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2.1　等式性质与不等式性质
第 1课时　不等关系与不等式
第二章　一元二次函数、方程和不等式
1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步掌握用作差法比较两实数的大小.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
01
知识点一　不等关系与不等式
常见的文字语言与符号语言之间的转换.
文字 语言 大于、高 于、超过 小于、低 于、少于 大于等于、 至少、不低于 小于等于、
至多、不超过
符号 语言 >
<
≥
≤
知识归纳
依据 a>b ;
a=b a-b=0;
a结论 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的 与 的大小
a-b>0
a-b<0
差
0
知识点二　实数大小比较的基本事实
·疑难解惑·
(1)利用作差法比较大小,只需判断差的符号,通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式.
(2)对于两个正值,也可采用作商的方法,比较商与1的大小.
(3)对于某些问题,也可采用取中间值的方法比较大小.
一般地, a,b∈R,有a2+b2 2ab,当且仅当 时,等号成立.
≥
a=b
知识点三　重要不等式
1.(人教A版必修第一册P40练习T1改编)下列说法错误的是(　　)
[A]a与b的和是非正数可表示为“a+b<0”
[B]甲的体重为x kg,乙的体重为y kg,则甲比乙重可表示为“x>y”
[C]某变量x至少为a可表示为“x≥a”
[D]某变量y不超过a可表示为“y≤a”
A
【解析】 因为非正数小于等于0,所以不等式应为a+b≤0,故A错误,其余选项都正确.故选A.
基础自测
2.(x+1)(x-1)与x2的大小关系为(　　)
[A](x+1)(x-1)>x2
[B](x+1)(x-1)[C](x+1)(x-1)=x2
[D]不能确定
B
【解析】 由x2-(x+1)(x-1)=x2-(x2-1)=1>0,得x2>(x+1)(x-1).故选B.
3.若A=a2+2ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是(　　)
[A]A≤B [B]A≥B
[C]AB [D]A>B
B
【解析】 由A=a2+2ab,B=4ab-b2,得A-B=a2+2ab-(4ab-b2)=(a-b)2≥0,所以A≥B.故选B.
4.某商品包装上标有质量500±1 g,若用x(单位:g)表示商品的质量,则该商品的质量可用含绝对值的不等式表示为　　　 　　　　.
|x-500|≤1
【解析】 根据题意知该商品的质量与500 g作差的绝对值小于等于1.故不等式为|x-500|≤1.
关键能力·素养培优
02
[例1] 某公司因发展需要,需购入一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买 6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式(组).
题型一　用不等式(组)表示不等关系
·解题策略·
(1)仔细审题,注意同一个题目的单位是否一致.
(2)用适当的不等号连接,多个不等关系用不等式组表示.
(3)注意隐性不等关系,如由变量的实际意义限制的范围.
[变式训练] 在某校新生军训考核评比中,甲班的分数高于乙班的分数,甲班和乙班的分数之和大于170,且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为x,y,则用不等式组表示为(　　)
D
[例2] 设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小.
题型二　作差法比较大小
[典例迁移1] 比较(a-1)(a-3)与(a-2)2的大小.
【解】 因为(a-1)(a-3)-(a-2)2=a2-4a+3-(a2-4a+4)=-1<0,
所以(a-1)(a-3)<(a-2)2.
作差法比较两个实数大小的基本步骤
·解题策略·
题型三　作差法证明不等式
·解题策略·
作差法是证明不等式的一种常用方法,一般要将不等式转化为两个式子差的形式,再通过恰当的等价变形来确定差的符号,从而证明原不等式成立.
[变式训练] 已知x,y∈R,求证:x2+2y2≥2xy+2y-1.
【证明】 x2+2y2-(2xy+2y-1)
=x2+2y2-2xy-2y+1
=(x2-2xy+y2)+(y2-2y+1)
=(x-y)2+(y-1)2≥0,
当且仅当x=y=1时,等号成立,所以x2+2y2≥2xy+2y-1.
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第2课时　等式性质与不等式性质
2.1　等式性质与不等式性质
第二章　一元二次函数、方程和不等式
1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
章节副标题
01
知识点一　等式性质
性质1:如果a=b,那么b=a.
性质2:如果a=b,b=c,那么a=c.
性质3:如果a=b,那么a±c=b±c.
性质4:如果a=b,那么ac=bc.
知识归纳
序号 性质 性质内容 注意
1 对称性 a>b
2 传递性 a>b,b>c
3 可加性 a>b a+c b+c
ba>c
>
知识点二　不等式的基本性质
>
<
>
>
an>bn
(2)不等式只有同向可加和同向同正可乘,没有减法和除法运算.
·疑难解惑·
1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是(　　)
[A]a>b>-b>-a [B]a>-b>-a>b
[C]a>-b>b>-a [D]a>b>-a>-b
C
【解析】 因为a+b>0,b<0,所以a>-b>0,0>b>-a,所以a>-b>b>-a.故选C.
基础自测
2.已知实数a,b,c,d满足a>b>c>d,则下列选项正确的是(　　)
[A]a+d>b+c [B]a+c>b+d
[C]ad>bc [D]ac>bd
B
【解析】 因为a>b,c>d,根据不等式的同向可加性得a+c>b+d,故B正确;其余选项都可以举反例说明是错误的.故选B.
D
3.与a>b等价的不等式是(　　)
4.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T5改编)已知3≤x≤7,1≤y≤2,则x+2y的最大值为　　　　,最小值为　　　　.
11
【解析】 因为3≤x≤7,1≤y≤2,则2≤2y≤4,所以5≤x+2y≤11,所以x+2y的最大值为11,最小值为5.
5
关键能力·素养培优
章节副标题
02
[例1] (多选)对于任意实数a,b,c,d,下列四个命题为真命题的是(　 　)
[A]若a>b,c≠0,则ac>bc
[B]若ac2>bc2,则a>b
[C]若aab>b2
[D]若a>b>0,c>d,则ac>bd
BC
题型一　利用不等式的基本性质判断命题真假
【解析】 对于A,当a>b,c<0时,acbc2,可得c2>0,则a>b,即B正确;对于C,由ab·a,即a2>ab,由ab·b,即ab>b2,因此a2>ab>b2,即C正确;对于D,若a=2>b=1>0,c=-1>d=-2,则ac=bd=-2,即D错误.故选BC.
·解题策略·
利用不等式的性质判断命题真假的两种方法
(1)直接法:对于真命题,利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明;对于假命题,只需举出一个反例即可.
(2)特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则,一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性.
CD
[变式训练] (多选)下列说法正确的是(　 　)
[例2] (人教B版必修第一册P65例2)(1)已知a>b,cb-d.
【证明】 (1)因为a>b,cb,-c>-d,
所以a-c>b-d.
题型二　利用不等式的基本性质证明不等式
·解题策略·
(1)利用不等式的性质证明不等式,其实质就是利用性质对不等式进行变形,变形要等价,要善于寻找欲证不等式的已知条件,利用性质时要注意性质适用的前提条件.
(2)这种利用不等式的性质证明的题目一般也可以使用作差法,但是作差法的变形有时比较复杂.
题型三　利用不等式的性质求代数式的取值范围
·解题策略·
·解题策略·
(2)不等式两边同乘一个正数,不等号方向不变;同乘一个负数,不等号变为相反的方向.因此在不等式两边同乘一个数时,要明确所乘数的正负.
(3)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围.同向不等式的两边可以相加,但这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围.
[变式训练] 已知实数a,b满足1≤a+b≤8,3≤a-b≤4.
(1)求实数a,b的取值范围;
(2)求2a-5b的取值范围.
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