资源简介

(共58张PPT)
3.2.2
基本不等式的应用
(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.进一步熟练掌握基本不等式,能够通过配凑、变形等利用基本不等式求最值.
2.要灵活应用不等式解决问题,能够利用基本不等式解决实际问题.
CONTENTS
目录
1
2
题型(一)　利用基本不等式求最值的方法
题型(二)　利用基本不等式解决实际问题
课时跟踪检测
3
题型(三)　基本不等式的综合运用
4
01
题型(一)　利用基本不等式求最值
的方法
1.已知a,b都是正数,则有
和定积最大 若a+b等于定值S,那么当a=b时,积ab有最大值
积定和最小 若ab等于定值P,那么当a=b时,和a+b有最小值2
2.基本不等式求最值的条件
(1)a,b必须是正数.
(2)求积ab的最大值时,应看和a+b是否为定值;求和a+b的最小值时,应看积ab是否为定值.
(3)等号成立的条件是否满足.
[例1]　(配凑求最值)已知x>3,求y=2x+的最小值.
解：因为x>3,所以2x-6>0,
所以y=2x+=2x-6++6≥2+6=2×2+6=10,
当且仅当2x-6=,即x=4时,等号成立.
所以y=2x+的最小值是10.
[例2]　(拆裂项求最值)若x>1,求函数y=的最小值.
解：由x>1,知x-1>0.
所以y==x+1+=x-1++2≥2+2=4,
当且仅当=x-1,即x=2时,等号成立.
所以当x=2时,y取得最小值4.
[例3]　(常数代换求最值)已知x>0,y>0,且满足=1,求x+2y的最小值.
解：因为x>0,y>0,=1,
所以x+2y=(x+2y)=8++2=10+≥10+2=18,
当且仅当,即x=12,y=3时,等号成立,
所以x+2y的最小值为18.
若把例3的条件“=1”改为“x+2y=1”,其他条件不变,求的最小值.
解：因为x>0,y>0,所以=(x+2y)·=8++2=10+≥10+2=18,当且仅当,x+2y=1,即x=,y=时,等号成立,所以的最小值为18.
变式拓展
|思|维|建|模|
(1)为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件,常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法,使得“和”或“积”为定值.
(2)裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离——将分式分离为整式与“真分式”的和,再根据分式分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式求最值创造条件,进而求出最值.
(3)常数代换法解题的关键是通过代数式的变形,构造和式或积式为定值的式子,然后利用基本不等式求解最值.
1.设0解析：因为00.所以··,当且仅当2x=4-2x,即x=1时,等号成立,所以的最大值为.
针对训练
2.已知a>0,b>0,若a+b=2,求的最小值.
解：因为a>0,b>0,所以a+1>0,b+1>0.
又a+b=2,所以a+1+b+1=4.所以[(a+1)+(b+1)]=
,
当且仅当即时,等号成立.
所以的最小值为.
02
题型(二)　利用基本不等式解决
实际问题
[例4]　如图,动物园要以墙体为背面,用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼.
现有可围36 m长钢筋网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼的面积最大
解：设每间虎笼的长为x m,宽为y m,则每间虎笼的面积为S=xy,
由已知可得4x+5y=36,由基本不等式可得S=xy=·4x·5y≤(m2),当且仅当即时,等号成立,因此,每间虎笼的长为 m,宽为 m时,可使每间虎笼的面积最大.
本例条件变为“每间虎笼的面积为20 m2”,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小
解：设每间虎笼的长为x m,宽为y m,则xy=20,
钢筋网总长为4x+5y≥2=40(m),当且仅当即时,
等号成立,因此,每间虎笼的长为5 m,宽为4 m时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小.
变式拓展
|思|维|建|模|
利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意,设变量,并理解变量的实际意义;
(2)构造定值,利用基本不等式求最值;
(3)检验,检验等号成立的条件是否满足题意;
(4)结论.
3.制作一个面积为1 m2且形状为直角三角形的铁支架,现有4.6 m,4.8 m,5 m,5.2 m四种长度的铁管供选择,较经济的(够用,又耗材最少)是哪一种
解：设一条直角边长为x,则另一条直角边长是,斜边长为,
故周长C=x+,
针对训练
由于x+≥2=2,且=2,
因此C=x+≥2+2≈4.83,当且仅当x=且x2=,即x=时,等号成立,故较经济的(够用,又耗材最少)是5 m.
