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2024-2025 学年山东省威海市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 1,0,1,2,3}， = { | < 1}，则 ∩ =( )
A. { 1,0,1,2} B. { 1,1,2} C. {1,2} D. {1,2,3}
2.设 ( )的导函数为 ′( )，且 ( )在 = 0处可导，则“ 0是 = ( )的极值点”是“ ′( 0) = 0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知随机变量 ～ (2,4)，则( )
A. ( ) = 4 B. (2 + 1) = 5 C. ( ) = 2 D. (2 + 1) = 8
4.用 0、1、2、3、4 五个数字，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为( )
A. 18 B. 24 C. 30 D. 48
( 1), > 1
5.已知函数 ( ) =
2 1
，则 (log 3) =( )
, ≤ 1 2
A. 1 B. 32 4 C.
5 3
4 D. 2

6.已知随机事件 ， 满足 ( ) = 0.4， ( ) = 0.6， ( | ) = 0.5，则 ( ) =( )
A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8
7.已知 ( )是定义在 上的偶函数，且 ( ) = ( + 2)，若 (2) = 2，则18 =1 ( ) =( )
A. 0 B. 2 C. 8 D. 10
8.有分别标有数字 1，2，3，4 的小球各 2 个，它们的形状、大小、材质完全相同，现从这 8 个小球中任
取 4 个，则取出的小球上的数字之和为 10 的概率为( )
A. 8 B. 17 9 1935 70 C. 35 D. 70
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某位同学 10 次考试的物理成绩 与数学成绩 如下表所示：
数学成绩 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76
物理成绩 80 87 75 86 100 79 93 68 85 77

已知 与 线性相关，计算可得 = 80， = 83，回归直线方程为 = 1.1 + ，则( )
A. 与 正相关

B. = 5
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C.相关系数 > 0
D.若该同学第 11 次考试的数学成绩为 80，物理成绩为 83，则以这 11 次成绩重新计算，得到的回归直线
方程不变
10.对于每个实数 ，设 ( )取 = | 1|， = | 2|两个函数值中的最大值，则( )
A. (1) = 0 B.当 ∈ ( ∞, 4)时， ( ) > 4 12
C. ( )在( ∞,2) 1上单调递减 D. ( )的最小值为2
| +2|
11 .已知函数 ( ) = ( +2)2， ( )的导函数为 ′( )，则( )
A.存在 0，使得 ( 0) = 1
B.对于定义域内的任意 ，都有 ( 4 ) ( ) = 0
C.函数 = ′( 2)的图象关于原点对称
D.方程 ( ( )) = 2有 4 个实数根
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 ( ) = + 2 ，则曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为______．
13.(1 2 2)(1 + )5的展开式中 4的系数为______．
14.若对任意 ∈ (1, + ∞)， + 1 > + + 1，则 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在科技飞速发展的今天，人工智能( )领域迎来革命性的突破，各种 工具拥有强大的解决问题的能力.某
企业为了解男女员工对 工具的使用情况，随机调查了 200 名员工，得到如下数据：
经常使用 不经常使用 合计
男性 80 20 100
女性 60 40 100
合计 140 60 200
(1)根据小概率值 = 0.005 的独立性检验，分析该企业员工对 工具的使用情况是否与性别有关；
(2)为鼓励员工使用 工具，企业采用按性别分层抽样的方式，在被调查的经常使用 工具的员工中，抽取
了 7 名员工组成 工具宣传小组.现从这 7 名员工中随机选出 3 名担任宣传组长，记选出的 3 名宣传组长中
女员工的人数为随机变量 ，求 的数学期望．
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2
参考公式： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
参考数据：
