不守恒
B.乙图中，物体匀速运动，机械能守恒
C.丙图中，小球做匀速圆周运动，机械能守恒
D.丁图中，轻弹簧将A、B两小车弹开，两小车组成的系统机械能守恒
√
解析：甲图中，不论是匀速还是加速，由于推力对火箭做功，火箭的机械能不守恒，是增加的，故A错误；乙图中，物体沿斜面匀速上升，动能不变，重力势能增加，则机械能必定增加，故B错误；丙图中，小球在水平面内做匀速圆周运动的过程中，细线的拉力不做功，机械能守恒，故C正确；丁图中，轻弹簧将A、B两小车弹开，弹簧的弹力对两小车做功，则两小车组成的系统机械能不守恒，但对两小车和弹簧组成的系统机械能守恒，故D错误。
3.(2023·浙江1月选考)一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳台下落直到最低点过程中 (　 )
A.弹性势能减小
B.重力势能减小
C.机械能保持不变
D.绳一绷紧动能就开始减小
√
解析：游客从跳台下落直到最低点的过程中，游客的重力势能逐渐减小，B正确；根据游客的下落情况，橡皮绳的弹性势能先不变，当橡皮绳张紧之后才逐渐增大，故A错误；游客的机械能与橡皮绳的弹性势能之和保持不变，故机械能先不变，后减小，C错误；绳刚绷紧时，重力仍大于绳上的弹力，游客还要向下加速一段时间，故D错误。
如图，质量为m的小球从光滑曲面上滑下。当它
到达高度为h1的位置A时，速度的大小为v1，滑到
高度为h2的位置B时，速度的大小为v2。在由高度
h1滑到高度h2的过程中(不计空气阻力，重力加速度为g)：
(1)小球的重力势能减少了多少
提示：重力势能的减少量为ΔEp=mgh1-mgh2。
任务驱动
强化点(二)　单物体机械能守恒定律的应用
(2)小球的动能增加了多少
提示：动能增加量为ΔEk=m-m。
(3)小球下滑过程中机械能守恒吗 若守恒，列出表达式。
提示：机械能守恒，表达式为mgh1+m=mgh2+m。
(4)小球重力势能减少量等于动能的增加量吗
提示：由(3)表达式变形可知mgh1-mgh2=m-m，即小球重力势能减少量等于动能增加量。
1.应用思路
(1)选取研究对象——物体。
(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在所研究过程的初、末状态时的机械能。
(4)根据机械能守恒定律列方程，进行求解。
思维建模型
2.求解方法
(1)守恒法：机械能守恒定律的方程形式：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或ΔEk=-ΔEp。
(2)利用动能定理：WG=Ek2-Ek1。
1.如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能参考平面，且不计空气阻力，则下列选项错误的是 (　 )
题点全练清
A.物体落到海平面时的势能为mgh
B.重力对物体做的功为mgh
C.物体在海平面上的动能为m+mgh
D.物体在海平面上的机械能为m
√
解析：若以地面为零势能参考平面，物体落到海平面时的势能为-mgh，A错误；此过程重力做正功，做功的数值为mgh，B正确；不计空气阻力，只有重力做功，所以机械能守恒，有m=-mgh+Ek，在海平面上的动能为Ek=m+mgh，C正确；在地面处的机械能为m，因此在海平面上的机械能也为m，D正确。
2.如图所示，质量(连同装备)m=60 kg的滑雪运动员以v0=10 m/s的初速度从高h=15 m的A点沿光滑雪道滑下，到达水平面的B点后进入平直缓冲道BC，最终停下，已知滑雪板与缓冲道间的动摩擦因数为μ=0.5，重力加速度大小取g=10 m/s2。求：
(1)以BC为零势能参考平面，运动员在A点时的机械能；
答案：1.2×104 J　
解析：(1)运动员在A点的机械能E=mgh+m
解得E=1.2×104 J。
(2)到达最低点B时的速度大小；
答案：20 m/s
解析：从A到B，由机械能守恒定律得E=m
解得vB=20 m/s。
(3)运动员在缓冲道上通过的位移大小。
答案：40 m
解析：在缓冲道BC上，由动能定理得
-μmgs=0-m，解得s=40 m。
1.在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
2.非质点类物体机械能守恒问题的解决关键在于正确确定重心的位置。
3.先分段考虑各部分的重力势能，再取各部分重力势能的代数和作为整体的重力势能。
4.利用Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或ΔEk=-ΔEp列式。
要点释解明
强化点(三)　非质点类物体的机械能守恒问题
[典例]　长为L、质量为m的均匀链条，放在光滑
的水平桌面上，且使其长度的垂在桌边，如图所
示，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，取桌面为零势能参考平面，重力加速度为g。
(1)开始时两部分链条重力势能之和为多少
[答案]　-　
[解析]　开始时链条的重力势能
Ep1=-×=-。
(2)刚离开桌面时，整个链条重力势能为多少
[答案]　-
[解析]　刚滑离桌面时，链条的重力势能
Ep2=mg×=-。
(3)链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大
[答案]　
[解析]　设链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为v，根据机械能守恒定律得Ep1=Ep2+mv2
联立解得v=。
1.(2024·贵州安顺高一检测)如图所示，粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(重力加速度大小为g) (　 )
