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2024-2025学年内蒙古呼和浩特市高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部是( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. 球面上任意两点连成的线段都是球的直径
B. 底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥
C. 用一个平面截一个圆锥，得到的截面图形是一个三角形
D. 棱台的侧棱延长后交于同一点
3.若平面平面，直线，直线，那么，的位置关系是( )
A. 无公共点 B. 平行 C. 既不平行也不相交 D. 相交
4.在中，若，则是( )
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
5.如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在平面直角坐标系中，、、、分别是单位圆上的四段弧，点在其中一段上，角以为始边，为终边．若，则所在的圆弧是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，网格纸上小正方形的边长为从，，，四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则
的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
8.青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑，图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，则下列选项中正确的是( )
A. 复数的模为
B. 复数，则在复平面上对应点在第一象限
C. 复数是纯虚数，则或
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
10.如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则( )
A. 直线与是相交直线
B. 直线与所成的角是
C. 直线平面
D.
11.一般地，对任意角，在平面直角坐标系中，设的终边上异于原点的任意一点的坐标为，它与原点的距离是我们规定：比值，，分别叫做角的余切、余割、正割，分别记作，，，把，
，分别叫做余切函数、余割函数、正割函数下列叙述正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等于______．
13.已知，，设，，若与的夹角为钝角，则的取值范围______．
14.已知一个圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量与的夹角，且．
求，；
求与的夹角．
16.本小题分
已知．
化简；
若，求．
17.本小题分
在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，若．
求；
若，求的取值范围．
18.本小题分
如图所示，四边形为菱形，，，将沿折起折起后到的位置，设，点是线段的中点．
证明：平面；
证明：平面平面；
求三棱锥的体积．
19.本小题分
已知向量，，函数．
求函数的解析式及最小正周期；
若，求函数的值域；
将函数的图象右移个单位，再将所得图象上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象若不等式在恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由题意可知，，
；
易知，
，
又，
所以与的夹角为．
16.
；
由可得，
则．
17.根据余弦定理得
根据正弦定理得
由于是三角形内角，因此，
因此，因此．
根据第一问知，，，
在锐角三角形中，有
因此，，
根据正弦定理得，，
因此
由于，那么．
因此．
18.证明：连接，
因为，分别是，的中点，因此，
又因为平面，，因此面．
证明：连接，
在菱形中，，所以和是等边三角形，
所以，，
又，，面，所以平面，
又面，所以平面平面．
过点作，
由知，平面，又面，因此，
又，，面，所以面，
因为，，所以，
又，所以三角形为等边三角形，所以，
又，
．
19.根据题意，函数
，
因此函数的最小正周期．
若，令，那么，
在单调递减，在上单调递增，
那么当时，即，取最大值，当时，即，取最小值，
因此的值域是．
根据题意，函数，
原不等式化为，
令，当时，，
又因为，那么，
于是，
原不等式化为，即在恒成立，
所以在恒成立，
当，在恒成立，满足题意；
当时，则，若在恒成立，
需，即，解得；
当时，令，，，
当，即时，在恒成立；
当，即时，在恒成立；
当，即时，若在恒成立，
需，即，解得．
所以实数的取值范围是．
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