03
题型(三)　基本不等式的综合运用
[例5]　已知x>1时,不等式2x+m+>0恒成立,则实数m的取值范围是(　 )
A.(-∞,-8) B.(-8,+∞)
C.(-∞,-6) D.(-6,+∞)
解析：不等式2x+m+>0化为2(x-1)+>-m-2,
∵x>1,∴2(x-1)+≥2×=4,当且仅当x=2时,等号成立.
∵不等式2x+m+>0对一切x∈{x|x>1}恒成立,∴-m-2<4,解得m>-6.
√
[例6]　已知函数y=4x+(x>0, a>0)在x=3时取得最小值,则a=　　　.
解析：∵x>0,a>0,∴y=4x+≥2=4.当且仅当4x=,即4x2=a时y取得最小值,又∵x=3,∴a=4×32=36.
36
|思|维|建|模|
含参数不等式的求解策略
(1)观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或取值范围.
(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时,往往将已知不等式看作关于参数的不等式,体现了主元与次元的转化.
针对训练
4.已知正实数a,b满足=m,若的最小值为4,则实数m的取值范围是(　 )
A.{2} B.[2,+∞)
C.(0,2] D.(0,+∞)
√
解析：因为a,b为正实数,=ab++2≥2+2=4,
当且仅当ab=,即ab=1时等号成立,此时有b=,
又因为=m,所以a+=m,
由基本不等式可知a+≥2(当且仅当a=1时等号成立),所以m≥2.
5.已知a>0,b>0,若恒成立,求m的取值范围.
解：根据题意,a>0,b>0,恒成立等价于(a+3b)≥m恒成立.所以(a+3b)=3++3=6+≥6+2=12,当且仅当,即a=3b时等号成立,所以m≤12.故m的取值范围是(-∞,12].
课时跟踪检测
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1.若x<0,则x+-2有(　 )
A.最小值-1 B.最小值-3
C.最大值-1 D.最大值-3
解析：因为x<0,所以x+-2=--2≤-2-2=-3,当且仅当-x=,即x=-时,等号成立,故x+-2有最大值-3.
√
A级——达标评价
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2.函数y=3x2+的最小值是(　 )
A.3-3 B.3
C.6 D.6-3
解析：y=3(x2+1)+-3≥2-3=2-3=6-3,当且仅当x2=-1时,等号成立,故选D.
√
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3.已知正数a,b满足a+b=2,则的最小值为(　 )
A.36 B.42
C.49 D.6
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解析：正数a,b满足a+b=2,则有=37+≥37+2=37+12=49,当且仅当 且a+b=2,即b=,a= 时,等号成立,即的最小值为49.
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4.已知a2+b2=ab+4,则a+b的最大值为 (　 )
A.2 B.4
C.8 D.2
解析：因为a2+b2=ab+4,则有(a+b)2=3ab+4≤+4,可得(a+b)2≤16,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时等号成立,所以a+b的最大值为4.
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5.(多选)若a,b∈(0,+∞),a+b=1,则下列说法正确的是 (　 )
A.ab的最大值为 B.的最小值是4
C.4a-的最大值为2 D.的最小值为3+2
解析：对于A,因为a+b=1,所以ab≤,当且仅当a=b=时,等号成立,所以ab的最大值为,故正确;
√
√
√
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对于B,因为a,b∈(0,+∞),a+b=1,所以a≠1,b≠1,所以a+>2,b+>2,所以>4,故错误;
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对于C,因为a+b=1,所以a=1-b,所以4a-=4-4b-=4-≤4-2=2,当且仅当4b=,即b=时,等号成立,故正确;
对于D,(a+b)=1++2≥2+3=3+2,当且仅当,即a=-1,b=2-时,等号成立,故正确.
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6.已知0解析：因为00,所以x(1-x)≤,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立,即当x=时,x(1-x)取得最大值.
7.矩形的长为a,宽为b,且面积为64,则矩形周长的最小值为　　　.
解析：由题意,矩形的长为a,宽为b,且面积为64,即ab=64,所以矩形的周长为2a+2b=2a+≥2=32,当且仅当a=8时,等号成立,即矩形周长的最小值为32.