题点全练清
A. 　　　　　　 B.
C. D.
解析：当两液面高度相等时，液体减少的重力势能转化为全部液体的动能，且各部分液体的速度大小相同，设管内液体总质量为m，根据机械能守恒定律得mg·h=mv2，解得v=，A正确。
√
2.如图所示，粗细均匀、全长为h的铁链，对称地挂在转
轴光滑的轻质定滑轮上，滑轮的大小与铁链长度相比可忽略
不计，受到微小扰动后，铁链从静止开始运动，当铁链脱离
滑轮的瞬间，其速度大小为 (　 )
A. B.
C. D.
√
解析：铁链从开始到刚脱离滑轮的过程中，铁链重心下降的高度为h，在铁链下落过程，由机械能守恒定律得：mg·h=mv2，解得v=。

课时跟踪检测
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A级——学考达标
1.(2023·全国甲卷)一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中(　 )
A.机械能一直增加
B.加速度保持不变
C.速度大小保持不变
D.被推出后瞬间动能最大
√
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解析：铅球做平抛运动，仅受重力作用，故机械能守恒，A错误；铅球的加速度恒为重力加速度保持不变，B正确；铅球做平抛运动，水平方向速度不变，竖直方向做匀加速直线运动，根据运动的合成可知铅球的速度变大，则动能越来越大，C、D错误。
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2.关于机械能，下列说法正确的是 (　 )
A.做变速运动的物体，只要受到摩擦力，其机械能一定减少
B.如果物体所受的合外力不为零，则物体的机械能一定发生变化
C.将物体斜向上抛出后，不计空气阻力时机械能守恒，物体在同一水平高度处具有相同的速率
D.在水平面上做变速运动的物体，它的机械能一定变化
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解析：做变速运动的物体，若受到摩擦力，其机械能不一定减少，如由静止放上水平传送带的物体，加速阶段摩擦力做正功，物体机械能增大，A错误；物体所受的合外力不为零，物体的机械能不一定发生变化，如在水平面做匀速圆周运动的物体，合外力作为向心力(不为零)，物体机械能不变，B错误；将物体斜向上抛出后，不计空气阻力时，只有重力做功，物体机械能守恒，物体在同一水平高度处，重力势能相等，故动能相等，物体具有相同的速率，C正确；在水平面上做变速运动的物体，若只是速度方向改变，则它的机械能不变，D错误。
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3.(2024·贵州安顺高一检测)如图所示，两个相距0.2 m的小环套在水平杆上以相同的初速度v1=2 m/s向右滑行。不计阻力，g=10 m/s2，当两环高度下降0.25 m，进入较低的水平杆运动时，两环相距 (　 )
A.0.1 m B.0.13 m
C.0.2 m D.0.3 m
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解析：设小环进入较低的水平杆时的速度为v2，根据机械能守恒定律得m+mgh=m，解得=3 m/s，两个小环在倾斜杆上运动过程相同，运动的时间相同，所以两个小环到达较低杆的时间差为Δt=
=0.1 s，进入较低的水平杆运动时，两环的距离为Δx=v2·Δt=0.3 m，故选D。
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4.质量为m的小球，从离地面h高处以初速度v0竖直上抛，小球上升到最高点时离抛出点距离为H，若选取最高点为零势能面，不计空气阻力，则 (　 )
A.小球在抛出点(刚抛出时)的机械能为零
B.小球落回抛出点时的机械能-mgh
C.小球落到地面时的动能为m-mgh
D.小球落到地面时的重力势能为-mgh
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解析：小球上抛过程和下落过程中机械能守恒，在最高点时机械能为零，则小球在抛出点(刚抛出时)的机械能为零，小球落回抛出点时的机械能也为零，选项A正确，B错误；从抛出到落地，由机械能守恒定律得：mgh=mv2-m，小球落到地面时的动能为m+mgh，选项C错误；小球落到地面时的重力势能为-mg(H+h)，选项D错误。
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5.(多选)如图，有一竖直放置的轻弹簧，将物块放在轻弹簧
上端，物块将向下运动压缩弹簧。已知物块质量为m，弹簧的
最大压缩量为d，重力加速度为g。在此过程中 (　 )
A.重力对物块做正功
B.弹簧弹力对物块做正功
C.物块重力势能减少了mgd
D.弹簧的弹性势能减少了mgd
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√
√
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解析：根据题意可知，物块下降压缩弹簧，则重力对物块做正功，弹簧弹力对物块做负功，故B错误，A正确；由公式W=Fs可得，重力做功为W=mgd，由重力做功与重力势能的关系可知，物块重力势能减少了mgd，故C正确；根据系统机械能守恒定律可知，弹簧的弹性势能增加了mgd，故D错误。
