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2024-2025 学年四川省泸州市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 3 + 2 1 = 0 在 轴上的截距为( )
A. 12 B.
1
2 C. 1 D.
1
3
2.抛物线 2 = 8 的焦点坐标是( )
A. ( 4,0) B. (0, 4) C. ( 2,0) D. (0, 2)
3.公差不为零的等差数列{ }的首项为 1， 3 = 3，则{ }的公差为( )
A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
4.如图，空间四边形 中， = ， = ， = ，且 = 2 ， = ，则 等于( )
A. 2 + 2 + 13 3 2 B.
1
2 +
1
2
12
C. 2 + 1 + 13 2 2 D.
1 2 1
2 3 + 2
5.已知随机变量 ～ ( , 2)， 1～ (6, )，且 ( ≥ 3) = 2 . ( ) = ( )，则 =( )
A. 16 B.
1 1 1
4 C. 3 D. 2
6.本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了 100 名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成
绩都在 50 分至 100 分之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示，则
( )
A.图中 的值为 0.020
B.估计样本数据的众数值为 90
C.估计样本数据的第 80%分位数为 95
D.估计样本数据的平均数大于中位数
7.已知直线 ：3 + 6 = 0 与圆 ： 2 + 2 2 4 = 0 相交于 ， 两点，则△ 的面积为( )
A. 52 B. 5 C. 4 D. 2
8.有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30%，二厂生产的占 50%，三厂生产的占 20%.又知
这三个厂的产品次品率分别为 2%，1%，1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是( )
A. 0.002 B. 0.003 C. 0.013 D. 0.04
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9
2 2
.过双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的一个焦点的直线 ： 2 5 = 0 与 的一条渐近线平行，且与
交于点 ，则( )
A. 5的实轴长为 2 5 B. 的离心率为 2
C. 5到 的右焦点的距离为 4 D. 的一个顶点坐标为(0, 5)
10.已知函数 ( ) = 3 3 2 + (3 ) + ，则( )
A.当 = 0 时，直线 = 1 是曲线 = ( )的一条切线
B.当 < 0 时，函数 ( )有极值点
C.若 ( )有三个不同零点 ， ， ，则 + + = 3
D.若直线 = ( 1) + 1 与曲线 = ( )有三个不同的交点，则 + > 0
11.( 5 + 2)2 +1( ∈ )的整数部分为 ，小数部分为 ，则( )
A.数列{ + }是等比数列 B. ( + ) = 1
C.数列{ }是递增数列 D.整数 的个位数可以是 6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.从 2，4，6，8 中任取 2 个数字，从 1，3，5 中任取 1 个数字，共可组成无重复数字的三位数的个数
______(用具体数字作答)．
13.函数 = + 2 在 上是增函数，则 的取值范围是______．
14 100.已知三棱锥 的顶点都在表面积为 9 的球面上， = 1, = 3, = 2，则三棱锥
体积的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知数列{ }的前 项和为 ，且 1 = 1, +1 = + 1( ∈ )．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)设 = log4 +1，求数列{ }的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
如图，三棱柱 1 1 1中， = = 1 = 1 ， 是 的中点， 1 ⊥ ．
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(1)证明： 1 ⊥ ；
(2)若点 1到平面
1
的距离是棱 长度的2，求平面 1 1 与平面 1 1 1夹角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
甲、乙两人参加投篮比赛活动，比赛规则如下：投中者得 1 分且下一轮继续投篮，未投中者对方得 1 分且
4 2
下一轮由对方投篮.已知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别为5 , 3，且命中与否相互独立，通过抽签决定首
轮投篮方，用 表示第 轮为甲投篮，用 表示甲积 分( ∈ )，用 表示事件发生的概率，若总共投篮两轮．
(1)求 ( 2| 2)；
(2)求甲得分 的分布列及数学期望．
18.(本小题 17 分)
3 13设椭圆 的两个焦点坐标分别为( 3, 0), ( 3, 0)，且过点( 2 , 4 )．
(1)求 的方程；
(2) ( 4已知 3 , 0)，过点 (3,0)的直线与 交于 ， 两点，直线 与 交于点 (异于 )．
①证明：| | = | |；
△ ②若点 是 的外心，求 △ | |2的最大值．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = (1 + )， ′( )为 ( )的导函数．
(1)若 < 0，讨论 ( )在(1, + ∞)上的极值点个数；
(2) ′( ) 5设函数 ( ) = ，若 ( ) ≥ 2恒成立．
①求 的取值范围；
②设函数 ( )的零点为 0， ′( )的极小值点为 1，求证： 0 > 1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.108
13.[2, + ∞)
14. 32
15.(1)当 = 1 时， 2 = 1 + 1 = 1 + 1 = 2，
当 ≥ 2 时，由 +1 = + 1，可得 = 1 + 1，
相减可得 +1 = 1 = ，即 +1 = 2 ，
上式对 = 1 也成立，
故{ }是首项为 1，公比为 2 的等比数列，
所以 = 1 1 = 2 1；
(2) = log4 1
1
+1 = 2 2 ，
1
所以 = 2 [(2
1 + 22 + + 2 ) (1 + 2 + + )] = 1 [ 2(1 2 ) (1+ )2 1 2 2 ] = 2
( +1)4 1．
16.(1)证明：因为 是 中点， = = 1 = 1 ，
所以 ⊥ ， 1 ⊥ ，
又 1 ⊥ ， ∩ 1 = ， 1， 平面 1 ，
所以 ⊥平面 1 ，
又 1 平面 1 ，所以 ⊥ 1 ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，
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所以 1 ⊥平面 ，
而 平面 ，所以 1 ⊥ ；
(2)由(1)知以 为原点， ， ， 1所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ，如图，
设 = 2 1，则点 1到平面 的距离为 1 = 2 = 1，
由已知得△ △ 1 ，从而 = 1 = 1，
则 (0, 1,0)， (1,0,0)， (0,1,0)， 1(0,0,1)，
所以 1 1 = = ( 1, 1,0)， 1 = (0,1, 1)，
设平面 1 1 的一个法向量是 = ( , , )，
⊥ = = 0
则 1 1 1 1
，则
1 ⊥ 1
，
= = 0
取 = 1，则 = (1, 1, 1)，
易知平面 1 1 1的一个法向量是 = (0,0,1)，
cos < , >= 1 3| || | = 3 = 3 ，
所以平面 1 1 与平面 1 1
3
1夹角的余弦值为 ．3
17.(1)由题意， 2| 2表示第 2 轮甲投篮的情况下甲积 2 分，
要使第 2 轮甲投篮，则第 1 轮甲投篮且投中，或第 1 轮乙投篮且未投中，显然两种情况甲均积 1 分，
4
所以要使第 2 轮甲积 2 分，则甲必投中，故 ( 2| 2) = 5；
(2)由题设 = 0，1，2，
( = 0) = 1 × (1 4 ) × 2 + 1 × 2 2 132 5 3 2 3 × 3 = 45，
( = 1) = 1 4 4 12 × 5 × (1 5 ) + 2 × (1
4 ) × (1 2 ) + 1 × 2 × (1 2 ) + 1 × (1 2 ) × (1 4 ) = 585 3 2 3 3 2 3 5 225，
( = 2) = 1 × 42 5 ×
4 1
5 + 2 × (1
2
3 ) ×
4
5 =
34
75，
综上， 的分布列如下：
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0 1 2
13 58 34
45 225 75
( ) = 0 × 1345 + 1 ×
58 34 262
225 + 2 × 75 = 225．
2 218.(1)设椭圆标准方程为
2 +