( 2 ≥ ) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 2 ， ( ) = + 1 ．
(1)当 = 2 时，解关于 的方程 ( ) = 3；
(2)若对 1 ∈ [0,1]， 2 ∈ (0, + ∞)，使得 ( 1) = ( 2)，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
3
已知甲、乙、丙三个品牌的手机从 1 米高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率均为4，当第一次未碎掉
1 2 2
时第二次也未碎掉的概率依次为3，3，5，假设三个品牌的手机掉落后屏幕是否碎掉互不影响．
(1)求这 3 个品牌的手机中至少有 2 个品牌第一次掉落屏幕未碎掉的概率；
(2)设这 3 个品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉的品牌个数为随机变量 ，求 的分布列；
(3)已知 3 个品牌的手机掉落两次后恰有 1 个品牌的手机屏幕仍未碎掉，求该品牌手机是甲的概率．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3 + 3 2 + ．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)当 = 0， = 2 时，求曲线 = ( )过点(2,10)的切线方程；
(3)若 ( )存在三个不同的零点 1 < 2 < 3，且 1 + 3 = 2 2，证明：2 3 + = 0．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + 2．
(1)若 ( )在[1, + ∞)上单调递减，求 的取值范围；
(2)若 ( )有两个不同的零点 1， 2，
( )求 的取值范围；
( ) 1证明： 1 + 2 > + ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3 1 = 0
13. 15
14.( ∞,1]
15.(1)零假设 0：该企业员工对 工具的使用情况与性别无关，
2 = 200×(80×40 20×60)
2
则 100×100×60×140 ≈ 9.524 > 7.879，
根据小概率值 = 0.005 的独立性检验，我们推断 0不成立，即认为“该企业员工对 工具的使用情况与性
别无关”，此推断犯错误的概率不超过 0.005，
故分析认为企业员工对 工具的使用情况与性别有关；
(2)由题意知，抽取的 7 名员工中男员工有 4 名，女员工有 3 名，
则 的所有可能取值为：0，1，2，3，
3 1 2 2 1 3
则 ( = 0) = 4 4 18 12 13 = 35， ( = 1) =
3 4
3 = 3 435， ( = 2) = 3 = 35， ( = 3) =
3 = ，
7 7
3
7 7 35
所以 ( ) = 0 × 435 + 1 ×
18
35 + 2 ×
12 1 18 24 3 9
35+ 3 × 35 = 35+ 35 + 35 = 7．
16.(1) 2当 = 2 时，2 + 2 = 3，
即(2 )2 3 2 + 2 = 0，
解得2 = 1 或2 = 2，
所以 = 0 或 = 1；
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(2)设 ( )在[0,1]上的值域为 ， ( )在(0, + ∞)上的值域为 ，则 ，
因为 ∈ (0, + ∞) 1 1，所以 ( ) = + ≥ 2，当且仅当 = 即 = 1 时等号成立，
所以 = [2, + ∞)，
因为 ，所以 ( ) = 2 2 ≥ 2 对 ∈ [0,1]恒成立，
即 ≤ (2 )2 2 2 = (2 1)2 1①，对 ∈ [0,1]恒成立，
易知 = 0 时，①式取得最小值 1，
所以 的范围是( ∞, 1]．
17.(1) 3甲、乙、丙三个品牌的手机从 1 米高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率均为4，
1 2 2
当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率依次为3，3，5，
假设三个品牌的手机掉落后屏幕是否碎掉互不影响，
设事件 表示“3 个品牌的手机中至少有 2 个品牌第一次掉落屏幕未碎掉”，
则这 3 个品牌的手机中至少有 2 个品牌第一次掉落屏幕未碎掉的概率为：
( ) = 2( 3 2 1 3 3 3 273 4 ) 4 + 3( 4 ) = 32．
(2)依题意，随机变量 的取值集合为{0,1,2,3}，
设事件 表示“甲品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉”，
事件 表示“乙品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉”，
