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2024-2025 学年安徽省滁州市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 = { |2 ≤ < 4}， = { |2 7 < 8 3 }，则 ∪ =( )
A. ( ∞,3) B. [2,3) C. ( ∞,4) D. [2,4)
2 3.复数 = 2 1+ 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.圆( 1)2 + ( 1)2 = 1 上的点到直线 2 = 0 距离的最小值是( )
A. 2 1 B. 1 C. 2 D. 2 + 1
4 .已知函数 ( ) = sin( 4 )，将 ( )的图象向右平移 ( > 0)个单位长度后关于 轴对称，则 的最小值
为( )
A. 4 B.
3
3 C. 2 D. 4
5.设直线 的方程 + + 2 = 0，( ∈ )，则直线 的倾斜角 的取值范围是( )
A. [0, ] B. [ , ] C. [ 4 2 4 , 2 ) ∪ (
, 3 ] D. [ , 3 2 4 4 4 ]
2 2
6.设 1，

2为椭圆 ： 8 + 4 = 1 的两个焦点，点 在 上，若
1 2 = 0，则| 1| | 2| =( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
7.已知空间三点 (0,2,3)， ( 2,1,6)， (1, 1,5)，则△ 的面积为( )
A. 7 3 B. 7 32 C.
7
2 D. 7
8 2 1 . ， 为正实数，且 + 2 = 2，当 +1 + 取最小值时，( )
3的展开式中各项系数的和为( )
A. 27 278 B. 8 C.
1
64 D.
1
64
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若某中学的女生体重 (单位： )与身高 (单位： )具有线性相关关系.根据一组样本数据( , )( =

1,2, …, )，用最小二乘法建立的回归方程为 = 0.75 75.71，则下列结论中正确的是( )
A. 与 具有负线性相关关系

B.回归直线过样本点的中心( , )
C.若该中学某女生身高增加 1 ，则其体重可能增加 0.75
D.若该中学某女生身高为 160 ，则可断定其体重必为 44.29
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10.数列{ }满足 + +1 +1 = ( 1) ( ∈ )，且 1 = 3，数列{ }的前 项和为 ，从{ }的前 2 项中
任取两项，它们的和为奇数的概率为 2 ，则( )
A. 4 = 6 B. 11 + 15 = 2
1
13 C. 12 = 6 D. 2 > 2
11 2 .如图，三棱锥 ， ⊥平面 ， = = 2, ∠ = 3， 为
的中点，点 为三棱锥 外接球球心，则( )
A.当 = 2 2时， ⊥
B.当 = 3时，二面角 大小为6
C.当异面直线 与 所成角为3时， = 6
D.当点 到平面 的距离为 2时， = 2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2
12. 4 + 2 5 + (2 2)3 =______．
13.某校的 5 名团员利用周日到市养老院参加义务劳动.已知 5 名团员中有 3 位女生，2 位男生，活动结束后
5 名团员站成一排拍照留念，若两名男生之间有女生，则排法总数有______种. (用数字作答)
14.不等式 ( + 1) 1 ≤ 0 对任意 ∈ [0,1]恒成立，则实数 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 ， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边，且 + 3 = 0．
(1)求 ；
(2)若 = 2，则△ 的面积为 3，求△ 的周长．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = + 1 + ( 1) ( ∈ )．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)若函数 ( )的最小值为 2，求实数 的值．
17.(本小题 15 分)
2 1
某同学在做投篮训练，已知该生每次投中的概率为3，投不中的概率为3 .为提高该生训练的积极性，规定：
投中一次得 2 分，投不中得 1 分.某同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分．
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(1)若投篮 2 次，最终得分为 ，求随机变量 的分布列和期望；
(2)设最终得分为 的概率为 ，证明：数列{ +1 }为等比数列，并求数列{ }的通项公式．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥底面 ，∠ = ∠ = 90°，∠ = 60°， = = = 2 3,
是线段 上的动点．
(1)证明： ⊥ ；
(2)若 是线段 的中点，求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)设直线 与平面 所成角为 ，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
3
在圆 2 + 2 = 4 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ，垂足为 .点 在线段 上，且满足 = 2 .
当点 在圆上运动时，记点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的标准方程．
(2)过点 (1,0)的直线 交曲线 于 ， 两点，过点 与 垂直的直线交曲线 于 ， 两点，其中 ， 在 轴上
方， ， 分别为 ， 的中点．
(ⅰ)证明：直线 过定点；
(ⅱ)求△ 面积的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4
13.72
14.12
15.解：(1)由正弦定理得 + 3 = 0，
其中 = sin( + ) = + ，
故 3 = 0，
因为 ∈ (0, )，所以 ≠ 0，故 3 = 1，
即 2 ( 6 ) = 1，所以 sin(