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6.(多选)如图，某弹射装置竖直固定在水平桌面上，装置
上的光滑杆下端固定有轻弹簧，弹簧处于原长时位于O点位
置，弹簧上端放一滑块与弹簧不拴接。现用滑块将弹簧压缩
至A点并锁定，解除锁定，滑块经O点到达B点时速度为零。则解除锁定后滑块由A点运动至B点过程中 (　 )
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A.滑块的机械能守恒
B.滑块与弹簧构成的系统机械能守恒
C.滑块在O点速度最大
D.滑块的加速度先减小、后增大，再保持不变
解析：由于有弹簧的弹力做功，故滑块的机械能不守恒，故A错误；将滑块与弹簧看成一个系统，由于杆表面光滑，故滑块与弹簧构成的系统机械能守恒，故B正确；
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√
√
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当弹簧的弹力大小与滑块重力大小相等时，滑块加速度为零，速度最大，而O点是弹簧的原长点，故滑块在O点的速度不是最大，故C错误；滑块从A到O，刚开始弹簧的弹力大于滑块重力，则有kx-mg=ma，由于形变量减小，故加速度减小，方向向上，然后kx=mg时，加速度为零，速度最大，之后弹簧的弹力小于滑块重力，则有mg-kx=ma'，由于形变量进一步减小，故加速度增大，方向向下，之后从O到B，滑块只受重力作用，加速度为g，保持不变，故D正确。
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7.一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图
所示。长度为πR、不可伸长的轻细绳，一端固定
在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球。小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直。将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为(重力加速度为g，不计空气阻力) (　 )
A. B.
C. D.2
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解析：当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球下落的高度为h=πR-R+R=R，小球下落过程中，根据动能定理有mgh=mv2，联立以上两式解得v=，故A正确，B、C、D错误。
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8.固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，
小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过
程中，小环的速率正比于 (　 )
A.它滑过的弧长
B.它下降的高度
C.它到P点的距离
D.它与P点的连线扫过的面积
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√
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解析：如图所示，设小环下降的高度为h，圆环的半径为R，小环到P点的距离为L，根据机械能守恒定律得mgh=mv2。由几何关系可得h=Lsin θ，sin θ=，联立可得h=，可得v=L，故C正确，A、B、D错误。
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9.(12分)如图所示，用内表面光滑的圆管弯成的
曲线型轨道，固定在竖直平面内，中部是一个直径为
1.6 m的圆，左端口A距地面0.8 m，右端口B距地面1.2 m，质量为0.02 kg、可视为质点的小球表面光滑，可以通过左端口A进入光滑轨道，经过C、D，到达右端口B。g取10 m/s2，求：
(1)若小球以2 m/s的速度从A进入管中，则其到达轨道底部C时的动能为多大
答案：0.2 J　
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解析：小球从A运动到C，只有重力做功，根据机械能守恒有EA=EC
即EkC=m+mghA=0.2 J。
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(2)若使小球能从右端口B离开轨道，小球应至少以多大的速度进入左端口A
答案：4 m/s
解析：小球能够到达B，必须“越过”最高的D点，根据机械能守恒有m+mghA=mghD
代入数据解得vA=4 m/s。
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B级——选考进阶
10.(2023·浙江6月选考)铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是(　 )