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8.已知正数x,y满足(x-2)(y-1)=2,若不等式x+2y>m恒成立,则实数m的取值范围是　　　　 .
解析：因为x>0,y>0,则(x-2)(y-1)=xy-(x+2y)+2=2,所以x+2y=xy,
所以=1.所以x+2y=(x+2y)=4+≥4+2=8,
当且仅当时,即x=4,y=2时,等号成立.
又x+2y>m恒成立,所以m<8.
(-∞,8)
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9.(8分)(1)当x>0时,求+4x的最小值;
解：因为x>0,所以>0,4x>0.
所以+4x≥2=8,当且仅当=4x,即x=时,等号成立,
所以当x>0时,+4x的最小值为8.
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(2)当x<0时,求+4x的最大值;
解：当x<0时,-x>0,则+4(-x)≥2=8,
当且仅当=-4x,即x=-时,等号成立,所以+4x≤-8.
所以当x<0时,+4x的最大值为-8.
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(3)已知4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,求a的值.
解：因为x>0,a>0,所以4x>0,>0,
所以4x+≥2=4,当且仅当4x=,即a=4x2=36时,等号成立,
所以a=36.
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10.(10分)如图,汽车行驶时,由于惯性作用,刹车后还要向前滑行一段距离才能停住,我们把这段距离叫作“刹车距离”.在某公路上,“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式:s=v2+v.为保证安全行驶,要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米.现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长5米,每辆车均以相同的速度v行驶,并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”.
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(1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式;
解:T=.
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(2)问v为多少时,经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大
解：经过A点的车流量最大,即每辆车之间的时间间隔T最小.
∵T=≥2,当且仅当,即v=20时取等号.
∴当v=20米/秒时,经过观测点A的车流量最大.
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11.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高,根据记载,商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于2,则当这个直角三角形周长取最大值时,其面积为(　 )
A. B.1
C.2 D.6
√
B级——重点培优
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解析：设该直角三角形的斜边为c=2,直角边为a,b,则a2+b2=c2=8.因为2ab≤a2+b2,所以a2+b2+2ab≤2(a2+b2),即(a+b)2≤16,当且仅当a=b,且a2+b2=8,即a=b=2时,等号成立.因为a>0,b>0,所以a+b≤4,所以a+b的最大值为4.该直角三角形周长为a+b+c≤4+2.故这个直角三角形周长取最大值4+2时,a=b=2,此时三角形的面积为×2×2=2.
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12.已知x>0,y>0,且x+2y=4,则(1+x)(1+2y)的最大值为　　.
解析：(1+x)(1+2y)≤=9,当且仅当1+x=1+2y,即x=2,y=1时,等号成立.
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13.设自变量x对应的因变量为y,在满足对任意的x,不等式y≤M都成立的所有常数M中,将M的最小值叫作y的上确界.若a,b为正实数,且a+b=1,则-的上确界为　　　　　.
-
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解析：因为a,b为正实数,且a+b=1,所以×(a+b)=+2,当且仅当b=2a,即a=,b=时,等号成立,因此有-≤-,即-的上确界为-.
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14.(12分)已知正实数x,y满足x+y=4.
(1)是否存在正实数x,y,使得xy=5 若存在,求出x,y的值;若不存在,请说明理由.
解：不存在.因为正实数x,y满足x+y=4,
所以4=x+y≥2,所以xy≤4.
故不存在正实数x,y,使得xy=5.
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(2)求证:,并说明等号成立的条件.
解：证明:由x+y=4,得x+1+y+2=7.
又因为x,y都是正实数,
所以[(x+1)+(y+2)]·
≥,
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当且仅当时,等号成立,
又因为x+y=4,所以当且仅当x=,y=时,等号成立.
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15.(12分)在“基本不等式”应用探究课中,甲和乙探讨了下面两个问题:
(1)已知正实数x,y满足2x+y=1,求的最小值.甲给出的解法:由1=2x+y≥2,得 ,所以≥2≥4,所以的最小值为4.而乙却说甲的解法是错的,请你指出其中的问题,并给出正确的解法;
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解：甲的解法中两次用到基本不等式,取到等号的条件分别是2x=y和x=2y,显然不能同时成立,故甲的解法是错的.
