资源简介

2．2　充分条件、必要条件、充要条件
第 1 课时　充分、必要、充要条件—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
　　　　　　　　　
逐点清(一)　充分条件与必要条件
[多维理解]
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p______q p q
条件关系 p是q的______条件，q是p的______条件 p不是q的_____条件，q不是p的_____条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的_______；性质定理给出了相应数学结论成立的________
|微|点|助|解|　
若p q的几种解析
(1)若p，则q形式的命题是真命题；
(2)由条件p可以得到结论q；
(3)p是q的充分条件或q的充分条件是p；
(4)q是p的必要条件或p的必要条件是q；
(5)一旦q不成立，p一定也不成立，q成立对于p成立是必要的；
(6)充分、必要条件不唯一．
[微点练明]
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件．(　 )
(2)若p是q的充分条件，则p是唯一的．(　 )
(3)若q不是p的必要条件，则“pq”成立．(　 )
(4)“x>0”是“x>1”的充分条件．(　 )
2．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是(　 )
A．若x＜1，则x＜2
B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似
C．若|x|≠1，则x≠1
D．若ab＞0，则a＞0，b＞0
3．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是(　 )
A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数
B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根
C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形
D．若ab＝0，则a＝0
4．分析下列各项中p与q的关系．
(1)p：α为锐角，q：α＝45°；
(2)p：x＋1＝0，q：(x＋1)(x－2)＝0.
逐点清(二)　充要条件
[多维理解]
一般地，如果________，且________，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p.如果p是q的充要条件，就记作________，称为“p与q等价”，或“p等价于q”．
|微|点|助|解|　
条件p与结论q的关系与充分、必要条件
条件p与结论q的关系 结论
p q，但qp p是q的充分且不必要条件
q p，但pq p是q的必要且不充分条件
p q且q p，即p q p与q互为充要条件
pq，且qp p是q的既不充分又不必要条件
[微点练明]
1．(2023·北京高考)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　 )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(多选)对任意实数a，b，c，下列命题正确的是(　 )
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
C．“a>b”是“a2>b2”的充分且不必要条件
D．“a<5”是“a<3”的必要且不充分条件
3．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的________条件．
逐点清(三)　充分、必要条件的探求
[例1]　使“x≤－或x≥3”成立的一个充分且不必要条件是(　 )
A．x＜0 B．x≥0
C．x∈{－1, 3, 5} D．x≤－或x≥3
听课记录：
[例2]　设a，b∈R，则“ab＋1＝a＋b”的充要条件是(　 )
A．a，b都为1 　　 B．a，b都不为1
C．a，b中至少有一个为1 　　 D．a，b都不为0
听课记录：
思|维|建|模|
1．探求充分、必要条件的方法
(1)寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p，从集合的角度看，是找q的子集；
(2)寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p，从集合的角度看，是找能包含q的集合．
2．探求充要条件的方法
(1)先由结论寻找使之成立的条件，再由条件来推证结论成立，即保证必要性和充分性都成立．
(2)变换命题为其等价命题，使每一步都可逆，直接得到使结论成立的充要条件．　　|
[针对训练]
1．“a<0，b<0”的一个必要条件为(　 )
A．a＋b<0 B．a＋b>0
C.>1 D.<－1
2．(多选)使0＜x＜3成立的一个充分条件是(　 )
A．2＜x≤3 B．0≤x＜1
C．0＜x≤2 D．1＜x＜2
第1课时　充分、必要、充要条件
　[逐点清(一)]
[多维理解]　 　充分　必要　充分
必要　充分条件　必要条件
[微点练明]　1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　2.ABC　3.BCD
4．解：(1)由于q p，pq，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
(2)由于p q，q p，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．
　[逐点清(二)]
[多维理解]　p q　q p　p q
[微点练明]　1.C　2.BD　3.充要
　[逐点清(三)]
[例1]　选C　对于A，x<0不能推出x≥3或x≤－，反之也不能，是其既不充分又不必要条件；
对于B，x≥0不能推出x≥3或x≤－，反之也不能，是其既不充分又不必要条件；
对于C，x∈{－1,3,5}可以推出x≥3或x≤－，反之不能，是其充分且不必要条件；
对于D，x≤－或x≥3，是其充要条件．
[例2]　选C　由ab＋1＝a＋b，可得(a－1)(b－1)＝0，解得a＝1或b＝1，
故“ab＋1＝a＋b”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”．故选C.