6 ) =
1
2，
5
因为 ∈ (0, )，所以 6 ∈ ( 6 , 6 )，
故 6 = 6，解得 =

3；
(2) 1 1 3由三角形面积公式得2 = 2 3 = 4 = 3，
故 = 4，
2+ 2 2 2+ 2 4 1
由余弦定理得 = 2 = 8 = 2，
解得 2 + 2 = 8，
故( + )2 = 2 + 2 + 2 = 8 + 8 = 16，解得 + = 4，
故 + + = 6，周长为 6．
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16.(1) ( ) (0, + ∞) ( ) = 1 + 1 = ( 1)( +1)由题意得 的定义为 ，且 ′ 2 2 ，
( +1)
当 = 0 时， ′( ) = 2 < 0 恒成立，此时 ( )在(0, + ∞)上单调递减；
≠ 0 ( ) = ( 1)( +1) = 0 = 1 = 1当 时，令 ′ 2 ，则 或 ，
当 < 0 1时，则 < 0，当 ∈ (0, + ∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
1
当 > 0 时，当 0 < < 时， ′( ) < 0 >
1
，当 时， ′( ) > 0，
( )在( 1 1 , + ∞)上单调递增，在(0, )上单调递减；
综上所述：当 ≤ 0 时， ( )在(0, + ∞)上单调递减；
当 > 0 时， ( ) ( 1在 , + ∞)
1
上单调递增，在(0, )上单调递减；
(2)由(1)可得当 ≤ 0 时， ( )为减函数则无最小值，所以 > 0，
当 > 0 时，即 = 1 时， ( )取得极小值也是最小值 (
1
) = ×
1
+ + ( 1)ln
1
= 2，
所以( 1)(1 ) = 0，解得 = 1 或 = ，
故函数 ( )的最小值为 2，实数 的值为 1 或 ．
17.(1)最终得分为 的可能取值为 2，3，4，
则 ( = 2) = ( 13 )
2 = 1 1 1 2 4 2 2 49， ( = 3) = 2 × 3 × 3 = 9， ( = 4) = ( 3 ) = 9，
可得随机变量 的分布列为
2 3 4
1 4 4
9 9 9
( ) = 2 × 19+ 3 ×
4 + 4 × 49 9 =
10
3．
(2) 1 2 1 1 7 1 2证明： 1 = 3， 2 = 3 + 3 × 3 = 9，且 +2 = 3 +1 + 3 ，
1
4 +1+
2
因为 +2 +1 3 3
+1 2
2 1 = 9 ≠ 0，且 = = ， +1 +1 3
可知数列{ +1 }
4 2
是以首项为9，公比为 3的等比数列，
4 2 2
所以 1 +1 +1 = 9 × ( 3 ) = ( 3 ) ，
当 ≥ 2 时，则 = ( 2 )2， = ( 2 )3 2，…， = ( ) 2 1 3 3 2 3 1 3 ，
相加可得 = ( 2 )2 + ( 2 )3 1 3 3 + . . . + (
2
3 )
= 4 2 115 [1 ( 3 ) ]，
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= 1 + 4则 3 15 [1 (
2 1
3 ) ]，
且 = 1 1 1 4 2时， 1 = 3符合上式，所以 = 3 + 15 [1 ( 3 )
1]．
18.(1)证明：因为 ⊥底面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
又因为 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)因为 ⊥底面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
如图，以 为原点， , , 为 ， ， 轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为∠ = 60°， = = = 2 3，∠ = 90°，∠ = 90°，
所以 = 2 3，∠ = 30°， = 2， = 4，
所以 (0,0,0)， (0,0,2 3)， (2 3, 0,0)， (0,4,0)， ( 3, 3,0)，
因为 是线段 的中点，所以 ( 3 3 ，2 , 2 , 3)
所以 = ( 3 , 3 , 3)， = ( 3 3 , 3 , 3)， 2 2 2 2 = ( 3, 3,0)，
= (2 3, 0, 2 3)，
设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)，
3 3
则 ⊥ ，则 = 0 2
1 + 2 1 + 3 1 = 0
，即 ， ⊥ = 0 3 32
3
1 + 2 1 + 3 1 = 0
取 1 = 2，则 1 = 0， 1 = 3，
所以 = (0,2, 3)为平面 的一个法向量．
设平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2)，
则 ⊥ = 0 2 3 2 2 3 2 = 0