正确的解法如下:因为x>0,y>0,且2x+y=1,所以=(2x+y)+2,当且仅当,即x=y=时,等号成立.所以的最小值为.
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(2)结合上述问题(1)的结构形式,试求函数y=的最小值.
解：因为01
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当且仅当,即x=1-∈时,等号成立.
所以y=的最小值为2+.3．2.2　基本不等式的应用—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
　　　　　　
题型(一)　利用基本不等式求最值的分析
1．已知a，b都是正数，则有
和定积最大 若a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值
积定和最小 若ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2
2.基本不等式求最值的条件
(1)a，b必须是正数．
(2)求积ab的最大值时，应看和a＋b是否为定值；求和a＋b的最小值时，应看积ab是否为定值．
(3)等号成立的条件是否满足．
[例1]　(配凑求最值)已知x>3，求y＝2x＋的最小值．
听课记录：
[例2]　(拆裂项求最值)若x>1，求函数y＝的最小值．
听课记录：
[例3]　(常数代换求最值)已知x>0，y>0，且满足＋＝1，求x＋2y的最小值．
听课记录：
[变式拓展]
若把例3的条件“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．
|思|维|建|模|
(1)为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使得“和”或“积”为定值．
(2)裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离——将分式分离为整式与“真分式”的和，再根据分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件，进而求出最值．
(3)常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．　　
[针对训练]
1．设02．已知a>0，b>0，若a＋b＝2，求＋的最小值．
题型(二)　利用基本不等式解决实际问题
[例4]　如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼．
现有可围36 m长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？
听课记录：
[变式拓展]
　本例条件变为“每间虎笼的面积为20 m2”，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
　|思|维|建|模|
利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意，设变量，并理解变量的实际意义；
(2)构造定值，利用基本不等式求最值；
(3)检验，检验等号成立的条件是否满足题意；
(4)结论．　
[针对训练]
3．制作一个面积为1 m2且形状为直角三角形的铁支架，现有4.6 m,4.8 m,5 m,5.2 m四种长度的铁管供选择，较经济的(够用，又耗材最少)是哪一种？
题型(三)　基本不等式的综合运用
　 [例5]　已知x>1时，不等式2x＋m＋>0恒成立，则实数m的取值范围是(　 )
A．(－∞，－8) B．(－8，＋∞)
C．(－∞，－6) D．(－6，＋∞)
听课记录：
[例6]　已知函数y＝4x＋(x>0, a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
听课记录：
|思|维|建|模|
含参数不等式的求解策略
(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．
(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．　　
[针对训练]
4．已知正实数a，b满足＋＝m，若的最小值为4，则实数m的取值范围是(　 )
A．{2} B．[2，＋∞)
C．(0,2] D．(0，＋∞)
5．已知a>0，b>0，若＋≥恒成立，求m的取值范围．
3．2.2　基本不等式的应用
　[题型(一)]
[例1]　解：因为x>3，所以2x－6>0，
所以y＝2x＋＝2x－6＋＋6≥2＋6＝2×2＋6＝10，
当且仅当2x－6＝，即x＝4时，等号成立．
所以y＝2x＋的最小值是10.
[例2]　解：由x>1，知x－1>0.
所以y＝＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当＝x－1，即x＝2时，等号成立．
所以当x＝2时，y取得最小值4.
[例3]　解：因为x>0，y>0，＋＝1，
所以x＋2y＝(x＋2y)＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当＝，即x＝12，y＝3时，等号成立，所以x＋2y的最小值为18.
[变式拓展]
解：因为x>0，y>0，所以＋＝(x＋2y)·＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当＝，x＋2y＝1，即x＝，y＝时，等号成立，所以＋的最小值为18.
[针对训练]
1．解析：因为00.
所以＝·≤·＝，当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时，等号成立，所以的最大值为.
答案：
2．解：因为a>0，b>0，
所以a＋1>0，b＋1>0.
又a＋b＝2，所以a＋1＋b＋1＝4.所以＋＝[(a＋1)＋(b＋1)]＝≥＝，
当且仅当
即时，等号成立．
所以＋的最小值为.