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解析：由于不计空气阻力，铅球被水平推出后只受重力作用，加速度等于重力加速度，不随时间改变，故A错误；铅球被水平推出后做平抛运动，竖直方向有vy=gt，则被水平推出后速度大小为v=，可知速度大小与时间不是一次函数关系，故B错误；铅球被水平推出后的动能Ek=mv2=m，可知动能与时间不是一次函数关系，故C错误；由于忽略空气阻力，所以被水平推出后铅球机械能守恒，故D正确。
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11.如图所示，有一条长为1 m的均匀金属链条，
有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一
个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下
垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10 m/s2) (　 )
A.2.5 m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
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解析：设链条的质量为2m，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为E=Ep+Ek=-mg·sin θ-mg·+0=-mgL，链条全部下滑出斜面后，动能为Ek'=×2mv2，重力势能为Ep'=-2mg·，由机械能守恒可得E=Ek'+Ep'，即-mgL=mv2-mgL，解得v==2.5 m/s，故A正确，B、C、D错误。
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12.(14分)小物块A的质量为m，物块与坡道间的动摩擦因数为μ，水平滑道光滑；坡道顶端距水平滑道高度为h，倾角为θ(μ2
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(1)物块滑到O点时的速度大小；
答案：　
解析：设物块滑到O点时的速度大小为v，物块从A点滑到O点的过程中，重力做正功，摩擦力做负功，根据动能定理得
mgh-μmgcos θ·=mv2
解得v=。
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(2)弹簧达到最大压缩量d时的弹性势能；
答案：mgh-
解析：在水平滑道上，物块速度减小为零时，弹簧有最大压缩量，设此时弹簧的弹性势能为Ep，
由机械能守恒定律得mv2=Ep
解得Ep=mgh-。
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(3)物块A被弹回到坡道时上升的最大高度。
答案：
解析：设物块A被弹回到坡道时能够上升的最大高度为h1，物块被弹回过程中由动能定理得
0-mv2=-mgh1-μmgcos θ·
解得h1=。
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4第5节　科学验证：机械能守恒定律
课标要求 层级达标
1.理解机械能守恒定律，体会守恒观念对认识物理规律的重要性。2.能用机械能守恒定律分析生产生活中的有关问题。 学考层级 1.了解物体的动能和势能的相互转化，初步形成机械能的概念。2.会正确推导物体在运动过程中的机械能守恒，体会守恒观念对认识物理规律的重要性。
选考层级 1.理解机械能守恒定律的内容，知道它的含义和适用条件，能获得结论。2.在具体问题中，会判断机械能是否守恒，并能用机械能守恒定律解决简单问题。
第1课时机械能守恒定律(赋能课—精细培优科学思维)
1．机械能：运动的物体往往既有动能又有势能，物体的__________________(弹性势能)之和称为机械能。
2．推导：如图所示，如果物体只在重力作用下自由下落，重力做的功设为WG，由动能定理得WG＝mv22－mv12①
由重力做功与重力势能改变的关系可知
WG＝mg(h1－h2 )＝mgh1－mgh2＝Ep1－Ep2②
①②联立可得
mgh1－mgh2＝mv22－mv12，
即mv12＋mgh1＝mv22＋mgh2
由机械能的定义得Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。
3．内容：在只有重力或弹力这类力做功的情况下，物体系统的动能与势能__________，机械能的总量__________。
4．条件：只有________或系统内弹力对物体做功，机械能的大小与运动方向和轨迹的曲、直无关。
5．表达式：
(1)mv12＋mgh1＝______________或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。
(2)mgh1－mgh2＝mv22－mv12，即ΔEp减＝ΔEk增。
[质疑辨析]
如图所示，蹦床运动员在向上的运动过程中。请对以下说法作出判断：
(1)离开蹦床前，蹦床的弹性势能减小，运动员的重力势能增大，运动员的机械能不变。(　 )
(2)离开蹦床前，蹦床的弹性势能转化为运动员的机械能，运动员的机械能增大。(　 )
(3)离开蹦床后，运动员的动能转化为运动员的重力势能，运动员的机械能不变。(　 )
[情境思考]
物理课上，老师让学生做了一个趣味实验：用细绳把橡皮球吊在高处，并把橡皮球拉到学生的鼻子尖前释放，保持头的位置不动，橡皮球摆回来时，橡皮球会打到鼻子吗？请解释原因。
强化点(一) 机械能守恒定律的理解
任务驱动　