事件 表示“丙品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉”，
3 1 1 3 2 1 3 2 3
则 ( ) = 4 × 3 = 4， ( ) = 4 × 3 = 2， ( ) = 4 × 5 = 10，
∴ ( = 0) = 3 × 1 × 74 2 10 =
21
80， ( = 1) =
1 × 14 2 ×
7 + 3 1 7 3 1 3 3710 4 × 2 × 10 + 4 × 2 × 10 = 80，
( = 2) = 1 × 1 × 7 + 1 × 14 2 10 4 2 ×
3 3 1 3 19 1 1 3 3
10 + 4 × 2 × 10 = 80， ( = 3) = 4 × 2 × 10 = 80，
∴ 的分布列为：
0 1 2 3
21 37 19 3
80 80 80 80
(3)设事件 表示“3 个品牌的手机掉落两次后恰有 1 个品牌的手机屏幕仍未碎掉”，
事件 表示“3 个品牌的手机掉落两次后恰有甲品牌的手机屏幕仍未碎掉”，
由(2)知， ( ) = ( = 1) = 3780， ( ) =
1 × 1 7 74 2 × 10 = 80，
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所以已知 3 个品牌的手机掉落两次后恰有 1 个品牌的手机屏幕仍未碎掉，
7
该品牌手机是甲的概率为 ( | ) = ( ) 80 7 ( ) = 37 = 37．
80
18.(1) ′( ) = 3 2 + 6 = 3 ( + 2 )，
①当 = 0 时， ′( ) = 3 2 ≥ 0，
所以 ( )的单调递增区间为( ∞, + ∞)，无单调递减区间；
②当 > 0 时，令 ′( ) > 0，解得 < 2 或 > 0，令 ′( ) < 0，解得 2 < < 0；
所以 ( )的单调递增区间为( ∞, 2 )，(0, + ∞)，单调递减区间为( 2 , 0)；
③当 < 0 时，令 ′( ) > 0，解得 < 0 或 > 2 ，令 ′( ) < 0，解得 0 < < 2 ；
所以 ( )的单调递增区间为( ∞,0)，( 2 , + ∞)，单调递减区间为(0, 2 )．
综上，当 = 0 时， ( )的单调递增区间为( ∞, + ∞)，无单调递减区间；
当 > 0 时， ( )的单调递增区间为( ∞, 2 )，(0, + ∞)，单调递减区间为( 2 , 0)；
当 < 0 时， ( )的单调递增区间为( ∞,0)，( 2 , + ∞)，单调递减区间为(0, 2 )．
(2)当 = 0， = 2 时， ( ) = 3 + 2，则 ′( ) = 3 2，
设切点为( 0, 30 + 2)，
则切线的斜率 = ′( 0) = 3 20，
所以切线方程为 3 20 2 = 3 0( 0)，
又因为经过点(2,10)，
所以 10 30 2 = 3 20(2 0)，
即 3 20 3 0 + 4 = 0，整理得( 0 2)2( 0 + 1) = 0，
解得 0 = 2 或 0 = 1，
所以过点(2,10)的切线方程为 = 12 14 或 = 3 + 4．
(3)证明：法一：若 ( )存在三个不同的零点 1 < 2 < 3，
因为 1 + 3 = 2 2，可设 1 = 2 ， 3 = 2 + ， > 0，
则( 3 22 ) + 3 ( 2 ) + = 0， 32 + 3 22 + = 0，( 2 + )3 + 3 ( 2 + )2 + = 0，
化简可得 3 2 22 3 2 + + 6 2 3 = 0，3 22 + 3 2 + 2 + 6 2 + 3 = 0，
两式相减可得 6 2 + 6 = 0，
所以 2 = ，
所以 ( ) = 0，可得 2 3 + = 0．
法二：若 ( )存在三个不同的零点 1 < 2 < 3，
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则可设 ( ) = ( 1)( 2)( 3)，
整理得 ( ) = 3 ( 1 + 22 + 3) + ( 1 2 + 2 3 + 1 3) 1 2 3，
所以 ( 1 + 2 + 3) = 3 ．
因为 1 + 3 = 2 2，所以 2 = ，
所以 ( ) = 0，可得 2 3 + = 0．
法三：若 ( )存在三个不同的零点 1 < 2 < 3，
则 3 21 + 3 1 + = 0， 32 + 3 2 3 22 + = 0， 3 + 3 3 + = 0，
两两相减可得 3 3 + 3 ( 2 2) = 0， 32 1 2 1 3 3 2 22 + 3 ( 3 2) = 0，
因为 2 2 2 21 < 2 < 3，所以 2 + 1 2 + 1 + 3 ( 2 + 1) = 0， 3 + 3 2 + 2 + 3 ( 3 + 2) = 0，
两式相减可得( 3 + 1)( 3 1) + 2( 3 1) + 3 ( 3 1) = 0，
所以 3 + 1 + 2 + 3 = 0，
因为 1 + 3 = 2 2，所以 2 = ．
所以 ( ) = 0，可得 2 3 + = 0．
19.(1)若 ( )在[1, + ∞)上单调递减，
1
