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2024-2025 学年江西省赣州市文清外国语学校艺术班高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 5.复数 2的共轭复数是( )
A. 2 + B. 2 C. 2 + D. 2
2.已知 ， 是不同的平面， ， 是不同的直线，下列命题中不正确的是( )
A.若 // ， ∩ = ，则 // B.若 // ， ⊥ ，则 ⊥
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 ⊥ ， ，则 ⊥
3.若棱长为 2 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. 12 B. 24 C. 36 D. 144
4.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为( )
A. 1 2 1 23 B. 3 C. 4 D. 9
5.某高校共有本科生 1000 人，硕士生 200 人，博士生 20 人申请报名做中国航展的志愿者，现用分层随机
抽样方法从中抽取一批志愿者，若抽取的博士生是 5 人，则从该高校抽取的志愿者总人数为( )
A. 265 人 B. 285 人 C. 305 人 D. 325 人
6.总体由编号为 01，02，…，39，40 的 40 个个体组成．利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是
从随机数表第 1 行的第 6 列和第 7 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号
为( )
50 44 66 44 21 66 06 58 05 62 61 65 54 35 02 42 35 48 96 32 14 52 41 52 48
22 66 22 15 86 26 63 75 41 99 58 42 36 72 24 58 37 52 18 51 03 37 18 39 11
A. 23 B. 21 C. 35 D. 32
7.从装有 3 个红球和 3 个黑球的口袋内任取 3 球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.至少一个红球和都是红球 B.至少一个黑球和都是红球
C.至少一个黑球和至少一个红球 D.恰有一个红球和恰有一个黑球
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.已知向量 = ( 1,0,2)， = (2, 3,0)， = (4,1, 5)，则下列结论正确的是( )
A. + + = (5, 2, 3) B. 2 + 3 = (12,0, 11)
C. 2 = 2 D. | + | = 26
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9.在空间直角坐标系 中，给出以下结论：其中正确的是( )
A.点 (1, 3,4)关于原点的对称点的坐标为( 1, 3, 4)
B.点 ( 1,2,3)关于 轴对称的点的坐标是(1, 2, 3)
C.点 ( 1,2,3)关于 平面对称的点的坐标是( 1, 2,3)
D.已知点 ( 3,1,5)与点 (4,3,1) 1，则 的中点坐标是( 2 , 2,3)
10.△ 的内角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，下列说法中正确的是( )
A.若 > ，则 >
B.若 2 + 2 2 > 0，则△ 是锐角三角形
C.若 + = ，则△ 是等腰三角形
D. 若 = = ，则△ 是等边三角形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
11.已知空间向量 = (6,2,1)， = (2, , 3)，若( ) ⊥ ，则 = ______．
12.已知事件 与 相互独立， ( ) = 0.6， ( ) = 0.42，则 ( + ) = ______．
13.已知 为虚数单位，若复数 满足| 4 | = 2，则| 1|的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题 13 分)
(1)已知圆锥的母线长是 2，侧面积是 2 ，求该圆锥的高？
(2)已知圆台的上底面半径为 2，下底面半径为 4，母线长为 3，求它的体积？
15.(本小题 15 分)
在△ ABC 中， 2 + 2 62 bc =
2．
(Ⅰ)求 cosA 的值；
(Ⅱ)若 = 2 ， = 6，求 的值．
16.(本小题 15 分)
某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职工，根据这 50 名职工对该部门的评
分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50), [50,60), . . . , [80,90), [90,100]
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(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率；
(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人评分都在[40,50)的概率．
17.(本小题 17 分)
如图，在长方体 1 1 1 1中，底面 是边长为 2 的正方形， 1 = 3， 、 分别为 1、 1
上的点，且 1 = 2 ， = 2 1E.
