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3.1　函数的概念及其表示
3.1.1　函数的概念
第 1课时　函数的概念(一)
第三章　函数的概念与性质
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,提升数学抽象的核心素养.2.了解构成函数的要素,能求简单函数的函数值,提升数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
章节副标题
01
知识点一　函数的概念
实数集
概念 一般地,设A,B是非空的 ,如果对于集合A中的 ,按照某种 的对应关系f,在集合B中都有 的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
任意一个数x
确定
唯一确定
知识归纳
三 要 素 对应 关系 y=f(x),x∈A
定义域 的取值范围A
值域 与x的值相对应的 值的集合{f(x)|x∈A}
x
y
·疑难解惑·
(1)A,B是非空的实数集,定义域是A,值域是集合B的子集.
(2)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性.
(3)函数符号“y=f(x)”是数学符号之一,不表示y等于f与x的乘积,f(x)也不一定是解析式,还可以是图象、表格或其他的对应关系.
(4)除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号表示函数.
知识点二　一次函数、二次函数和反比例函数的定义域和值域
1.一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域是 ,值域是 .
R
R
R
1.下列关于x,y的关系式中,能表示y是x的函数的是(　　)
[A]x+|y|=1 [B]x2+y2=1
[C]2x2+y=1 [D]2x+y2=1
【解析】 对于A,x+|y|=1,当x=0时,得|y|=1,即y=±1,不满足函数定义,故A错误;
对于B,x2+y2=1,当x=0时,得y2=1,即y=±1,不满足函数定义,故B错误;
对于C,2x2+y=1即y=-2x2+1,满足函数定义,故C正确;
对于D,2x+y2=1,当x=0时,得y2=1,即y=±1,不满足函数定义,故D错误.故选C.
C
基础自测
2.设函数f(x)=3x2-1,则f(a)-f(-a)的值是(　　)
[A]0 [B]3a2-1
[C]6a2-2 [D]6a2
A
【解析】 f(a)-f(-a)=3a2-1-[3(-a)2-1]=0.故选A.
3.(人教A版必修第一册P64练习T3改编)如图,f:A→B表示从集合A到集合B的函数,若f(a)=2,则a的值为(　　)
[A]1 [B]2
[C]1或2 [D]3
C
【解析】 由题图可知,若f(a)=2,则a=1或2.故选C.
4.下列函数的值域为R的是 (　　)
[A]y=x+1
[B]y=x2
[C]y=-x2+1
A
【解析】 选项A中,y=x+1的定义域为R,值域为R,故A正确;显然其余选项的值域均不为R.故选A.
关键能力·素养培优
章节副标题
02
[例1] (多选)已知下列集合M,N与对应关系f,则f:M→N为从M到N的函数的是(　 　)
[A]M={1,2,3},N={2,4,6},f:M中的数乘以2
[B]M={1,2,3},N={2,4,6,8},f:M中的数乘以2
[C]M={1,4},N={-2,-1,1,2},f:M中的数开平方
[D]M={-2,-1,1,2},N={1,4},f:M中的数平方
ABD
题型一　函数的概念
【解析】 对于A,B,因为1×2=2∈N,2×2=4∈N,3×2=6∈N,符合题意,故A,B正确;对于C,因为集合M中的1开平方后有±1两个值与其对应,不符合函数的定义,故C错误;对于D,因为(-2)2=22=4∈N,(-1)2=12=1∈N,符合题意,故D正确.故选ABD.
(1)判断一个对应关系是不是函数的方法.
·解题策略·
·解题策略·
(2)判断图形是不是函数关系的步骤.
①任取一条垂直于x轴的直线l.
②在定义域内平行移动直线l.
③若直线l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.
[变式训练] 设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合M到集合N的函数关系的有(　　)
[A]①②③④ [B]②③
[C]①②③ [D]②
B
【解析】 对于①,从题图中可看出,M中有些元素在N中没有对应元素,例如x=1.5,不符合集合M到集合N的函数关系;②③符合集合M到集合N的函数关系;对于④,任取x=1,在图中可看到有两个y值与之对应,不符合函数定义.故选B.
[例2] 已知集合A={1,2},B={3,4},f:A→B为集合A到B的一个函数,写出所有符合条件的函数,并指出其定义域和值域.
【解】 满足题意的函数共有4个:
题型二　函数的定义域和值域的理解
·解题策略·
(1)函数f:A→B有三个要素:定义域、对应关系与值域,但是集合B不一定是函数的值域{f(x)|x∈A},需要明确,值域是B的子集;在这三个要素中,定义域是第一位的,对应关系是第二位的,定义域和对应关系一旦确定,这个函数就确定了,值域随之确定.
(2)当集合A与B都是含有有限个元素的集合时,构建函数f:A→B要注意分类讨论.
[变式训练] 下列四种说法中,正确的是　　　 　.(填序号)
①在函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应;②函数的定义域和值域一定是无限集合;③定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了;④若函数的定义域中只含有一个元素,则值域也只含有一个元素.
【解析】 在函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应,①正确;若函数y=0,定义域为R,但值域为{0},②错误;定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了,③正确;由于对任意的x,有唯一的y与之对应,故函数的定义域中只含有一个元素,则值域也只含有一个元素,④正确.
①③④
[例3] (湘教版必修第一册P67例3)已知定义域为R的函数f(x)=x+1和g(x)=x2,计算下列各式:
(1)f(2)+g(3);
【解】 (1)f(2)+g(3)=(2+1)+32=3+9=12.
(2)f(a2)-g(a);
【解】 (2)f(a2)-g(a)=(a2+1)-a2=1.
题型三　求函数值
(3)f(f(f(0))).
【解】 (3)因为f(0)=0+1=1,
所以f(f(0))=f(1)=1+1=2,
从而f(f(f(0)))=f(2)=2+1=3.
·解题策略·
求函数值的方法
(1)已知f(x)的表达式时,只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.
(2)已知f(x)与g(x),求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.
6
[典例] 试构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式y=10(1+x)2来描述.
【解】 若限制x的取值范围,例如x∈{x|0某地“桃花节”的观赏人数逐年增加,据有关部门统计,2025年约有10万人次,设观赏人数的年平均增长率为x,2027年观赏人数为y万,则y=10(1+x)2.其中x的取值范围是{x|0培优拓展　构建函数关系的问题情境
·反思总结·
由函数关系构建问题情境的策略
(1)分析条件中的函数解析式,确定其函数类型、定义域、值域、对应关系.
(2)从现实生活中寻找和构建合适的问题情境,必要时,可适当限制x的取值
范围.
(3)既要描述情境,又要描述情境中的定义域、值域和对应关系.
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