　[题型(二)]
[例4]　解：设每间虎笼的长为x m，宽为y m，则每间虎笼的面积为S＝xy，
由已知可得4x＋5y＝36，由基本不等式可得S＝xy＝·4x·5y≤×2＝(m2)，当且仅当
即时，等号成立，因此，每间虎笼的长为 m，宽为 m时，可使每间虎笼的面积最大．
[变式拓展]
解：设每间虎笼的长为x m，宽为y m，则xy＝20，
钢筋网总长为4x＋5y≥2＝40(m)，当且仅当即时，等号成立，
因此，每间虎笼的长为5 m，宽为4 m时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小．
[针对训练]
3．解：设一条直角边长为x，则另一条直角边长是，斜边长为 ，
故周长C＝x＋＋ ，由于x＋≥2＝2，且≥＝2，
因此C＝x＋＋ ≥2＋2≈4.83，当且仅当x＝且x2＝，即x＝时，等号成立，故较经济的(够用，又耗材最少)是5 m.
　[题型(三)]
[例5]　选D　不等式2x＋m＋>0化为2(x－1)＋>－m－2，
∵x>1，∴2(x－1)＋≥2×＝4，当且仅当x＝2时，等号成立．
∵不等式2x＋m＋>0对一切x∈{x|x>1}恒成立，
∴－m－2<4，解得m>－6.
[例6]　解析：∵x>0，a>0，
∴y＝4x＋≥2＝4.
当且仅当4x＝，即4x2＝a时y取得最小值，又∵x＝3，∴a＝4×32＝36.
答案：36
[针对训练]
4．选B　因为a，b为正实数，
＝ab＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当ab＝，即ab＝1时等号成立，此时有b＝，又因为＋＝m，
所以a＋＝m，
由基本不等式可知a＋≥2(当且仅当a＝1时等号成立)，所以m≥2.
5．解：根据题意，a>0，b>0，＋≥恒成立等价于(a＋3b)≥m恒成立．所以(a＋3b)＝3＋＋＋3＝6＋＋≥6＋2＝12，当且仅当＝，即a＝3b时等号成立，所以m≤12.故m的取值范围是(－∞，12]．课时跟踪检测(十三)　基本不等式的应用
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．若x<0，则x＋－2有(　　)
A．最小值－1 B．最小值－3
C．最大值－1 D．最大值－3
2．函数y＝3x2＋的最小值是(　　)
A．3－3 B．3
C．6 D．6－3
3．已知正数a，b满足a＋b＝2，则的最小值为(　　)
A．36 B．42
C．49 D．6
4．已知a2＋b2＝ab＋4，则a＋b的最大值为(　　)
A．2 B．4
C．8 D．2
5．(多选)若a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，则下列说法正确的是(　　)
A．ab的最大值为
B.的最小值是4
C．4a－的最大值为2
D.＋的最小值为3＋2
6．已知07．矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为________．
8．已知正数x，y满足(x－2)(y－1)＝2，若不等式x＋2y>m恒成立，则实数m的取值范围是________．
9．(8分)(1)当x>0时，求＋4x的最小值；
(2)当x<0时，求＋4x的最大值；
(3)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．
10．(10分)如图，汽车行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫作“刹车距离”．在某公路上，“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式：s＝v2＋v.为保证安全行驶，要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米．现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长5米，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”．
(1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式；
(2)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大？
B级——重点培优
11．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题．如果一个直角三角形的斜边长等于2，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为(　　)
A. B．1
C．2 D．6
12．已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为__________．
13．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫作y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为__________．
14．(12分)已知正实数x，y满足x＋y＝4.
(1)是否存在正实数x，y，使得xy＝5？若存在，求出x，y的值；若不存在，请说明理由．
(2)求证：＋≥，并说明等号成立的条件．
15．(12分)在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：
(1)已知正实数x，y满足2x＋y＝1，求＋的最小值．甲给出的解法：由1＝2x＋y≥2，得 ≤，所以＋≥2＝≥4，所以＋的最小值为4.而乙却说甲的解法是错的，请你指出其中的问题，并给出正确的解法；
(2)结合上述问题(1)的结构形式，试求函数y＝＋的最小值．
课时跟踪检测(十三)
1．选D　因为x<0，所以x＋－2＝－－2≤－2－2＝－3，当且仅当－x＝，即x＝－时，等号成立，故x＋－2有最大值－3.
2．选D　y＝3(x2＋1)＋－3≥2 －3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时，等号成立，故选D.