[针对训练]
1．选A　对于A，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，即a＋b<0是“a<0，b<0”的必要条件，A正确；对于B，当a<0，b<0时，a＋b>0不可能成立，B不正确；对于C，当a<0，b<0时，>1不一定成立，如a＝－1，b＝－2满足条件，而<1，C不正确；对于D，当a<0，b<0时，必有>0成立，即不能推出<－1，D不正确．故选A.
2．选CD　从集合观点看，求0＜x＜3成立的一个充分条件，就是从A、B、C、D中选出集合{x|0＜x＜3}的子集．由于{x|0＜x≤2} {x|0＜x＜3}，{x|1＜x＜2} {x|0＜x＜3}，故选C、D.(共51张PPT)
2.2
充分条件、必要条件、
充要条件
充分、必要、充要条件
(教学方式:基本概念课—逐点理清式教学)
第1课时
课时目标
1.理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.
2.理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.
3.理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一)　充分条件与必要条件
逐点清(二)　充要条件
逐点清(三)　充分、必要条件的探求
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 充分条件与必要条件
01
多维理解
“若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题
推出关系 P___q P____q
条件关系 p是q的_____条件,q是p的______条件 p不是q的_____条件,q不是p的_____条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的___________;性质定理给出了相应数学结论成立的__________
充分
必要
充分
必要
充分条件
必要条件
|微|点|助|解| 　 若p q的几种解析
(1)若p,则q形式的命题是真命题;
(2)由条件p可以得到结论q;
(3)p是q的充分条件或q的充分条件是p;
(4)q是p的必要条件或p的必要条件是q;
(5)一旦q不成立,p一定也不成立,q成立对于p成立是必要的;
(6)充分、必要条件不唯一.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.(　 )
(2)若p是q的充分条件,则p是唯一的.(　 )
(3)若q不是p的必要条件,则“p q”成立.(　 )
(4)“x>0”是“x>1”的充分条件.(　 )
微点练明
×
×
√
×
2.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的是 (　 )
A.若x<1,则x<2
B.若两个三角形的三边对应成比例,则这两个三角形相似
C.若|x|≠1,则x≠1
D.若ab>0,则a>0,b>0
√
√
√
解析：由x<1,可以推出x<2,所以选项A符合题意;由两个三角形的三边对应成比例,可以推出这两个三角形相似,所以选项B符合题意;由|x|≠1,可以推出x≠1,所以选项C符合题意;由ab>0,不一定能推出a>0,b>0,比如a=b=-1,所以选项D不符合题意.
3.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的是 (　 )
A.若x,y是偶数,则x+y是偶数
B.若a<2,则方程x2-2x+a=0有实根
C.若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形
D.若ab=0,则a=0
√
√
√
解析： A:x+y是偶数不一定能推出x,y是偶数,因为x,y可以是奇数,不符合题意;B:当方程x2-2x+a=0有实根时,则有(-2)2-4a≥0 a≤1,显然能推出a<2,符合题意;C:因为菱形对角线互相垂直,所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直,符合题意;D:显然由a=0可以推出ab=0,符合题意.
4.分析下列各项中p与q的关系.
(1)p:α为锐角,q:α=45°;
解：由于q p,p q,故p是q的必要条件,q是p的充分条件.
(2)p:x+1=0,q:(x+1)(x-2)=0.
解：由于p q,q p,故p是q的充分条件,q是p的必要条件.
逐点清(二)　充要条件
02
多维理解
一般地,如果______,且______,那么称p是q的充分且必要条件,简称为p是q的充要条件,也称q的充要条件是p.如果p是q的充要条件,就记作_______,称为“p与q等价”,或“p等价于q”.
p q
q p
p q
|微|点|助|解| 　 条件p与结论q的关系与充分、必要条件
条件p与结论q的关系 结论
p q,但q p p是q的充分且不必要条件
q p,但p q p是q的必要且不充分条件
p q且q p,即p q p与q互为充要条件
p q,且q p p是q的既不充分又不必要条件
微点练明
√
1.(2023·北京高考)若xy≠0,则“x+y=0”是“=-2”的(　 )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：因为xy≠0,且=-2,所以x2+y2=-2xy,即(x+y)2=0,所以x+y=0.所以“x+y=0”是“=-2”的充要条件.
2.(多选)对任意实数a,b,c,下列命题正确的是 (　 )
A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件
B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
C.“a>b”是“a2>b2”的充分且不必要条件
D.“a<5”是“a<3”的必要且不充分条件
√
√
解析：由ac=bc,得ac-bc=0,即c(a-b)=0,故c=0或a=b,所以a=b是ac=bc的充分且不必要条件,所以A不正确;因为a+5是无理数,5是有理数,所以a是无理数,若a是无理数,则a+5是无理数,故“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件,所以B正确;若0>a>b,则a2b”不是“a2>b2”的充分条件,所以C不正确;a<5推不出a<3,若a<3,则a<5,故“a<5”是“a<3”的必要且不充分条件,所以D正确.