2 = 1( > > 0)，
因为椭圆 的两个焦点坐标分别为( 3, 0), ( 3, 0)，且过点( 3 13 ，2 , 4 )
2 2 = 3
所以 3 13 ，
4 2 + 16 2 = 1
= 2
解得 = 1，
2
则椭圆方程为
4 +
2 = 1；
(2)①证明：因为过点 (3,0)的直线与 交于 ， 两点，直线 与 交于点 (异于 )，
设直线 的方程为 = + 3， ( 1, 1)、 ( 2, 2)，
2 + 2
联立 4 = 1，消去 并整理得( 2 + 4) 2 + 6 + 5 = 0，
= + 3
此时 = 36 2 20( 2 + 4) = 16 2 80 > 0，
解得 > 5或 < 5，
6
由韦达定理得 1 + 2 = 2+4， 1 2 =
5
2+4，
1 2
此时 = 4，
= 4，1 3 2 3
+ 4 1 2 2 1 ( 1+ 2)
则 + = 1 + 2 = 3 4 4 4 41 3 2 3 ( 1 3)( 2 3)
( 1 +3) 2 + ( +3)
4( 52 1 3 1 + 2) 2 1 2 + 3( 1 + 2)=
( 4
=
1 3 )(
4
2 3) (
4
1 3)( 2
4
3)
2 5 +5 6 10 10
= 2+4 3 2+4 = 2+4 2+44 4 4 4 = 0，( 1 3)( 2 3) ( 1 3)( 2 3)
所以 = ，
则 与 关于 轴对称，
此时点 与点 关于 轴对称，
故| | = | |；
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②由点 与点 关于 轴对称，
可得 ( 2, 2)，
1+ 2 = 1+3+ 2+3 2 2 = 3 + 2 ( 1 + 2) = 3 +
6 122 2+4 = 2+4，
1+ 2
2 =
3
2+4，
( 12 3 所以线段 的中点为 2+4 , 2+4 )，
12 3 因为线段 的垂直平分线为 = ( 2+4 ) + 2+4，
又线段 的垂直平分线为 轴，
所以 = 0，
9
解得 = 2+4，
9
即 ( 2+4 , 0)，
2
所以| |2 = (3 9 2 3 +3 2 2+4 ) = ( 2 ，+4 )
2
1 |
9
2 3|
3 +3
1 | 2
= +4 = 1 + 2 | | +4
|
△ 2 2 2 1 21+ 1+ 2
= 1 ( 3
2+3 2) 16 80 = ( 3
2+3 ) 2
2 5 6( 2+1) 2 5
2 2+4 ( 2+4)2 2+4 2+4 = ( 2 ，+4)2
6( 2+1) 2 5
此时 △ = (
2+4)2 2 2
| |2 2 =
2 53 ( 2+1) =
2 5 ，
3 +3 2 3 ( 2( ) +1)
2
2+4
令 = 2 5， > 0，
可得 2 = + 5，
△ 2 2 5 2 2 1 2 1 6
所以 | |2 = 3 ( 2+1)2 = 3 ( +6)2 = 3 36 ≤ = + +12 3
，
2 36 18 +12
当且仅当 = 36 ，即 = 6， =± 11时，等号成立．