3．选C　正数a，b满足a＋b＝2，则有＝＝＝37＋＋≥37＋2＝37＋12＝49，当且仅当 ＝ 且a＋b＝2，即b＝，a＝ 时，等号成立，即的最小值为49.
4．选B　因为a2＋b2＝ab＋4，则有(a＋b)2＝3ab＋4≤＋4，可得(a＋b)2≤16，即a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最大值为4.
5．选ACD　对于A，因为a＋b＝1，所以ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，所以ab的最大值为，故正确；对于B，因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，所以a≠1，b≠1，所以a＋>2，b＋>2，所以>4，故错误；对于C，因为a＋b＝1，所以a＝1－b，所以4a－＝4－4b－＝4－≤4－2＝2，当且仅当4b＝，即b＝时，等号成立，故正确；对于D，(a＋b)＝1＋＋＋2≥2＋3＝3＋2，当且仅当＝，即a＝－1，b＝2－时，等号成立，故正确．
6．解析：因为00，所以x(1－x)≤2＝2＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值.
答案：　
7．解析：由题意，矩形的长为a，宽为b，且面积为64，即ab＝64，所以矩形的周长为2a＋2b＝2a＋≥2＝32，当且仅当a＝8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32.
答案：32
8．解析：因为x>0，y>0，则(x－2)(y－1)＝xy－(x＋2y)＋2＝2，所以x＋2y＝xy，
所以＋＝1.
所以x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当＝时，即x＝4，y＝2时，等号成立．
又x＋2y>m恒成立，所以m<8.
答案：(－∞，8)
9．解：(1)因为x>0，所以>0,4x>0.
所以＋4x≥2＝8，
当且仅当＝4x，即x＝时，等号成立，
所以当x>0时，＋4x的最小值为8.
(2)当x<0时，－x>0，
则＋4(－x)≥2＝8，
当且仅当＝－4x，即x＝－时，等号成立，
所以＋4x≤－8.
所以当x<0时，＋4x的最大值为－8.
(3)因为x>0，a>0，所以4x>0，>0，
所以4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时，等号成立，
所以a＝36.
10．解：(1)T＝＝＝＋＋.
(2)经过A点的车流量最大，即每辆车之间的时间间隔T最小．
∵T＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即v＝20时取等号．
∴当v＝20米/秒时，经过观测点A的车流量最大．
11．选C　设该直角三角形的斜边为c＝2，直角边为a，b，则a2＋b2＝c2＝8.因为2ab≤a2＋b2，所以a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，即(a＋b)2≤16，当且仅当a＝b，且a2＋b2＝8，即a＝b＝2时，等号成立．因为a>0，b>0，所以a＋b≤4，所以a＋b的最大值为4.该直角三角形周长为a＋b＋c≤4＋2.故这个直角三角形周长取最大值4＋2时，a＝b＝2，此时三角形的面积为×2×2＝2.
12．解析：(1＋x)(1＋2y)≤2＝2＝9，当且仅当1＋x＝1＋2y，即x＝2，y＝1时，等号成立．
答案：9
13．解析：因为a，b为正实数，且a＋b＝1，所以＋＝×(a＋b)＝＋≥＋2＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时，等号成立，因此有－－≤－，即－－的上确界为－.
答案：－
14．解：(1)不存在．因为正实数x，y满足x＋y＝4，所以4＝x＋y≥2，所以xy≤4.
故不存在正实数x，y，使得xy＝5.
(2)证明：由x＋y＝4，得x＋1＋y＋2＝7.
又因为x，y都是正实数，
所以＋＝[(x＋1)＋(y＋2)]·＝≥
＝，
当且仅当＝时，等号成立，
又因为x＋y＝4，
所以当且仅当x＝，y＝时，等号成立．
15．解：(1)甲的解法中两次用到基本不等式，取到等号的条件分别是2x＝y和x＝2y，显然不能同时成立，故甲的解法是错的．
正确的解法如下：因为x>0，y>0，且2x＋y＝1，所以＋＝(2x＋y)·＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即x＝y＝时，等号成立．所以＋的最小值为.
(2)因为0所以y＝＋＝[3x＋(2－3x)]·＝≥＝2＋，当且仅当＝，即x＝1－∈时，等号成立．所以y＝＋的最小值为2＋.

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