3.已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的　　　　条件.
解析：a>0且b>0 a+b>0且ab>0,a+b>0且ab>0 a>0且b>0.
充要
逐点清(三)　充分、必要条件的探求
03
例1]　使“x≤-或x≥3”成立的一个充分且不必要条件是(　 )
A.x<0 　　 B.x≥0
C.x∈{-1, 3, 5} 　　 D.x≤-或x≥3
√
解析：对于A,x<0不能推出x≥3或x≤-,反之也不能,是其既不充分又不必要条件;
对于B,x≥0不能推出x≥3或x≤-,反之也不能,是其既不充分又不必要条件;
对于C,x∈{-1,3,5}可以推出x≥3或x≤-,反之不能,是其充分且不必要条件;
对于D,x≤-或x≥3,是其充要条件.
[例2]　设a,b∈R,则“ab+1=a+b”的充要条件是 (　 )
A.a,b都为1 　　　 B.a,b都不为1
C.a,b中至少有一个为1 　　　 D.a,b都不为0
解析：由ab+1=a+b,可得(a-1)(b-1)=0,解得a=1或b=1,故“ab+1=a+b”的充要条件是“a,b中至少有一个为1”.故选C.
√
　　|思|维|建|模|
1.探求充分、必要条件的方法
(1)寻求q的充分条件p,即求使q成立的条件p,从集合的角度看,是找q的子集;
(2)寻求q的必要条件p,即求以q为条件可推出的结论p,从集合的角度看,是找能包含q的集合.
2.探求充要条件的方法
(1)先由结论寻找使之成立的条件,再由条件来推证结论成立,即保证必要性和充分性都成立.
(2)变换命题为其等价命题,使每一步都可逆,直接得到使结论成立的充要条件.
针对训练
1.“a<0,b<0”的一个必要条件为 (　 )
A.a+b<0 B.a+b>0
C.>1 D.<-1
√
解析：对于A,因为a<0,b<0,所以a+b<0,即a+b<0是“a<0,b<0”的必要条件,A正确;对于B,当a<0,b<0时,a+b>0不可能成立,B不正确;对于C,当a<0,b<0时,>1不一定成立,如a=-1,b=-2满足条件,而<1,C不正确;对于D,当a<0,b<0时,必有>0成立,即不能推出<-1,D不正确.
故选A.
2.(多选)使0A.2C.0解析：从集合观点看,求0{x|1√
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课时跟踪检测
04
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1.若集合A={1, a},B={1,2,3},则“a=3”是“A B”的 (　 )
A.充分条件 B.必要条件
C.既不充分又不必要条件 D.充要条件
解析：∵A={1, a},B={1,2,3},A B,∴a∈B且a≠1,∴a=2或a=3,即a=3 A B,∴“a=3”是“A B”的充分条件.
√
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2.俗语云“好人有好报”,“好人”是“有好报”的 (　 )
A.充分条件 B.必要条件
C.既不充分又不必要条件 D.无法判断
解析： “好人”是“有好报”的充分条件,反之未必成立,故选A.
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3.(多选)下列选项中,可以是x2<4的一个必要条件的是 (　 )
A.-2C.0解析：∵x2<4,∴-2√
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4.杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句:“读书破万卷,下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书,博览群书,这样落实到笔下,运用起来才有可能得心应手,如有神助一般,由此可得,“读书破万卷”是“下笔如有神”的 (　 )
A.充分且不必要条件 B.充要条件
C.必要且不充分条件 D.既不充分又不必要条件
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解析：杜甫的诗句表明书读得越多,文章未必就写得越好,但不可否认的是,一般写作较好的人,他的阅读量一定不会少,而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛.因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要且不充分条件.
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5.使不等式0<<1 成立的一个充分且不必要条件可以是(　 )
A.01
C.x>2 D.x>0
解析：选C　由0<<1 x>1(其成立的充分且不必要条件需为{x|x>1}的真子集),所以结合选项知,使不等式0<<1成立的一个充分且不必要条件可以是x>2.
√
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6.(多选)下列命题中,p是q的充分条件的是 (　 )
A.p:a是无理数,q:a2是无理数
B.p:四边形为等腰梯形,q:四边形对角线相等
C.p:x>2,q:x≥1
D.p:a>b,q:ac2>bc2
√
√
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解析： A中,a=是无理数,a2=2是有理数,所以p不是q的充分条件;B中,因为等腰梯形的对角线相等,所以p是q的充分条件;C中,x>2 x≥1,所以p是q的充分条件;D中,当c=0时,ac2=bc2,所以p不是q的充分条件.
