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2024-2025 学年吉林省白城实验高级中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数 ( ) = 2 ( 6 )

的最小正周期为 ，则函数 = ( )在区间[0, 2 ]上的最大值和最小值分别是
( )
A. 2 3 3和 2 B. 2 和 0 C. 2 和 1 D. 2 和 2
2.已知实数 、 满足 > > 0 2，且 + = 2，则 +3 +
1
的最小值为( )
A. 3 + 2 2 B. 3+2 24 C. 3 2 2 D.
3 2 2
4
3.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图、90 后从事
互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( )
(注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980 1989 年之间出生，80 前指 1979 年及以前出生)
A.互联网行业从业人员中 90 后占一半以上
B. 90 后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过 90 后总人数的 20%
C.互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多
D.互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多
4.若函数 ( ) = 2 ( ) 在区间[ 5 , 4 ]上存在最小值为 2，则非零实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 2] B. [6, + ∞)
C. ( ∞, 2] ∪ [ 5 152 , + ∞) D. ( ∞, 2 ] ∪ [6, + ∞)
5 1.函数 ( ) = 1 + 1 的图象与函数 ( ) = 2 + 1( 2 ≤ ≤ 4)的图象所有交点的横坐标之和等于
( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
6.若方程 2 2 lg(2 2 ) = 0 有一个正根和一个负根，则实数 的取值范围是( )
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A. > 1 1 1 1或 < 2 B. 2 < < 1 C. > 2 D. < 1
7.已知集合 是由某些正整数组成的集合，且满足：若 ∈ ，则当且仅当 = + (其中正整数 、 ∈
且 ≠ )或 = + (其中正整数 、 且 ≠ ).现有如下两个命题：①5 ∈ ；②集合{ | = 3 , ∈
} .则下列判断正确的是( )
A.①对②对 B.①对②错 C.①错②对 D.①错②错
8.已知函数 ( ) = 2 + 4 2 3, ( ) = 2
+ ，若对任意 1 ∈ [1,2]，总存在 2 ∈ [2,3]，使得 ( 1) ≥ ( 2)，
则实数 的取值范围是( )
A. ≤ 7 B. ≤ 6 C. ≤ 3 D. ≤ 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 2 2| |.已知函数 ( ) = 2 +1 + ，则( )
A.函数 ( )为单调减函数
B. ( 23) + ( 13) > 0
2
C.若 > 0，使得 ( ) ≥ ( ) + 成立，则 ≤ 4
D.函数 ( ) = 2 2 + 1( 19 ≤ ≤ 19 且 ≠ 0)的与函数 = ( )的所有交点纵坐标之和为 20
10.已知实数 ， 满足 + + = 0，则下列结论正确的有( )
A.若 > 1，则 > 1
B. + + 2 的最小值为 2
C.若 < 1，则 + 4 + 9 ≤ 0
D. > 0 1若 ，则 24 ( + 1) + +
1
的最小值为 1
11.已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示，
下列说法正确的是( )
A.函数 = ( )的最小正周期为 2
B. 5 函数 = ( )的图象关于直线 = 12对称
C. 2 函数 = ( )在[ 3 , 6 ]单调递减
D. 函数 = ( )的图象关于( 6 , 0)对称
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.已知函数 ( ) = 2 + + 4，若 ∈ [ 2,2]且满足 ( ) ≥ 0.则实数 的取值范围为______．
13 1 1.已知 ( ) = | | | + | + 2，则关于 的方程
2( ) + ( ) + = 0 有 6 个互不相等的实数解的充
要条件为 ．
14.如图，等边三角形 的边长为 2，以 为圆心，1 为半径作圆分别交 ， 边于
， ，再以点 为圆心， 的长为半径作圆交 边于 ，连接 ， ，那么图中阴影
部分的面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 2 (2 6 ) + ， 为常数．
(1)求函数 ( )的最小正周期；
(2)求函数 ( )的单调递增区间；
(3) ∈ [0, 若 2 ]时， ( )的最小值为 2，求 的值．
16.(本小题 15 分)
某险种的基本保费为 (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度
出险次数的关联如下：
上年度出险次
0 1 2 3 4 ≥ 5
数
保费 0.85 1.25 1.5 1.75 2
随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥ 5
频数 60 50 30 30 20 10
( )记 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求 ( )的估计值；
(Ⅱ)记 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”.求 ( )的估计值；
(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费估计值．
17.(本小题 15 分)
在信号处理技术中，函数的调和零点至关重要，它用于检测系统的稳定性与性能.定义：若集合 =
{ 1 | ( ) = 0, ≠ 0}
1
，称 为函数 ( )的一个调和零点， ( )的所有调和零点之和记为 ( )， ( )表示
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集合 中的所有元素的个数．
已知 ( ) = | 2 2 + 2 2 5| ．
(1)当 = 1， = 0 时，求 ( )的值；
(2)若 ( ) = 3， ( ) = 0，求 、 的值．
18.(本小题 17 分)
若函数 = ( )对定义域内的每一个值 1，在其定义域内都存在唯一的 2，使得 ( 1) ( 2) = 1 成立，则称
该函数为“依赖函数”．
(1)判断函数 ( ) = 是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2)若函数 ( ) = 2 1在定义域[ , ]( > 0)上为“依赖函数”，求 的取值范围；
(3)已知函数 ( ) = ( )2( ≥ 43 )
4 4
在定义域[ 3 , 4]上为“依赖函数”，若存在实数 ∈ [ 3 , 4]，使得对任意
的 ∈ ，不等式 ( ) ≥ 2 + ( ) + 4 都成立，求实数 的最大值．
19.(本小题 17 分)
+ 1 2
已知函数 ( ) = 2+1是定义在[ 1,1]上的奇函数，且 ( 2 ) = 5．
(1)判断函数 ( )在[ 1,1]上的单调性，并用定义证明；
(2)设 ( ) = + 5 2 ( > 0)，若对于任意的 1 ∈ [ 1,1]，总存在 2 ∈ [0,1]，使得 ( 1) ≤ ( 2)成立，
求正实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.[ 4,4]
13. 2 < < 0 且 = 0
14. 12 +
3 3
2 4
15.解：(1)函数 ( ) = 2 (2 6 ) + ，
2
所以函数的最小正周期为 2 = ；
(2) 令 2 + 2 ≤ 2

