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2024-2025 学年四川省广元市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 15° 15° =( )
A. 14 B.
3
4 C.
1 3
2 D. 2

2.已知复数 = 3 + ，则 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.收集到一组数据：10，20，30，70，80，90，100，110，则该组数据的第 75 百分位数是( )
A. 85 B. 90 C. 95 D. 100

4.有一组样本数据 1， 2， ， ，其平均数和方差分别为 , 2.由这组数据得到一组新样本数据 1， 2， ，

，其中 = 4 + 3( = 1,2, , )，其平均数和方差分别为 , ′2，则( )

A. = 4 B. = 4 + 3 C. ′2 = 4 2 D. ′2 = 4 2 + 3
5.已知 = ( 3,4)， = (2, 1)，则 在 上的投影向量的模为( )
A. 2 B. 2 5 C. 5 D. 25
6.已知直角梯形的上底长为 1，下底长为 2，高为 3，则直角梯形绕下底所在的直线旋转一周形成的几何
体的表面积为( )
A. (2 3 + 3) B. (2 3 + 4) C. (4 3 + 3) D. (3 3 + 4)
7 3 3 12 3 5 5 .已知 sin( 4 + ) = 5 , cos( 4 + ) = 13 , ∈ ( 4 , 4 ), ∈ ( 4 , 4 )，则 cos( ) =( )
A. 16 B. 16 C. 5665 65 65 D.
56
65
8.设 ( 1, 1)和 ( 2, 2)
2
是以原点 为圆心的单位圆上的两个点，∠ = ，且2 < < , sin( + 4 ) = 10，
则 1 2 + 1 2的值为( )
A. 45 B.
3 C. 3 D. 45 5 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线 ， 和平面 ， ，则下列命题中真命题是( )
A.若 // ， // ，则 //
B.若 // ， ⊥ ，则 ⊥
C.若 ， // ，则 //
D.若 ⊥ ， ⊥ ， ，则 //
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10.下列式子正确的是( )
A. 15° + 15° = 62 B. 75° =
6+ 2
4
C. ∈ (0, 2 )时， < D. 12° + 33° + 12° 33° = 1
11.正方体 的棱长为 2， = , = ( ∈ (0,1)), = + ( , ∈ [0,1]，且| | +
| | ≠ 0).下列结论正确的是( )
A. | | + | |的最小值为 15
B.若 = 2 ，则 //平面
C. 1 2若 = 1, = 2，则四面体 的体积为3
D. 6点 到直线 的距离的最小值为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知某地区有小学生 12000 人，初中生 11000 人，高中生 9000 人，现在要了解该地区学生的近视情
况，准备抽取 320 人进行调查，则按比例分配的分层抽样应该抽取高中生______人.
13.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 2 = (2 + ) + (2 + ) ，则 = ______．
14.在四棱锥 中，底面 为等腰梯形， ⊥底面 .若 = = = = 1， = 2，
则这个四棱锥的外接球表面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在正方体 1 1 1中，
(1)求证： 1 ⊥平面 1 1；
(2)求直线 1 和平面 1 1所成的角．
16.(本小题 15 分)
某校高一年级共 1000 名学生参加“墨香盈校，书韵伴行”读书节知识竞赛，学校随机抽取了若干份试卷对
其得分(满分 100 分)进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成 5 组，制成如图所
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示的频率分布直方图．
(1)求 的值；
(2)用样本估计总体，试估计本次读书节知识竞赛得分的中位数(保留一位小数)；
(3)用样本估计总体，试估计本次读书节知识竞赛得分不低于 80 的人数．
17.(本小题 15 分)
如图，在 △ 中，∠ = 90°， = = 1， + = 0，点 为边 上靠近点 的三等分点．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求∠ 的余弦值．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， // ，且 = 2 = 2， 是 的中点．
(1)证明： ⊥ ；
(2)若 = = 2，直线 与直线 6所成角的余弦值为 4 ．
( )求四面体 的体积；
( )求二面角 的正弦值．
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19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 ( + ) + 2(0 < < 2,0 < < 2 )．
请在下面的三个条件中任选两个解答问题．
①函数 ( )的图象过点(0,2 2)；
②函数 ( )的图象关于点( 12 , 2)对称；
③函数 ( )相邻两个对称轴之间距离为 2．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2) ( + ) 若 1， 2是函数 ( )的零点，求 cos 1 22 的值组成的集合；
(3)当 ∈ ( 2,0)时，是否存在 满足不等式 (2 + 32 ) > ( )？若存在，求出 的范围；若不存在，请说明
理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.90
13.2 3
14.5
15.解：(1)证明：如图所示，连接 1 1，
因为 1 ⊥平面 1 1 1 1， 1 1 平面 1 1 1 1，
所以 1 ⊥ 1 1，
又因为 1 1 ⊥ 1 1， 1 1 ∩ 1 = 1， 1 1， 1 平面 1 1，
所以 1 1 ⊥面 1 1，而 1 平面 1 1，从而 1 1 ⊥ 1，
同理可证 1 ⊥平面 1，
而 1 平面 1，所以 1 ⊥ 1，
又因为 1 1 ⊥ 1， 1 1 ∩ 1 = 1， 1 1， 1 平面 1 1，
所以 1 ⊥平面 1 1；
(2)设 1 ∩ 1 = ，连接 1 ，
由(1)得 ⊥平面 1 1，
则∠ 1 即为直线 1 和平面 1 1所成角的平面角，
又 1 平面 1 1，
所以 ⊥ 1 ，
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在 △ 1 中， 1 = 2， =
2，
2
所以 sin∠ =
1
1 1
= 2，
又 0° < ∠ 1 < 90°，
所以∠ 1 = 30°，
即直线 1 和平面 1 1所成的角为 30°．
16.(1)由频率分布直方图可得 10 × (0.038 + 0.034 + 0.018 + 0.006 + ) = 1，所以 = 0.004；
(2)因为(0.004 + 0.018) × 10 < 0.5，(0.004 + 0.018 + 0.038) × 10 > 0.5，
所以本次读书节知识竞赛分数的中位数在[70,80)这一组，
设本次读书节知识竞赛分数的中位数为 ，则(0.004 + 0.018) × 10 + 0.038( 70) = 0.5，解得 ≈ 77.4，
所以估计本次读书节知识竞赛分数的中位数为 77.4；
(3)由频率分布直方图可得读书节知识竞赛分数不低于 80 的频率为(0.034 + 0.006) × 10 = 0.4，
用样本估计总体，可以估计读书节知识竞赛分数不低于 80 的人数为 1000 × 0.4 = 400，
所以估计本次读书节知识竞赛分数不低于 80 的人数为 400．
17.(1)证明：因为∠ = 90°， = = 1， + = 0，点 为边 上靠近点 的三等分点，
可得 为 的中点， = 0，且 = = 45°， = 2，
所以 = ( ) ( + ) = ( 1 ) ( + 12 3
)
1
= (
1
2 ) [
+ 3 (
)]
1
= (
2 1
2
) ( 3
+ 3
)
= 1
2 2
1 1 3 3 2 = 0，
所以 ⊥ ，
即 ⊥ ；
(2)解：因为 = (( + ) 2 = 2 ( + 1 ) = 2 2
2
3 3 3 3 9
= 2 | | | 3 | 135°
2
9 × 2 =
2
3 × 1 × 2 × (
2
2 )
4 2
9 = 9，
| | = = 2 + 2 2 = 1 + 2 2 × 1 × 29 3 ×
2 = 52 3 ，|
| = = 2 23 ，
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2
所以 cos < ， >= cos <
>=