如图所示为正在比赛的撑竿跳高运动员，如果忽略空气的阻力，运动员靠撑竿上升的过程中有什么力做功？运动员的机械能守恒吗？
[要点释解明]
1．机械能守恒的条件
(1)从做功的角度看，只有重力(或弹力)做功，机械能守恒。
①只有重力做功，单个物体的动能和重力势能相互转化，物体的机械能守恒。
②只有弹力做功，物体的动能和弹簧的弹性势能相互转化，物体与弹簧组成的系统机械能守恒。
③只有重力和弹力做功，物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，物体和弹簧组成的系统机械能守恒。
(2)从能量转化的角度看，只有系统内动能与势能的相互转化，无其他形式能量的转化，系统机械能守恒。
2．判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)：
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)：

[题点全练清]
1．以下对机械能守恒的理解正确的是(　 )
A．如果机械能只在系统内部物体间转化，则该系统机械能一定守恒
B．如果系统内部只有动能与势能的相互转化，则该系统机械能一定守恒
C．如果物体受力平衡，则物体与地球组成的系统机械能一定守恒
D．如果外力对一个系统所做的功为0，则该系统机械能一定守恒
2．如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　 )
A．甲图中，火箭升空的过程，若匀速升空机械能守恒，若加速升空机械能不守恒
B．乙图中，物体匀速运动，机械能守恒
C．丙图中，小球做匀速圆周运动，机械能守恒
D．丁图中，轻弹簧将A、B两小车弹开，两小车组成的系统机械能守恒
3．(2023·浙江1月选考)一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳台下落直到最低点过程中(　 )
A．弹性势能减小
B．重力势能减小
C．机械能保持不变
D．绳一绷紧动能就开始减小
强化点(二) 单物体机械能守恒定律的应用
任务驱动　
如图，质量为m的小球从光滑曲面上滑下。当它到达高度为h1的位置A时，速度的大小为v1，滑到高度为h2的位置B时，速度的大小为v2。在由高度h1滑到高度h2的过程中(不计空气阻力，重力加速度为g)：
(1)小球的重力势能减少了多少？
(2)小球的动能增加了多少？
(3)小球下滑过程中机械能守恒吗？若守恒，列出表达式。
(4)小球重力势能减少量等于动能的增加量吗？
[思维建模型]
1．应用思路
(1)选取研究对象——物体。
(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在所研究过程的初、末状态时的机械能。
(4)根据机械能守恒定律列方程，进行求解。
2．求解方法
(1)守恒法：机械能守恒定律的方程形式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp。
(2)利用动能定理：WG＝Ek2－Ek1。
[题点全练清]
1．如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能参考平面，且不计空气阻力，则下列选项错误的是(　 )
A．物体落到海平面时的势能为mgh
B．重力对物体做的功为mgh
C．物体在海平面上的动能为mv02＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为mv02
2．如图所示，质量(连同装备)m＝60 kg的滑雪运动员以v0＝10 m/s的初速度从高h＝15 m的A点沿光滑雪道滑下，到达水平面的B点后进入平直缓冲道BC，最终停下，已知滑雪板与缓冲道间的动摩擦因数为μ＝0.5，重力加速度大小取g＝10 m/s2。求：
(1)以BC为零势能参考平面，运动员在A点时的机械能；
(2)到达最低点B时的速度大小；
(3)运动员在缓冲道上通过的位移大小。
强化点(三) 非质点类物体的机械能守恒问题
[要点释解明]
1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
2．非质点类物体机械能守恒问题的解决关键在于正确确定重心的位置。
3．先分段考虑各部分的重力势能，再取各部分重力势能的代数和作为整体的重力势能。
4．利用Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp列式。
[典例]　长为L、质量为m的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的垂在桌边，如图所示，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，取桌面为零势能参考平面，重力加速度为g。
(1)开始时两部分链条重力势能之和为多少？
(2)刚离开桌面时，整个链条重力势能为多少？
(3)链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大？
尝试解答：
[题点全练清]
1．(2024·贵州安顺高一检测)如图所示，粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(重力加速度大小为g)(　 )
A. 　　　　　　 B.
C. D.
2.如图所示，粗细均匀、全长为h的铁链，对称地挂在转轴光滑的轻质定滑轮上，滑轮的大小与铁链长度相比可忽略不计，受到微小扰动后，铁链从静止开始运动，当铁链脱离滑轮的瞬间，其速度大小为(　 )