6 ≤ 2 + 2 ( ∈ )，
整理，得 6 + ≤ ≤ +

3 ( ∈ )，

所以函数的单调递增区间为[ 6 + , +

3 ]( ∈ )．
(3)因为 ∈ [0, 2 ]，所以 2 6 ∈ [ 6 ,
5
6 ]，
sin(2 ) ∈ [ 1所以 6 2 , 1]，所以 ( ) ∈ [ 1 + , 2 + ]，
因为函数的最小值为 2，所以 1 + = 2，
解得 = 1．
16.解：( )记 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．
事件 的人数为：60 + 50 = 110，该险种的 200 名续保，
( ) 110 11的估计值为：200 = 20；
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(Ⅱ)记 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”．
事件 的人数为：30 + 30 = 60， ( ) 60 3的估计值为：200 = 10；
(Ⅲ)续保人本年度的平均保费估计值为：
0.85 × 60+ × 50+ 1.25 × 30+ 1.5 × 30+ 1.75 × 20+ 2 × 10
= 200
= 1.1925 ．
17.(1)因为 ( ) = | 2 2 + 2 2 5| ，
所以当 = 1， = 0 时， ( ) = | 2 2 3|，
令 ( ) = 0，解得 = 1 或 = 3，
= { 1, 1所以 3 }，
所以则 ( ) = 2；
(2)根据 ( ) = 3 可知，
(ⅰ) ( ) = 0 有 3 个零点，
令 = 2 2 + 2 2 5，可知 = (2 )2 4(2 2 5) = 4(5 2) > 0，即 5 2 > 0，
显然 ( ) = 0 的 3 个零点中必有 3 = ，另外两个零点分别为 1、 2，
当 3 = 时， = 5 2，
因为 ( ) = 0
1 1 1 + 1
，所以 +
1 2
1
+
2
= 0，即 + = 0，3 1 2
将 = 5 2代入 ( ) = 0 中，得 2 2 + 3 2 10 = 0，
由韦达定理可得 21 + 2 = 2 ， 1 2 = 3 10，
1+ 2 + 1 2 1所以 = 0，即为3 2 10 + = 0，1 2
整理可得 5 2 10 = 0，
解得 =± 2， = 3，
所以 =± 2， = 3；
(ⅱ) ( ) = 0 有 4 个零点，且有一个为 0 时，则 = |2 2 5|，
方程| 2 2 + 2 2 5| = |2 2 5|，
当 2 2 + 2 2 5 = 2 2 5 时，解得 4 = 0 或 3 = 2 ，
当 2 2 + 2 2 5 = 5 2 2时，得 2 2 + 4 2 10 = 0，
= 4 2 4(4 2 10) = 4(3 2 10) > 0，则 3 2 10 < 0，
由韦达定理可得 1 + 2 = 2 ， 1 22 = 4 10，
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1 1
因为 + +
1
= 0
+ 1
，即 1 2 + = 0，1 2 3 1 2
2 + 1所以4 2 10 2 = 0，
整理可得 8 2 10 = 0，