， 9 = =
10
| | | | 5×2 2 10
，
3 3
所以 cos∠ = cos < ， >= 1010 ．
18.(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ，
因为 是 的中点，所以 // ， = 2 ，
又 // ，且 = 2 = 2，
所以 // ， = ，即四边形 是平行四边形，
所以 // ，
因为 ⊥平面 ， // ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
所以 ⊥ ．
(2)解：( )连接 ，
因为 = = 2， 是 的中点，所以 ⊥ ，
由(1)知， ⊥ ，
因为 ∩ = ， 、 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
由(1)知， // ，
6 6
又直线 与直线 所成角的余弦值为 4 ，所以 cos∠ = 4 ，
△ = 2 + 2 = 2 2 cos∠ = 6 = 在 中， ， 4 = 2 2，即 = 3，
所以 = 2 = 2 2 2 = 2 22 ( 3)2 = 2，即△ 是边长为 2 的等边三角形，
1 1 1
所以四面体 的体积为 = 3 △ = 3 2 2 2 3 =
2 3
3 ．
( )取 的中点 ，连接 ，则 ⊥ ，且 = 3，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， 、 平面 ，所以 ⊥平面 ，
过点 作 ⊥ 于点 ，连接 ，则∠ 即为二面角 的平面角，
在直角梯形 中， = 2， = 5， = 5，
△ 1 1 1而 的面积 = 2 = 2
2 ( 2 )
2，
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所以 5 = 2 ( 5)2 ( 2 )2 32 ，即 = 5，
所以 = 2 + 2 = ( 3 )2 + ( 3)25 =
2 6
5，
3
所以 sin∠ = 5 6 = 2 6 = 4 ，
5
6
故二面角 的正弦值为 4 ．
19.解：(1)若选①②，
①由 (0) = 2 2得 2 + 2 = 2 2 2 ，即 = 2 ，又 0 < < 2得 = 4．
②若 ( ) 1的图象关于点( 2 , 2)对称；
则 2 ( 12 +

