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1.5
全称量词与存在量词
复习
集合
且
的充分不必要条件
的既不充分也不必要条件
的必要条件
是的充分条件
是的必要不充分条件
若条件，以集合的形式出现，即，
是的充要条件
且
且
且
且
小范围大范围
大范围小范围
学习目标
(1)能够使用数学符号写出全称量词命题或存在量词命题
(2)能够判断简单的全称量词命题或存在量词命题的真假。
(3)能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定
(4)能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定
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集合
元素
我们知道,命题是可以判断真假的陈述句,在数学中,我们有时会遇到一些含有变量的陈述句,由于不知道变量代表什么数,无法判断真假,因此它们不是命题,但是,如果在原语句的基础上,用一个短语对变量的取值范围进行限定,就可以使它们成为一个命题,我们把这样的短语称为量词,本节课我们将学习全称量词和存在量词,以及如何正确地对含有一个量词的命题进行否定
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集合
元素
问题1 下列陈述句是命题吗 如果是,它们的真假如何 它们之间有什么联系和区别
（1）;
（2）对所有的;
（3）存在一个;
可以判断真假的陈述句才能叫做命题,明显陈述句(1)中不知道代表什么数,因此无法判断真假;陈述句(2)(3)在开头对的取值范围作出了限定则能够判断出真假,命题(2)为假,命题(3)为真,我们把像“所有”“存在”这样的短语称为量词,我们将学习全称量词和存在量词的相关知识
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集合
元素
问题2 阅读课本第18~19页,回答下列问题:
(1)全称量词的概念和符号表示;
(2)全称量词命题的概念和符号表示;
(3)存在量词的概念和符号表示；
(4)存在量词命题的概念和符号表示
全称量词与存在量词命题
集合
元素
短语“对所有的”、“对任意一个”、“对一切”、“对每一个”、“任给”、“所有的”在逻辑中通常叫全称量词。
1、全称量词定义：
表示：
用符号“”表示
含有全称量词的命题，叫全称量词命题。
表示：
全称命题“对M中任意一个，有p(）”为:“”
2、全称量词命题定义：
全称量词与存在量词命题
集合
元素
短语“存在”、“至少有一个”、“有一个”、“有些”、“有的”、“对某些”在逻辑中通常叫存在量词。
3、存在量词定义：
表示：
用符号“”表示
含有存在量词的命题，叫存在量词命题
表示：
全称命题“存在M中的元素，有p(）”为:“”
4、存在量词命题定义：
全称量词与存在量词命题
集合
元素
例1 判断下列全称量词命题的真假：
(1)所有的素数都是奇数；
；
(3)对任意一个无理数，也是无理数
是无理数，但是是有理数， 所以命题为假.
，所以，命题为真.
2是素数，但是2不是奇数，所以命题为假.
素数，即质数：一个正整数，除了1和自身之外没有其他整数的因数，则成为素数(质数).
全称量词与存在量词命题
集合
元素
例2 判断下列存在量词命题的真假：
(1)方程有整数解；
(2)有一个实数，使；
(3)至少有一个整数，使得为奇数；
(4)是无理数.
当时成立，真命题.
，因此方程无实根.假命题.
当时，仍是无理数，真命题.
，故和必为一奇一偶，其乘积为偶数，假命题.
全称量词与存在量词命题
集合
元素
追问 (1)对给定的全称量词命题,如何判断它的真假
(1)要判定全称量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M
中每个元素x，证明p(x)成立.
要判定全称量词命题“ x∈M，p(x)”是假命题，
只需举出一个反例即可.
全称量词与存在量词命题
集合
元素
追问 (2)对给定的存在量词命题,如何判断它的真假
(2)要判断存在量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，只需要在集合
M中找到一个元素x，使p(x)成立即可.
要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个
元素x，证明p(x)都不成立.
全称量词与存在量词命题的否定
集合
元素
问题3 一般地,对一个命题进行否定,就可以得到一个新的命题,这一新命题称为原命题的否定.原命题和它的否定的真假性是相反的,请尝试写出下列命题的否定,并判断它们的真假:
(1)56是7的倍数;
(2)是7的倍数,
“不是7的倍数”
“56 不是7的倍数”,原命题为真,原命题的否定为假
这样原命题和命题的否定都是假命题
“不是7的倍数”
×
全称量词与存在量词命题的否定
集合
元素
问题4 写出下列命题的否定：
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数；
（3）存在一个实数的绝对值是正数；
（4）有些平行四边形是菱形；
存在一个素数不是奇数
存在一个矩形不是平行四边形
每一个平行四边形都不是菱形
所有实数的绝对值都不是正数
追问：这四个命题是什么类型的命题？
它们的否定是什么类型的命题？
全称量词与存在量词命题的否定
集合
元素
全称量词命题“”
存在量词命题“”
否定
否定
“”
“”

记忆：改量词，
否结论。
注意：范围不变。
全称量词与存在量词命题的否定
原词语 所有的 任意的 是 都是 全是 等于
否定 存在有 某些个 不是 不都是 不全是 不等于
原词语 至少有一个 至多有一个 大于 小于
否定 一个都没有 至少有两个 不大于 （小于等于） 不小于
（大于等于）
全称量词与存在量词命题的否定
集合
元素
例3 (1)命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否定为(　　)
A.存在一个三角形的内角和等于180°
B.所有三角形的内角和都等于180°
C.所有三角形的内角和都不等于180°
D.很多三角形的内角和不等于180°
(2)命题“是奇数”的否定是　　　　　　　　　　　　.
B
不是奇数
根据命题的真假求参数的取值范围
集合
元素
例4 已知命题“”是假命题,求实数的取值范围.
解:因为全称量词命题“”的否定是“”.
由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题是真命题.
由于是开口向上的抛物线,借助二次函数的图象易知,解得或.
所以实数的取值范围是.
根据命题的真假求参数的取值范围
集合
元素
反思感悟 求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称量词命题“”为真的问题,实质就是不等式恒成立问题,通常转化为求函数y的最大值(或最小值),即(或).
(2)对于存在量词命题“”为真的问题,实质就是不等式能成立问题,通常转化为求函数y的最小值(或最大值),即(或).
小结

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