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7.等式|a+b|=|a|+|b|成立的充要条件是 (　 )
A.ab=0 B.ab<0
C.ab≥0 D.ab≤0
解析：|a+b|=|a|+|b| (a+b)2=(|a|+|b|)2 a2+2ab+b2=a2+2|ab|+b2
ab=|ab| ab≥0.
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8.(多选)已知p,q都是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,则 (　 )
A.p是q的既不充分又不必要条件 B.p是s的充分条件
C.r是q的必要且不充分条件 D.s是q的充要条件
解析：由已知得p r s q,q r s.∴p是q的充分条件;p是s的充分条件;r是q的充要条件;s是q的充要条件.故选B、D.
√
√
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9.“x2=2x”是“x=0”的　 　　　条件,“x=0”是“x2=2x”的　　 　条件.(用“充分”“必要”填空)
解析：由于x=0 x2=2x,所以“x2=2x”是“x=0”的必要条件,“x=0”是“x2=2x”的充分条件.
必要　充分
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10.对于集合A,B及元素x,若A B,则x∈B是x∈(A∪B)的　　　　条件.
解析：由x∈B,显然可得x∈(A∪B);反之,由于A B,则A∪B=B,所以由x∈(A∪B)可得x∈B,故x∈B是x∈(A∪B)的充要条件.
充要
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11.设命题p:k>5,b<5,命题q:一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴,则p是q的　　　　条件;q是p的　　　　条件.(用“充分”“必要”填空)
充分
必要
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解析：当k>5,b<5时,函数y=(k-4)x+b-5的图象如图所示,
此时一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴,
∴p是q的充分条件,q是p的必要条件.
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12.(10分)用充分条件或必要条件的语言表述下面的定理.
(1)在一个平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行;
解：在一个平面内,“两条直线垂直于同一条直线”是“这两条直线平行”的充分条件,但不是必要条件(如平行四边形两边平行,但不一定与邻边垂直).
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(2)若a>b,c<0,则ac解： “a>b,c<0”是“acb,c<0)﹒
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
解： “四边形的一组对边平行且相等”是“四边形为平行四边形”的充分条件,也是必要条件.
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(4)如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,那么x1+x2=-.
解： “x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根”是“x1+x2=-”的充分条件,但不是必要条件（如满足x1+x2=，但不满足x1·x2=的实数x1,x2不是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根）.
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13.(12分)设A={a+b||a2-2b2|=1,a,b∈Z},现有以下三个条件:
甲:x∈A且y∈A;乙:xy∈A;丙:∈A.
求证:甲分别是乙和丙的充分条件.
证明:设x=a+b,y=c+d,则|a2-2b2|=1,a,b∈Z,|c2-2d2|=1,c,d∈Z,
则xy=(a+b)(c+d)=(ac+2bd)+(bc+ad),显然ac+2bd,bc+ad∈Z,
因为(ac+2bd)2-2(bc+ad)2=(a2-2b2)(c2-2d2),a,b,c,d∈Z,
所以|(ac+2bd)2-2(bc+ad)2|=|(a2-2b2)(c2-2d2)|=1,a,b,c,d∈Z,所以xy∈A.
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所以甲是乙的充分条件.
因为·,
且|a2-2b2|=1,a,b∈Z,
所以若a2-2b2=1,则=a-b∈A;若a2-2b2=-1,则=-a+b∈A.
所以甲是丙的充分条件.综上,甲分别是乙和丙的充分条件.
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14.(13分)已知a,b,c∈R,a≠0.判断“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的什么条件 并说明理由.
解：“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充要条件.理由如下:
当a,b,c∈R,a≠0时,若a-b+c=0,则-1满足一元二次方程ax2+bx+c=0,
即“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”,
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故“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充分条件.
若一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1,则a-b+c=0,
故“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的必要条件.