(1)求证： 1 //平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 1 与平面 夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10：10 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获
胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 ，乙发球时甲得分的概率
2
为5，各球的结果相互独立.已知在某局双方 10：10 平后，甲先发球．
(1) 7若两人又打了 2 个球该局比赛结束的概率为15，求 的值；
(2)在(1)的条件下，求两人又打了 4 个球且甲获胜的概率．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.16
12.0.88
13.[ 17 2, 17 + 2]
14. 3 28 5； 3 ．
15. 6解：(Ⅰ) ∵在△ 中， 2 + 2 = 2 + 2 ，
2+ 2 2
由余弦定理 = 2 ，
6
∴ = 2
6
2 = 4 ．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，0 < < 2，
∴ = 1 cos2 = 104 ．
∵ = 2 ，
∴ = 2 = 2 = 2 × 10 6 154 × 4 = 4 ，
∵ = 6, = 又 ，
6× 10
∴ = 4 = = 2．15
4
16.解：(1)因为(0.004 + + 0.018 + 0.022 × 2 + 0.028) × 10 = 1，
所以 = 0.006．
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(2)由所给频率分布直方图知，
50 名受访职工评分不低于 80 的频率为(0.022 + 0.018) × 10 = 0.4．
所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4．
(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50 × 0.006 × 10 = 3(人)，记为 1， 2， 3；
受访职工中评分在[40,50)的有：50 × 0.004 × 10 = 2(人)，记为 1， 2，
从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人，所有可能的结果共有 10 种，
它们是 = {( 1, 2)，( 1, 3)，( 2, 3)，( 1, 1)，( 1, 2)，( 2, 1)，( 2, 2)，( 3, 1)，( 3, 2)，( 1, 2)}．
又因为所抽取 2 人的评分都在[40,50)的结果有 1 种，即( 1, 2)，
1
故所求的概率为 = 10．
17.(1)证明：在长方体 1 1 1 1中，棱 1上取点 ，使得 = 2 1 ，连接 、 ，如图所示：
因为 1/ / 1， 1 = 1， 、 分别为 1、 1上的点，且 1 = 2 ， = 2 1 ，
= 1所以 3 1 =
1
3 1 = 1 ，且 // 1 ，
所以四边形 1 为平行四边形，
故 AG// 1 ， = 1 ，
因为 为棱 1上一点 = 2 1 ，
故 = 23
2
1 = 3 1 = ，
因为 1// 1， 1 = 1，故 CE// ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 // ， = ，
因为 // ， = ，故 AB// ， = ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 // ，故 BE// 1 ，
因为 1 平面 ， 平面 ，
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所以 1 //平面 ．
(2)在长方体 1 1 1 1中，连接 交 于点 ，连接 、 ，取线段 的中点 ，连接 ，
过点 在平面 内作 ⊥ ，垂足为点 ，如图所示：
因为四边形 为正方形，所以 ⊥ ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， 、 平面 1 1 ，
所以 ⊥平面 1 1 ，
因为 平面 1 1 ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
故直线 与平面 所成角为∠ ，
1 1 2 1 1 1 1
因为 = 2 = 2 × 3 1 = 3 1 = 3 × 3 = 1， = 3 1 = 3 × 3 = 1，
且 // ，
所以四边形 为平行四边形，故 = = 2 2，
因为 1 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ 1，即 ⊥ 1，
所以 = 2 + 2 = 1+ 8 = 3，
同理可得 = 2 + 2 = 2+ 4 = 6， = 2 + 2 = 1 + 2 = 3，
所以 2 + 2 = 2，
故 ⊥ ，即点 与点 重合，
所以 sin∠ = =
3，
3
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 3．
3
(3)在长方体 1 1 1 1中，连接 ，过点 在平面 内作 ⊥ ，连接 ，如图所示：
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由(1)知 1 // ，故 D 1 ∈平面 ，
故平面 1 与平面 夹角即为二面角 的平面角或其补角，
由(2)可知， ⊥ ，
又因为 ⊥平面 1 1 ， 平面 1 1 ，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
所以二面角 的平面角为∠ ，
因为 = 12 =
1 2 2
2 × 2 2 = 2， = + = 2
2 + 22 = 2 2， = 6，
所以 2 + 2 = 2，故 ⊥ ，
2× 6 6
由等面积法可得 = = 2 2 = ，2
因为 ⊥平面 ， 平面 ，故 ⊥ ，且 = 3，
故 = 2 + 2 = 3 2，2
6

所以 cos∠ = =
2 = 33 2 3
2
因此平面 1 与平面 夹角的余弦值为
3．
3
18.(1)若两人又打了 2 个球该局比赛结束，则有 2 种情况：甲连赢 2 个球或乙连赢 2 个球，
2
则 × 5+ (1 ) × (1
2 7
5 ) = 15，
2
解得 = 3；
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(2)由(1) 2可知， = 3，
若两人又打了 4 个球且甲获胜，则前 2 个球甲和乙各赢 1 个，第 3 个球和第 4 个球都是甲赢，
[ 2所以所求概率为 3 × (1
2
5 ) + (1
2
3 ) ×
2 ] × 25 3 ×
2 32
5 = 225．
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