则 △ 6| |2的最大值为 ．18
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19.(1)根据题设导函数 ′( ) = (1 + + )

，令函数 ( ) = 1 + + ，那么导函数 ′( ) =
1
(1 )，
由 < 0 且 > 1，那么导函数 ′( ) < 0，因此函数 ( )在(1, + ∞)上单调递减，那么 ( ) < (1) = 1 + ，
若 ≤ 1，那么 ( ) < (1) ≤ 0，因此导函数 ′( ) < 0 在(1, + ∞)上恒成立，此时函数 ( )在(1, + ∞)
上单调递减，故无极值点，
若 1 < < 0 ，那么 (1) = 1 + > 0，且 趋向+∞， → 0 ， → ∞，即 ( ) → ∞，
因此存在 0 ∈ (1, + ∞)，使 ( 0) = 0，那么 > 0时， ( ) < 0，1 < < 0时， ( ) > 0，
因此在( 0, + ∞)上 ′( ) < 0， ( )在( 0, + ∞)上单调递减，在(1, 0)上 ′( ) > 0， ( )在(1, 0)上单调
递增，
此时函数 ( )在(1, + ∞)上无极小值点，有 1 个极大值点．
综上所述， 1 < < 0 时，函数 ( )在(1, + ∞)上有 1 个极大值点，无极小值点， ≤ 1 时，函数 ( )
在(1, + ∞)上无极值点．
(2) ①根据题设，可得函数 ( ) = 1 + + ，显然 = 0 时不合题设，
5
当 < 0 时， 趋向+∞， → 0
， → ∞，即 ( ) → ∞，不符合 ( ) ≥ 2，
因此 > 0，且导函数 ′( ) = 1 (1 )，
因此导函数 ′( ) > 0 > 1，即 ( )在(1, + ∞)上单调递增，导函数 ′( ) < 0 0 < < 1，
即 ( )在(0,1)上单调递减，
因此函数 ( ) ≥ (1) = 1 + ≥ 52 ≥
3
2，即 ∈ [
3
2 , + ∞)．
2
②证明：根据导函数 ′( ) = (1 + + )，令 ( ) = ′( )，那么导函数 ′( ) =
(1 + 2 +
)，
2
令函数 ( ) = 1 + 2

2 +
3 2 2 ( 2 +2)
且 > 0、 ≥ 2，那么导函数 ′( ) = 2 + 3 = 3 > 0，
因此函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增，那么 ( 12 ) = 1 2 ≤ 1 2 2 < 0， (1) = 1 + > 0，
因此存在 ∈ ( 12 2 , 1)使 ( 2) = 0，
( ) > 0，即 ′( ) > 0，有 > 2， ( ) < 0，即 ′( ) < 0，有 0 < < 2，
所以 ( ) = ′( )在(0, 2)上单调递减，在( 2, + ∞)上单调递增，
所以 2时 ( ) = ′( )
1
的极小值点，因此 1 = 2 ∈ ( 2 , 1)，
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= 3 ( ) ≥ 5 1 + 3 + 3 ≥ 5 1 + ≥ 1 由①，当 2有 2，即 2 2 2，整理得 ，则 + ≥ ，
所以 ( ) ≥ ( ) = 1(1 + 1 + 1) ≥
1(1 + ) > 0，即 ′( ) > 0
1
所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，由 ( 1) = 1 +
2

2
2
+ 1 = 0，即 1 + 1 = ，
1 1
2
1 1

所以 ( 1) = 1(1 + 1) =
1
(
1
2) < 0 = ( 0)，1 1
综上， 0 > 1．
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