4 ) = 0
1
，得2 + 4 = + 2，即 = 2 + 2， ∈ ，
∵ 0 < < 2 ∴ = 0 ， 时， = 2，
则 ( ) = 2 ( 2 +

4 ) + 2．
若选①③，
①由 (0) = 2 2得 2 + 2 = 2 2，即 = 22 ，又 0 < <

2得 = 4．
( ) ③函数 相邻两个对称轴之间距离为 2.则2 = 2，
= 4 2 = 4 = 即 ，则 ，得 2，
则 ( ) = 2 ( 2 + 4 ) + 2．
若选②③，
③函数 ( ) 相邻两个对称轴之间距离为 2.则2 = 2，
即 = 4 2 ，则 = 4

，得 = 2．
②若 ( ) 1的图象关于点( 2 , 2)对称；
则 2 ( 12 ×

2 + ) = 0

，得4 + = +

2，即 = + 4， ∈ ，
∵ 0 < < ∴ = 0 = 2， 时， 4．
则 ( ) = 2 ( 2 + 4 ) + 2．
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综上， ( ) = 2 ( 2 +

4 ) + 2．
(2) ∵ 1， 2是函数 ( )的零点，
∴ 2 ( + ) + 2 = 0 cos( + ) = 22 1 4 ，即 2 1 4 2 ，
3
则2 1 + 4 =± 4 + 2 1 ， 1 ∈ ，①
+ 同理2 2 4 =±
3
4 + 2 2 ， 2 ∈ ，②，
3
① +②得2 ( 1 + 2) + 2 = 2 + 2( 1 + 2) ，

或2 (

1 + 2) + 2 = 2( 1 + 2) ，
3
或2 ( 1 + 2) + 2 = 2 + 2( 1 + 2) ，
∴ ( 1+ 2) 2 = + 2( +
( 1+ 2)
1 2) ，或 2 = 2 + 2( + )
(
，或 1
+ 2)
1 2 2 = 2 + 2( 1 + 2) ， 1 + 2 ∈ ，
则 cos ( 1+ 2) 2 = 1 或 0 或 1 cos
( 1+ 2) ，即 2 的值的集合为{ 1,0,1}．
(3)若 (2 + 32 ) > ( )，则 2 [
3
2 (2 + 2 ) + 4 ] > 2 (

2 + 4 ).
即 cos( + ) > cos( 3 2 + 4 )， + ∈ ( , )，2 + 4 ∈ ( 4 , 4 )，
< + ≤ 0 2 < ≤ 1 3 < + ≤ ①当 时，即 时， 4 2 4 4，
此时由 = 在( , 0)上单调递增，

知 + > 2 + 4，得2 >
3 3
4，得 > 2．
∴ 32 < ≤ 1．
②当 0 < + < 时，即 1 < < 0 < + < 时， 4 2 4 4，
此时只有 + ∈ (0, 2 )， 4 < 2 + 4 < 0，
由 = 在(0, )上单调递减，
知 + < 2
3 5 5
4，得2 < 4，得 < 6．
∴ 1 < < 56．
3 5 3 5综上， 2 < < 6 .即实数 的取值范围是( 2 , 6 ).
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