解得 =± 5 52 ， = 2．
5
综上所述， =± 2
=±
或 25 ． = 3 = 2
18. 解：(1)对于函数 ( ) = 的定义域 内存在 1 = 6，则 ( 2) = 2 无解，
故 ( ) = 不是“依赖函数”；
(2)因为 ( ) = 2 1在[ , ]递增，故 ( ) ( ) = 1，即2 12 1 = 1， + = 2，
由 > > 0，故 = 2 > > 0，得 0 < < 1，
从而 = (2 ) = 1 2 + 1 在(0,1)上单调递增，故 ∈ (0,1)；
(3) 4 4①若3 ≤ < 4，故 ( ) = ( )
2在[ 3 , 4]上最小值 0，此时不存在 2，舍去；
②若 ≥ 4 故 ( ) = ( )2 4 4在[ 3 , 4]上单调递减，从而 ( 3 ) (4) = 1，解得 = 1(舍)或 =
13
3，
4
从而，存在 ∈ [ 3 , 4]，使得对任意的 ∈
13
，有不等式( )2 ≥ 23 + ( ) + 4 都成立，
2 + + 2 ( + 26 ) + 133即 2 23 9 ≥ 0 恒成立，由 = 4[ ( +
26 ) + 1333 9 ] ≤ 0，
得 4( + 26 2 532 4 26 5323 ) ≤ 3 + 9 ，由 ∈ [ 3 , 4]，可得 4( + 3 ) ≤ 3 + 9 ，
532 4 4 532 145
又 = 3 + 9 在 ∈ [ 3 , 4]单调递减，故当 = 3时，(3 + 9 ) = 3 ，
从而 4( + 26 145 413 ) ≤ 3 ，解得 ≤ 12，
41
故实数 的最大值为12．
19.解：(1)由题可知，函数 ( ) = + 2+1是定义在[ 1,1]上的奇函数，
则 (0) = = 0，

1
又由 ( 2 ) =
2 2
5，则
2
1 = 5，
4+1
= 0
解可得 = 1；
函数 ( ) = 2+1在[ 1,1]上单调递增，
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证明如下：
任取 1， 2 ∈ [ 1,1]，且 1 < 2，
( ) ( ) = 1 2 = ( 2 1)( 1 2 1)1 2 2 2 2 2 ，1+1 2+1 ( 1+1)( 2+1)
∵ 1， 2 ∈ [ 1,1]，且 1 < 2，
∴ 2 1 > 0, 2 21 2 < 1, ( 1 + 1)( 2 + 1) > 0，∴ 1 2 1 < 0，
于是 ( 1) ( 2) < 0， ( 1) < ( 2)，
所以 ( ) = 2+1在[ 1,1]上单调递增；
(2)由题意，任意的 1 ∈ [ 1,1]，总存在 2 ∈ [0,1]，使得 ( 1) ≤ ( 2)成立．
转化为存在 2 ∈ [0,1]，使得 ( ) ≤ ( 2)，即 ( ) ≤ ( ) ．
由(1) 知函数 ( ) = 2+1在[ 1,1]上单调递增，
则 ( ) = (1) =
1
2，
又由 > 0，则 ( ) = + 5 2 在[0,1]上单调递增，则 ( ) = (1) = 5 ；
1
2 ≤ 5 0 < ≤ 9 9故有 2 .即正实数 的取值范围为 0 < ≤ ． > 0 2
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