资源简介

阶段质量评价(二)　不等式
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)
1．设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x≤2}，则A∪B＝(　　)
A． B．{x|1C．{x|x≤1或x>2} D．R
2．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则M与N的大小关系是(　　)
A．M>N B．M≥N
C．M3．“a>0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c>0恒成立”的(　　)
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
4．若b＞a＞1，则下列不等式一定正确的是(　　)
A．ab>2 B．a＋b<2
C.＜ D.＋>2
5．已知a，b，c，d∈R，且aA．dC．bc
6．不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1,2) B．(－1,2]
C．(－1,2) D．[－1,2]
7．不等式ax2－bx＋c>0的解集为{x|－28．已知关于x的不等式ax2＋2bx＋4<0的解集为，其中m<0，则＋的最小值为(　　)
A．－2 B．1
C．2 D．8
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．)
9．设a>1>b>－1，b≠0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.< B.>
C．a>b2 D．a2>b2
10．不等式x2＋bx＋c≥2x＋b对任意的x∈R恒成立，则(　　)
A．b2－4c＋4≤0 B．b≤0
C．c≥1 D．b＋c≥0
11．已知x，y都为正数，且2x＋y＝1，则(　　)
A．2xy的最大值为
B．4x2＋y2的最小值为
C．x(x＋y)的最大值为
D.＋的最小值为3＋2
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．)
12．若正实数x，y满足x＋y＝2，则的最小值为________．
13．某公司计划建造一间体积为600 m3的长方体实验室，该实验室高为3 m，地面每平方米的造价为120元，天花板每平方米的造价为240元，四面墙壁每平方米的造价为160元，则该实验室造价的最小值约为____________万元．(参考数据：≈1.414)
14．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y均为正数，则＋≥，当且仅当＝时，等号成立．根据权方和不等式，＋的最小值为__________．
四、解答题(本大题共5小题，共77分．)
15．(13分)已知关于x的不等式ax2＋3x＋2>0(a∈R)．
(1)若ax2＋3x＋2>0的解集为{x|b(2)求关于x的不等式ax2－3x＋2>ax－1的解集．
16．(15分)已知x>0，y>0，且＋＝1.
(1)求x＋y的最小值；
(2)若xy>m2＋6m恒成立，求实数m的取值范围．
17．(15分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)只能同时满足下列三个条件中的两个：①y<0的解集为{x|－1(1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求a，b，c的值；
(2)求关于x的不等式y≥(m－2)x＋2m2－3(m∈R)的解集．
18．(17分)已知不等式x2＋mx＋n<0的解集为{x|1(1)求m和n的值；
(2)若x2＋mx＋n≥ax对任意x>0恒成立，求实数a的取值范围．
19．(17分)某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：
(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的取值范围；
(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值；
(3)若仅考虑每年税收金额最－高，又应如何确定P值．
阶段质量评价(二)
1．选D　因为A＝{x|x>1}，B＝{x|x≤2}，所以A∪B＝R.
2．选A　∵M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－5a＋6)＝a2＋a＋1＝2＋>0，
∴M>N.故选A.
3．选B　由一元二次不等式ax2＋bx＋c>0恒成立，知a>0且Δ＝b2－4ac<0.反之，当a>0时，如x2＋3x＋2>0，不一定恒成立．故选B.
4．选D　令b＝，a＝，则ab＝×＝2，故A错误；因为a>1，b＞1，所以a＋b＞2，故B错误；又－＝，已知b＞a＞1则b－a＞0，ab＞0，所以－＞0，即＞，故C错误；＋≥2＝2，且b＞a＞1，所以等号不成立，所以＋＞2，故D正确．
5．选B　由题意知，(a－d)(b－d)(c－d)＝d－c，又c≠d，则(a－d)(b－d)＝－1<0，显然a－d，b－d异号，又a6．选B　当a＝2时，原不等式为－12<0，满足解集为R；当a≠2时，根据题意得a－2<0，且Δ＝16(a－2)2－4(a－2)×(－12)<0，解得－17．选C　根据题意，ax2－bx＋c>0的解集为{x|－28．选C　由题意可知，方程ax2＋2bx＋4＝0的两个根为m，，则m·＝，解得a＝1，故m＋＝－2b.因为m<0，所以2b＝－m－≥2＝4，当且仅当－m＝－，即m＝－2时，等号成立．则b≥2，所以＋＝＋≥2＝2，当且仅当＝，即b＝4时，等号成立．故＋的最小值为2.