A. B.
C. D.
第1课时　机械能守恒定律
1．动能与重力势能　3.相互转化　保持不变　4.重力
5．(1)mv22＋mgh2
[质疑辨析]
(1)×　(2)√　(3)√
[情境思考]
提示：橡皮球不会打到鼻子。由伽利略的理想斜面实验知，若没有阻力，橡皮球刚好能回到初位置，遵循机械能守恒定律。若存在阻力，机械能损失，橡皮球速度为零时的高度低于开始下落时的高度，橡皮球一定不能到达鼻子的位置。
强化点(一)　
[任务驱动]　提示：撑竿跳高运动员上升的过程中重力、竿的弹力都做功，运动员的机械能不守恒；但运动员和撑竿组成的系统机械能守恒。
[题点全练清]
1．选B　如果系统内部只有动能与势能的相互转化，不发生机械能与其他形式能的转化，则该系统机械能一定守恒，A错误，B正确；如果物体受力平衡，匀速上升，动能不变，但是重力势能增大，机械能不守恒，C错误；如果外力对一个系统所做的功为0，说明是动能不变，但是机械能可能变化，比如物体匀速上升，动能不变，但是重力势能增大，机械能不守恒，D错误。
2．选C　甲图中，不论是匀速还是加速，由于推力对火箭做功，火箭的机械能不守恒，是增加的，故A错误；乙图中，物体沿斜面匀速上升，动能不变，重力势能增加，则机械能必定增加，故B错误；丙图中，小球在水平面内做匀速圆周运动的过程中，细线的拉力不做功，机械能守恒，故C正确；丁图中，轻弹簧将A、B两小车弹开，弹簧的弹力对两小车做功，则两小车组成的系统机械能不守恒，但对两小车和弹簧组成的系统机械能守恒，故D错误。
3．选B　游客从跳台下落直到最低点的过程中，游客的重力势能逐渐减小，B正确；根据游客的下落情况，橡皮绳的弹性势能先不变，当橡皮绳张紧之后才逐渐增大，故A错误；游客的机械能与橡皮绳的弹性势能之和保持不变，故机械能先不变，后减小，C错误；绳刚绷紧时，重力仍大于绳上的弹力，游客还要向下加速一段时间，故D错误。
强化点(二)　
[任务驱动]　提示：(1)重力势能的减少量为ΔEp＝mgh1－mgh2。
(2)动能增加量为ΔEk＝mv22－mv12。
(3)机械能守恒，表达式为mgh1＋mv12＝mgh2＋mv22。
(4)由(3)表达式变形可知mgh1－mgh2＝mv22－mv12，
即小球重力势能减少量等于动能增加量。
[题点全练清]
1．选A　若以地面为零势能参考平面，物体落到海平面时的势能为－mgh，A错误；此过程重力做正功，做功的数值为mgh，B正确；不计空气阻力，只有重力做功，所以机械能守恒，有mv02＝－mgh＋Ek，在海平面上的动能为Ek＝mv02＋mgh，C正确；在地面处的机械能为mv02，因此在海平面上的机械能也为mv02，D正确。
2．解析：(1)运动员在A点的机械能E＝mgh＋mv02
解得E＝1.2×104 J。
(2)从A到B，由机械能守恒定律得E＝mvB2
解得vB＝20 m/s。
(3)在缓冲道BC上，由动能定理得
－μmgs＝0－mvB2，解得s＝40 m。
答案：(1)1.2×104 J　(2)20 m/s　(3)40 m
强化点(三)　
[典例]　解析：(1)开始时链条的重力势能
Ep1＝－×＝－。
(2)刚滑离桌面时，链条的重力势能
Ep2＝mg×＝－。
(3)设链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为v，根据机械能守恒定律得Ep1＝Ep2＋mv2，联立解得v＝。
答案：(1)－　(2)－　(3)
[题点全练清]
1．选A　当两液面高度相等时，液体减少的重力势能转化为全部液体的动能，且各部分液体的速度大小相同，设管内液体总质量为m，根据机械能守恒定律得mg·h＝mv2，解得v＝，A正确。
2．选A　铁链从开始到刚脱离滑轮的过程中，铁链重心下降的高度为h，在铁链下落过程，由机械能守恒定律得：mg·h＝mv2，解得v＝。
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