则 ′( ) = + 2 ≤ 0 对任意 ∈ [1, + ∞)恒成立，
即 ≤ 2 1 对任意 ∈ [1, + ∞)恒成立，
令 ( ) = 2 1 ，
因为 ( )在[1, + ∞)上单调递增，
所以 ( )的最小值为 (1) = 1，
所以 的取值范围为( ∞,1]．
(2)( ) ( ) = 1+ 2 = 2
2+ +1
法一： ′ ，
令 ′( ) = 0，则 2 2 + + 1 = 0，
判别式 = 2 + 8 > 0 1，且两根之积为 2，
故该方程有唯一正根，设为 0，
当 0 < < 0时， ′( ) > 0，
所以 ( )在(0, 0)上单调递增，
当 > 0时， ′( ) < 0，
所以 ( )在( 0, + ∞)上单调递减，
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又当 → 0 时， ( ) → ∞，
当 →+∞时， ( ) → ∞，
若 ( )有两个不同的零点，则 ( 0) > 0，
所以 20 + 0 0 > 0，
又因为 = 2 20 0 1，
所以 + 20 0 1 > 0，
1
令 ( ) = + 2 1，则 ′( ) = + 2 > 0，
所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
因为 (1) = 0，
所以 0 > 1，
1
由于函数 = 2 , = 均为 > 1 上的单调递增函数，
1
所以 = 2 在 > 1 上单调递增，
所以 = 2 0
1
> 1，0
所以 的取值范围为(1, + ∞)．
( )证明：不妨设 1 < 2，
因为 (1) = 1 > 0，可得 1 < 1 < 2，
因为 1 + 1 2 21 = 0， 2 + 2 2 = 0，
= 所以 11 = 2
2
1
，
2
( ) = 令 ，则 ( 1) = ( 2) = ，
令 ( ) = ( 1 ) ( ) =
1
+ ( +
1
) ，
则 ′( ) = 1 1 1 2 1 + ( + ) + (1
1
2 ) = (1
1
2 ) =
( 1)( +1)
2 ，
当 > 1 时， ′( ) > 0，
所以 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
又 (1) = 0，
所以当 > 1 时， ( ) > 0 1，即 ( ) > ( )，
又因为 2 > 1，
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所以 ( 1 ) > ( 2)，2
因为 ( 1) = ( 2)，
所以 ( 1 ) > ( 1)，2
2
对于 ( ) = ， ′( ) = 1
1
2 =
1+
2 ，
当 0 < < 1 时， 2 1 < 0， < 0， ′( ) < 0，
所以 ( )在(0,1)上单调递减，
1
因为 0 < < 1，0 < 1 < 1，2
1
所以 < 1，2
又因为当 > 1 时， ( ) = > 0，
所以 2 > ，
所以 1 + 2 >
1 + > + 1 2 ．2
法二：( )若 ( )有两个不同的零点 1， 22，则 + = 0 有两个不等的正根，
即 = 有两个不等的正根，
令 ( ) = ， > 0，
( ) = 1 1
2 1+
则 ′ 2 = 2 ，
当 ∈ (0,1)时， 2 1 < 0， < 0， ′( ) < 0，
所以 ( )在(0,1)上单调递减，
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0，
所以 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) ≥ (1) = 1，
当 → 0 时， ( ) →+∞；当 →+∞时， ( ) →+∞，
所以 > 1．
所以 的取值范围为(1, + ∞)．
( )证明：不妨设 1 < 2，由( )知 1 < 1 < 2，则 ( 1) = ( 2) = ，
( ) = ( 1令 ) ( ) =
1
+ ( +
1
) ，
1 1
则 ′( ) = 2 1+ ( +
1 ) + (1 1 2 ) = (1
1
2 ) =
( 1)( +1)
2 ，
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当 > 1 时， ′( ) > 0，可得 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
又 (1) = 0，
1
所以当 > 1 时， ( ) > 0，即 ( ) > ( )，
又因为 2 > 1，
1
所以 ( ) > ( 2)，2
因为 ( 1) = ( 2)，
所以 ( 1 ) > ( 1)，2
由( )知 ( )在(0,1)上单调递减，
1
因为 0 < < 1，0 < 1 < 1，2
1
所以 < 1，2
又因为当 > 1 时， ( ) = < ，
所以 2 > ，
所以 1 + >
1 1
2 + 2 > + ．2
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