综上所述,“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充要条件.课时跟踪检测(七)　充分、必要、充要条件
(满分90分，选填小题每题5分)
1．若集合A＝{1, a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A B”的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．既不充分又不必要条件
D．充要条件
2．俗语云“好人有好报”，“好人”是“有好报”的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．既不充分又不必要条件
D．无法判断
3．(多选)下列选项中，可以是x2<4的一个必要条件的是(　　)
A．－2C．04．杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神．”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的(　　)
A．充分且不必要条件
B．充要条件
C．必要且不充分条件
D．既不充分又不必要条件
5．使不等式0<<1 成立的一个充分且不必要条件可以是(　　)
A．01
C．x>2 D．x>0
6．(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是(　　)
A．p：a是无理数，q：a2是无理数
B．p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等
C．p：x>2，q：x≥1
D．p：a>b，q：ac2>bc2
7．等式|a＋b|＝|a|＋|b|成立的充要条件是(　　)
A．ab＝0 B．ab<0
C．ab≥0 D．ab≤0
8．(多选)已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则(　　)
A．p是q的既不充分又不必要条件
B．p是s的充分条件
C．r是q的必要且不充分条件
D．s是q的充要条件
9．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的_______条件．(用“充分”“必要”填空)
10．对于集合A，B及元素x，若A B，则x∈B是x∈(A∪B)的________条件．
11．设命题p：k>5，b<5，命题q：一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则p是q的________条件；q是p的________条件．(用“充分”“必要”填空)
12．(10分)用充分条件或必要条件的语言表述下面的定理．
(1)在一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
(2)若a>b，c<0，则ac(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根，那么x1＋x2＝－.
13．(12分)设A＝{a＋b||a2－2b2|＝1，a，b∈Z}，现有以下三个条件：
甲：x∈A且y∈A；乙：xy∈A；丙：∈A.
求证：甲分别是乙和丙的充分条件．
14．(13分)已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．
课时跟踪检测(七)
1．选A　∵A＝{1, a}，B＝{1,2,3}，A B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或a＝3，即a＝3 A B，∴“a＝3”是“A B”的充分条件．
2．选A　“好人”是“有好报”的充分条件，反之未必成立，故选A.
3．选AB　∵x2<4，∴－24．选C　杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛．因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要且不充分条件．
5．选C　由0<<1 x>1(其成立的充分且不必要条件需为{x|x>1}的真子集)，所以结合选项知，使不等式0<<1成立的一个充分且不必要条件可以是x>2.
6．选BC　A中，a＝是无理数，a2＝2是有理数，所以p不是q的充分条件；B中，因为等腰梯形的对角线相等，所以p是q的充分条件；C中，x>2 x≥1，所以p是q的充分条件；D中，当c＝0时，ac2＝bc2，所以p不是q的充分条件．
7．选C　|a＋b|＝|a|＋|b| (a＋b)2＝(|a|＋|b|)2 a2＋2ab＋b2＝a2＋2|ab|＋b2 ab＝|ab| ab≥0.
8．选BD　由已知得p r s q，q r s.∴p是q的充分条件；p是s的充分条件；r是q的充要条件；s是q的充要条件．故选B、D.
9．解析：由于x＝0 x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．
答案：必要　充分
10．解析：由x∈B，显然可得x∈(A∪B)；反之，由于A B，则A∪B＝B，所以由x∈(A∪B)可得x∈B，故x∈B是x∈(A∪B)的充要条件．
答案：充要
11．解析：当k>5，b<5时，函数y＝(k－4)x＋b－5的图象如图所示，
此时一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，
∴p是q的充分条件，q是p的必要条件．
答案：充分　必要
12．解：(1)在一个平面内，“两条直线垂直于同一条直线”是“这两条直线平行”的充分条件，但不是必要条件(如平行四边形两边平行，但不一定与邻边垂直)．
(2)“a>b，c<0”是“acb，c<0)﹒
(3)“四边形的一组对边平行且相等”是“四边形为平行四边形”的充分条件，也是必要条件．
(4)“x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根”是“x1＋x2＝－”的充分条件，但不是必要条件.
13．证明：设x＝a＋b，y＝c＋d，则|a2－2b2|＝1，a，b∈Z，|c2－2d2|＝1，c，d∈Z，
则xy＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋2bd)＋(bc＋ad)，显然ac＋2bd，bc＋ad∈Z，
因为(ac＋2bd)2－2(bc＋ad)2＝(a2－2b2)·(c2－2d2)，a，b，c，d∈Z，
所以|(ac＋2bd)2－2(bc＋ad)2|＝|(a2－2b2)(c2－2d2)|＝1，a，b，c，d∈Z，
所以xy∈A.
所以甲是乙的充分条件．
因为＝＝＝－·，
且|a2－2b2|＝1，a，b∈Z，
所以若a2－2b2＝1，则＝a－b∈A；
若a2－2b2＝－1，则＝－a＋b∈A.
所以甲是丙的充分条件．
综上，甲分别是乙和丙的充分条件．
14．解：“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下：
当a，b，c∈R，a≠0时，若a－b＋c＝0，则－1满足一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，
故“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件．
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，则a－b＋c＝0，
故“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件．
综上所述，“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．

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