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2024-2025 学年云南省曲靖市陆良县高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |5 > 1}， = {0,2,4,5,7}，则 ∩ =( )
A. {0,2,4} B. {0,2} C. {4,5,7} D. {5,7}
2.已知向量 = (2,1)， = ( 1,5)，则| | =( )
A. 5 B. 25 C. 7 D. 7
3.如图所示，一个水平放置的△ 的斜二测直观图是△ ′ ′ ′，若 ′ ′ = 3， ′ ′ =
′ ′ = 2，则△ 的面积是( )
A. 3
B. 2 3
C. 3 3
D. 4 3
4 .要得到函数 = 2 的图象，只需要将函数 = sin(2 + 3 )的图象( )
A. 向右平移3个单位长度 B.向右平移6个单位长度
C. 向左平移3个单位长度 D.向左平移6个单位长度
5.“ 2 2 ≤ 0”是“0 < < 2”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知 ( )是定义在 上的奇函数，且 ( ) + ( ) + 2 = 1，则 =( )
A. 12 B.
1
2 C. 0 D. 1
7.在直三棱柱 1 1 1中， = 1， ， ， 分别是棱 ， 1 1， 1的中点，则异面直线 与
所成角的余弦值是( )
A. 55 B.
3
5 C.
4 2 5
5 D. 5
8.如图，某河流两边有 ， ， ， (在同一个平面内)四点，已知 ， 两个观
察点在河的南岸，二者间的距离为 10 ，为了测量在河的北.岸 ， 两个目标
点间的距离，某小组测得∠ = 75°，∠ = 120°，∠ = 30°，∠ = 45°
则 ， 两个目标点间的距离为( )
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A. 10 2 B. 5 15 C. 10 153 D. 10 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 = (1 + 2 )(1 3 )，则下列结论正确的是( )
A. 的实部是 5 B. 的虚部为 1
C. | | = 26 D. 在复平面内所对应的点位于第四象限
10.已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A.若 // ， ， ，则 //
B.若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
C.若 // ， // ，则 //
D.若 ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
11.“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与
一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照“赵爽弦图”，用六个全
等的直角三角形和一个小的正六边形拼成一个大正六边形，其中 ， ， ， ，
， 分别是 ， ， ， ， ， 的中点， 是正六边形 的
中心， 是正六边形 内的一动点(包含边界)，| | = 3，则( )
A. = 2 + 53 3
B. = 53
+ 43

C. 的最小值是 3 D. 27的最大值是 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 65° 35° 65° 145° = ______．
13.已知 > 0， > 0，且 2 + = 2 1 8，则 + 的最小值是______．
14.某甜品店推出一款球形创意冰激凌，将冰激凌球放置在特制的巧克力圆台容器中.已知巧克力圆台容器的
上底面圆的半径为 8 厘米，下底面圆的半径为 2 厘米，若该球形创意冰激凌与巧克力圆台容器的内壁及上、
下底面均相切(不考虑巧克力圆台容器的厚度)，则该球形创意冰激凌的体积是______立方厘米．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知幂函数 ( ) = ( 2 2 + 1) 1在(0, + ∞)上单调递增．
(1)求 的值；
(2) ( ) = ( ) + 4若函数 ( )，判断 ( )在[2, + ∞)上的单调性并用定义法证明你的结论．
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16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为菱形，∠ = 60°， ⊥平面 ， = ， ， 分别为 ，
的中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)证明： ⊥平面 ．
17.(本小题 15 分)
已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，△ 的周长为 3 + 2，且 + = 3 22 ．
(1)求 ．
(2)已知△ 的面积为 ．
①求 ， ；
②求△ 的外接圆的半径．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0,0 < < )的部分图象如图所示．
(1)求 ( )的解析式；
(2)求 ( ) 在[ 2 , ]上的值域；
(3)若 ( )在[0, ]上恰有 3 个零点，求 的取值范围．
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19.(本小题 17 分)

公共
定义：两个多面体 1， 2的重合度 = + ，其中 公共是多面体 1， 2的重合部分的体积， 1， 21 2 公共
分别是多面体 1， 2的体积.如图，在三棱柱 1 1 1中， ， 分别是棱 1， 1上的点(不包含端
点)，且 = ，延长 ， ，分别交 1 1， 1 1的延长线于点 ， ．
(1) = 1已知 2 1，且三棱柱 1 1 1的体积为 18．
①求三棱柱 1 1 1与三棱锥 1 重合部分的体积；
②求三棱柱 1 1 1与三棱锥 1 的重合度 ．
(2) 1 若三棱柱 1 1 1与三棱锥 1 的重合度 = 3，求 的值．1
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12
13.9
14.256 3
15.(1)因为幂函数 ( ) = ( 2 2 + 1) 1在(0, + ∞)上单调递增，
所以 2 2 + 1 = 1，且 1 > 0，
所以 = 2；
(2)由(1)可知 ( ) = ，则 ( ) = + 4 ，故 ( )在[2, + ∞)上单调递增；
证明如下：
任取 1， 2 ∈ [2, + ∞)，且 1 < 2，
则 ( 1) ( 2) = +
4 ( 4 ( 1 2)( 1 2 4)1 2 + ) = ，1 2 1 2
因为 1 < 2，所以 1 2 < 0，
因为 1， 2 ∈ [2, + ∞)，所以 1 1 > 4，所以 1 2 4 > 0，
( )( 4)
所以 1 2 1 2 1
< 0，即 ( 1) ( 2) < 0，
2
所以 ( 1) < ( 2)，即 ( )在[2, + ∞)上单调递增．
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16.(1)证明：如图，取直线 的中点 ，连接 ， ，
因为 是 的中点，所以 // ， = 12 ．
又底面 为菱形， 是 的中点，所以 // ， = ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 // ，又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)证明：因为 ⊥ ， ⊥ ，
又 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，又 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ，因为 = = ， 是 的中点，
所以 ⊥ ，又 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ．
17.(1)因为 + = 3 22 ，
由正弦定理得 + = 3 22 ，
因为 + + = 3 + 2 3 2，所以 + 2 = 3 + 2，
得 = 2；
(2) 1①由题意得 △ = 2 = ，则 = 2，
= 2
则有 + = 3 2 = 3，解得 = 2， = 1 或 = 1， = 2；2
2+ 2 2
②由余弦定理得 = 32 = 4，
= 1 cos2 = 7则 4 ，
设△ 4 2 2 14外接圆的半径为 ，由正弦定理得 2 = = 7，得 = 7 ．
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18.(1) 3 由图可知 ( )的最小正周期 = 2 × ( 8 + 8 ) = ，
2 2
又由于 = | |，且 > 0，可得 = = 2，
由 ( 8 ) = 0，可得 (