，则 ，即 ， ⊥ = 0 3 2 + 3 2 = 0
取 2 = 3，则 2 = 1， 2 = 3，
所以 = ( 3, 1, 3)为平面 的一个法向量．
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cos < , >= = 0× 3+2×1+( 3)× 3 1所以 | | | | 0+4+3× 3+1+3 = 7．
1
所以平面 与平面 夹角的余弦值为7．
(3)由(2)知 (0,0,2 3)， ( 3, 3,0)， (0,4,0)，
所以 = ( 3, 3, 2 3)， = (0,4, 2 3)， = (0,0,2 3)， = (2 3, 0,0)，
若点 与 重合，则平面 即为平面 ，
则 = (0,4,0)为平面 的一个法向量．
则 = |cos , | = | 0×0+4×4+( 2 3)×0 | = 2 7，28 16 7
若点 与 重合，则平面 即为平面 ，
则 = (0,0,2 3)为平面 的一个法向量．
则 = |cos , | = | 0×0+4×0+( 2 3)×2 3 | = 21，2 7 2 3 7
若点 与点 、 均不重合，
由 与 共线，设 = = ( 3 , 3 , 2 3 )，且 0 < < 1．
则 = + = (0,0,2 3) + ( 3 , 3 , 2 3 ) = ( 3 , 3 , 2 3 2 3 )．
设平面 的法向量为 = ( 3, 3, 3)，
⊥ = 0 3 3 + 3 3 + (2 3 2 3 ) 3 = 0则 ，则 ⊥
，即 ，
= 0 2 3 3 = 0
取 3 = 3，则 = 0
2( 1)
3 ， 3 = ，
2( 1)
所以 = (0, , 3)，(0 < < 1)是平面 的一个法向量．
因为 = (0,4, 2 3)，
2( 1)
所以 = |cos <
|0×0+4× +( 2 3)× 3| , > | = | | =
| | | | 0+42+( 2 3)2× 0+[2( 1)]2+( 3)2
|8( 1) 6| |1
4
|
4 1
= = . =
2 7× 4( 1)2+3 7× 4( 1 1
，
2
) +3 7× 4(
2
) +3
= 4令 1，则 ∈ (3, + ∞)
1
， ∈ (0,
1
3 )，
= = 1 = 1
7× (3 )2+3 7 1 6+21 7 21(12 2 2 2
1)2+4，7 7
因为 21( 1
1 )2 + 47 7 ∈ [
2 4
7 , 3 )，所以 ∈ (
21
7 , 1]．
综上， ∈ [ 21 , 1]．7
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19.(1)设点 ( , )是所求曲线 上的一点，且 ( 1, 1)，
因为 ⊥ 轴于 ，
所以 ( 1, 0)，
因为 = 3 2 ，
1 =
所以 2 ，1 = 3
因为点 是圆 2 + 2 = 4 上任意一点，
2
所以 2 + ( )23 = 4，
2 2
整理得 4 + 3 = 1，
2 2
则曲线 的标准方程为 4 + 3 = 1；
(2)( )证明：当直线 的斜率存在且不为 0 时，
设直线 方程为 = ( 1)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= ( 1)
联立 2 +
2 ，消去 并整理得(3 + 4 2) 2 8 2 + 4 2 12 = 0，
4 3 = 1
2
由韦达定理得 1 + 2 =
8
3+4 2，
8 2 6
所以 1 + 2 = ( 1 + 2 2) = ( 3+4 2 2) = 3+4 2，
( 4
2 3
可得 3+4 2 , 3+4 2 )，
因为直线 与直线 垂直，
所以直线 的方程为 = 1 ( 1)，
设 ( 3, 3)， ( 4, 4)，
= 1 ( 1)
联立 2 2 2 ，消去 并整理得(3 + 4)
2 8 + 4 12 2 = 0，
4 + 3 = 1
8
由韦达定理得 3 + 4 = 3 2+4，
所以 3 + 4 =
1
( 3 + 4 2) =
6
3 2+4，
( 4 3 可得 3 2+4 , 3 2+4 )，
3 + 3 2
则 = 3 +4 3+4 2 ，4 2
2 +
4
3 +4 3+4 2
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3 + 3
所以直线 的方程为 3 3 2+4 =
3 2+4 3+4 2
2 (
4 )，
4 4 3 2+4
3 2

+4 3+4 2
即 3 3 2+4 =
7 4
4( 2 1) ( 3 2+4 )，
令 = 0，
解得 = 47，
4
所以直线 过定点 ( 7 , 0)；
当直线 的斜率不存在时，直线 方程为 = 1，
3 3
此时 (1, 2 ), (1, 2 )，
所以 (1,0)，
直线 的方程为 = 0，
可得 ( 2,0)， (2,0)，
则 (0,0)，
所以直线 4过定点 ( 7 , 0)，
4
综上所述，直线 过定点 ( 7 , 0)；
( )由( ) 4 3 3 知，直线 过定点( 7 , 0)，且 = 3+4 2 , = 3 2+4，
可得| | = |1 4 37 | = 7，
所以 1 3 3 3 △ = 2 | || | = 14 | 3+4 2 + 3 2+4 |
1
= 9 | |(1+
2) 9 | |+
2 (3+4 2)(4+3 2) = 2
| |
，
12( 2+ 12)+25
令 = | | + 1| |， ≥ 2，
| |+ 1| | = 1此时
12( 2+ 1 )+25 12 2+1
= ，
2 12 +
1

令 = 12 + 1 ，
易知函数 = 12 + 1 在[2, + ∞)上单调递增函数，
49
所以当 = 2 时， = 2．
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即 = 1 时，△ 9 2 9面积取得最大值，最大值为2 × 49 = 49．
第 10页，共 10页

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