9．选CD　对于A，若a＝2，b＝－，此时满足a>1>b>－1，但>，故A错误；对于B，若a＝2，b＝，此时满足a>1>b>－1，但<，故B错误；对于C，由a>1>b>－1可得a>1>b2，故C正确；对于D，由a>1>b>－1可得a2>1>b2，故D正确．
10．选ACD　x2＋bx＋c≥2x＋b可整理为x2＋(b－2)x＋c－b≥0，根据二次函数的性质有Δ＝(b－2)2－4(c－b)＝b2－4c＋4≤0，A正确；当b＝1，c＝2时，满足Δ≤0，即原不等式成立，B错误；由Δ≤0，得c≥＋1，所以c≥1，C正确；b＋c≥＋b＋1＝2≥0，D正确．
11．选ABD　对于A，因为x，y都为正数，且2x＋y＝1，所以2xy≤2＝，当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时，等号成立．所以2xy的最大值为，所以A正确；对于B，因为2x＋y＝1，所以4x2＋y2＝(2x＋y)2－4xy＝1－4xy，由选项A可知xy≤，所以4x2＋y2＝1－4xy≥，当且仅当x＝，y＝时，等号成立．所以4x2＋y2的最小值为，所以B正确；对于C，因为2x＋y＝1，所以x(x＋y)≤2＝，当且仅当x＝x＋y，即x＝，y＝0时，等号成立，但x，y都为正数，故等号取不到，所以C错误；对于D，因为x，y都为正数，且2x＋y＝1，所以＋＝(2x＋y)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即x＝1－，y＝－1时，等号成立．所以＋的最小值为3＋2，所以D正确．
12．解析：由题意，正实数x，y满足x＋y＝2，则xy≤2＝＝1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，即xy≤1，所以≥1，即的最小值为1.
答案：1
13．解析：由题意得，地面面积和天花板面积均为200 m2.设实验室造价为y元，地面的长为x m，则宽为 m，墙壁面积为m2.所以y＝(120＋240)×200＋160×≥72 000＋320＝72 000＋19 200≈9.91万元，当且仅当6x＝，即x＝10时，等号成立．
答案：9.91
14．解析：因为00，所以＋＝＋≥＝8，当且仅当＝，即x＝时，等号成立．所以＋的最小值为8.
答案：8
15．解：(1)因为ax2＋3x＋2>0的解集为{x|b解得
(2)ax2－3x＋2>ax－1 ax2－(a＋3)x＋3>0 (ax－3)(x－1)>0，
当a＝0时，不等式为x－1<0，不等式的解集为{x|x<1}；
当a<0时，不等式化为(x－1)<0，
不等式的解集为.
当a>0时，方程ax2－3x＋2＝ax－1的两个根分别为，1.
当a＝3时，两根相等，故不等式的解集为{x|x≠1}；
当a>3时，<1，
不等式的解集为；
当01，
不等式的解集为.
综上，当a<0时，
不等式的解集为；
当a＝0，不等式的解集为{x|x<1}；
当0不等式的解集为；
当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠1}；
当a>3时，不等式的解集为.
16．解：(1)因为x>0，y>0，所以x＋y＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即x＝3，y＝6时，等号成立．所以x＋y的最小值为9.
(2)因为x>0，y>0，所以1＝＋≥2＝，所以xy≥16，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时，等号成立．因为xy>m2＋6m恒成立，所以16>m2＋6m，解得－8所以实数m的取值范围为{m|－817．解：(1)假设条件①②符合题意．
∵a＝－1，二次函数图象开口向下，∴y<0的解集不可能为{x|－1假设条件②③符合题意．
由a＝－1，知二次函数图象开口向下，y无最小值，不满足题意．
∴满足题意的条件为①③.∵不等式y<0的解集为{x|－1∴－1,3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．∴－1＋3＝2＝－，－1×3＝－3＝，即b＝－2a，c＝－3a.
∴函数y＝ax2＋bx＋c在x＝－＝1处取得最小值，∴a＋b＋c＝－4a＝－4，即a＝1.
∴b＝－2，c＝－3.
(2)由(1)知y＝x2－2x－3，则y≥(m－2)x＋2m2－3，即x2－mx－2m2≥0，
即(x＋m)(x－2m)≥0.
∴当m<0时，不等式的解集为{x|x≤2m或x≥－m}；
当m＝0时，不等式的解集为R；当m>0时，不等式的解集为{x|x≥2m或x≤－m}．
18．解：(1)由题意知1,4是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的两个根．
所以－m＝1＋4＝5，n＝1×4＝4，故m＝－5，n＝4.
(2)由(1)易知x2－5x＋4≥ax对任意x>0恒成立，即a≤x＋－5对任意x>0恒成立，即a≤min，x>0.因为x＋≥2＝4(当且仅当x＝2时，等号成立)，所以x＋－5≥－1，
所以min＝－1，即a的取值范围是(－∞，－1]．
19．解：税率为P%时，销售量为(80－10P)万件，即销售额为y1＝80(80－10P)，
税金为y2＝80(80－10P)·P%，其中0(1)由解得2≤P≤6.
故P的取值范围为[2,6]．
(2)∵y1＝80(80－10P)(2≤P≤6)，
∴当P＝2时，y1取最大值，为4 800万元．
(3)∵0∴当P＝4时，国家所得税收金额最高为128万元．