4 + ) = 0，

可得 4 + = 2 + 2 ( ∈ )
3
，解得 = 2 + 4 ( ∈ )，
又 0 < < ，
可得 = 3 4，
又 (0) = 2 2，可得 (0 + 3 4 ) = 2 2，
可得 = 4，
所以 ( ) = 4 (2 + 3 4 )；
(2)因为 ( ) = 4 (2 + 3 4 )，
由 ∈ [ 2 , ]，可得 2 +
3 ∈ [ 7 , 11 4 4 4 ]，
可得 cos(2 + 3 4 ) ∈ [
2 3
2 , 1]，可得 ( ) = 4 (2 + 4 ) ∈ [ 2 2, 4]，

故 ( )在[ 2 , ]上的值域为[ 2 2, 4]；
(3)由 ∈ [0, ]，可得 2 + 3 3 3 4 ∈ [ 4 , 2 + 4 ]，
因为 ( )在[0, ]上恰有 3 个零点，
7
可得 2 ≤ 2 +
3 9
4 < 2，
11 15 11 15
解得 8 ≤ < 8 ，即 的取值范围为[ 8 , 8 )．
19.(1)设△ 1 1 1的面积为 ，三棱柱 1 1 1的高为 ，则三棱柱 1 1 1的体积 1 = ．
①作 // ，交 1于点 ，连接 ，
因为 平面 ， 平面 ，因此 //平面 ，
因为 / / ，且 = ，因此 // ，
又 平面 ， 平面 ，因此 //平面 ，
又 ∩ = ，因此平面 //平面 ，
因为 = 12 1，因此 为棱 1的中点，
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则三棱柱 1 1
1 1
1的体积 1 1 1 = 2 1 = 9，三棱锥 的体积 = 6 1 = 3．
故三棱柱 1 1 1与三棱锥 1 重合部分的体积 公共 = 1 1 1 + = 9 + 3 = 12．
②因为 // 1 1，因此 // 1 ，因此△ ∽△ 1，

因此 =
1 1 1 1
1
= = ，因此 = ．
1 1 2 1 2
因为 // 1 1， 1 1 平面 1 ， 平面 1 ，因此 / /平面 1 ．
因为平面 ∩平面 1 = ，且 平面 ，
因此 // ，因此 1 1// ，
则△ 1 1 1∽△ 1 ，故 △ 1 = 4 △ 1 1 1 = 4 ，
1 4
从而三棱锥 1 的体积 2 = 3 △ 1 = 3 = 24，

故三棱柱 1 1 1与三棱锥
公共 12 2
1 的重合度 = + =1 2 18+24 12
= 5．
公共
(2) 设 = (0 < < 1)，则 = 1，从而 1 = (1 ) 1，1
故三棱柱 1 1 1的体积 1 1 1 = (1 ) 1，
三棱锥 的体积 = 3 1，
故三棱柱 3 2 1 1 1与三棱锥 1 重合部分的体积 公共 = 1 1 1 + = 3 1．
因为 // 1 1，因此 // 1 ，因此△ ∽△ 1，
= 因此 =
1 1
1 1
= ，因此 = ．1 1
因为 // 1 1， 1 1 平面 1 ， 平面 1 ，因此 / /平面 1 ．
因为平面 ∩平面 1 = ，且 平面 ，
因此 // ，因此 1 1// ，
则△ 1 11 1 1∽△ 1 ，故 △ 1 = 2 △ 1 1 1 = 2 ，
1 1
从而三棱锥 1 的体积 2 = 3 △ 1 = 3 2 1，
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3 2 2 3
故三棱柱 1 1 1与三棱锥 1 的重合度 = 3
1 3 2
+ 1 3 2
= 3 ．
1 3 2 1 3
1 2 +1
1 3 2 = 2
3
= 1因为 3，因此 2 3+1 3，因此 8
3 9 2 + 1 = 0，
因此( 1)(8 2 1) = 0 1 33，解得 = 1 或 = 16 或 =
1+ 33
16 ．
因为 0 < < 1 1+ 33，因此 = 16 ．
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