资源简介

(共45张PPT)
3.3.1
从函数观点看一元二次方程
(教学方式:基本概念课—逐点理清式教学)
课时目标
1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及个数.
2.了解函数的零点与方程根的关系.通过函数图象理解二次函数的概念.
3.能利用二次函数的图象和性质解决与二次函数零点有关的问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一)　一元二次函数的零点
逐点清(二)　一元二次函数图象、
方程的根与函数零点之间的关系
逐点清(三)　由二次函数的零点求
参数的范围
4
课时跟踪检测
逐点清(一)　一元二次函数的零点
01
多维理解
一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)当函数值取零时_____________的值,即二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的__________,也称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的______.
自变量x
横坐标
零点
1.二次函数y=2x2+x-1的零点是 (　 )
A.,-1 B.-,1
C.,(1,0) D.,(-1,0)
解析：二次函数y=2x2+x-1的零点就是2x2+x-1=0的解,解得x=或x=-1.
微点练明
√
2.二次函数y=2x2+bx-3(b∈R)的零点个数是 (　 )
A.0 B.1
C.2 D.4
解析：因为Δ=b2+24>0,所以二次函数y=2x2+bx-3(b∈R)有2个零点.
√
3.若函数y=ax2+2ax+3(a≠0)的一个零点为1,则其另一个零点为　　.
解析：法一:因为函数y=ax2+2ax+3(a≠0)的一个零点为1,将(1,0)代入得a+2a+3=0,解得a=-1.所以y=-x2-2x+3.令-x2-2x+3=0,解得x1=1,x2=-3,所以函数的另一个零点为-3.
-3
法二:由函数y=ax2+2ax+3(a≠0)的一个零点为1,可得方程ax2+2ax+3=0(a≠0)的一个根为1,根据根与系数的关系可得x1+x2=-=-2,所以另一个根为-3.故函数的另一个零点为-3.
4.若函数y=x2+ax+1有两个不同的零点,则实数a的取值范围为　　　　 　　.
解析：因为函数y=x2+ax+1有两个不同的零点,所以方程x2+ax+1=0有两个不同的实数根.所以Δ=a2-4>0,解得a<-2或a>2.
(-∞,-2)∪(2,+∞)
逐点清(二)　一元二次函数图象、
方程的根与函数零点之间的关系
02
多维理解
当a>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函数y=ax2+bx+c的图象、二次函数y=ax2+bx+c的零点之间的关系如下:
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
方程ax2+bx+c=0的根 有两个相等的 实数根x1=x2=_____ 没有
实数根
-
续表
二次函数y=ax2+bx+c的图象
二次函数y=ax2+bx+c的零点 有两个零点 ______________ 有一个零点 __________ 无零点
x=-
x1,2=
|微|点|助|解| 　 求一元二次方程的根需注意
(1)首先要把方程变成一般形式.
(2)注意方程有实根的前提条件是Δ=b2-4ac≥0.
(3)注意a,b,c应包含各自的符号.
(4)注意一元二次方程如果有根,应有两个,需要注意方程的根与方程的解的区别.
微点练明
√
1.关于x的一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是 (　 )
A.两个不等的实数根 B.两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
解析：∵x2+x+1=0,∴Δ=12-4×1×1=-3<0,∴该方程无实数根.
2.已知方程x2-4x+1=0的两根为x1和x2,则=　　　　.
解析：方程x2-4x+1=0的两根为x1和x2,则x1+x2=4,x1x2=1,则=(x1+x2)2-2x1x2=16-2=14.
14
3.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0.
(1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值;
解：根据题意,得Δ=(2m+1)2-4(m2-2)≥0,
解得m≥-,∴m的最小整数值为-2.
(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值.
解：根据题意,得x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2-2.∵(x1-x2)2+m2=21,
∴(x1+x2)2-4x1x2+m2
=(2m+1)2-4(m2-2)+m2=21.
整理得m2+4m-12=0,解得m1=2,m2=-6.
∵m≥-,∴m的值为2.
逐点清(三)　由二次函数的零点 求参数的范围
03
[典例]　函数y=x2-5x+1-m的两个零点均大于2,则实数m的取值范围是 (　 )
A. B.(-∞,5)
C. D.
√
解析：设函数的两个零点分别为x1,x2,因为函数y=x2-5x+1-m的两个零点均大于2,所以方程x2-5x+1-m=0有两个不相等的根且两根均大于2,则x1-2>0,x2-2>0,
所以即
解得-|思|维|建|模|
由二次函数的零点分布求参数范围的问题, 一般要结合对应一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系,列出不等式组进行求解,或者结合二次函数图象,得出开口方向、 对称轴、 判别式以及端点函数值符号(此端点指的是与方程的根比较大小的数),列出不等式组进行求解.函数有两个零点说明函数图象与x轴有两个交点.
针对训练
已知方程ax2+2x+1=0至少有一个负根,则实数a的取值范围是 (　 )
A.(0,1] B.(-∞,1)
C.(-∞,1] D.(-∞,0)∪(0,1]
√
解析：当a>0时,由Δ=4-4a≥0,解得00,此时方程有两个负数根,符合题意;当a=0时,方程的根为x=-,符合题意;当a<0时,Δ=4-4a>0,x1+x2=->0,x1x2=<0,此时方程有一个正数根和一个负数根,符合题意.所以实数a的取值范围是(-∞,1].
课时跟踪检测
04
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
1.一元二次方程2x2+px+q=0的两根为-1和2,那么二次三项式2x2+px+q可分解为 (　 )
A.(x+1)(x-2) B.(2x+1)(x-2)
C.2(x-1)(x+2) D.2(x+1)(x-2)
解析：∵一元二次方程2x2+px+q=0的两根为-1和2,∴2(x+1)(x-2)=0,∴2x2+px+q可分解为2(x+1)(x-2). 故选D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
2.从-1,0,3,5,7五个数中任意选取一个数,记为m,则使二次函数y=mx2+6x+2与x轴有交点时的m的值有 (　 )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析：因为是二次函数,所以m≠0.又因为二次函数图象与x轴有交点,故Δ=36-8m≥0,即m≤,且m≠0.所以满足要求的m的值有2个.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
3.不解方程,判断关于x的方程2x2-(2m+1)x+(m2+1)=0的解集情况是 (　 )
A. B.非空集
C.单元素集合 D.二元集
解析：由判别式Δ=(2m+1)2-8(m2+1)=-4m2+4m-7=-(2m-1)2-6<0得方程的解集为空集.故选A.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
4.若非零实数a,b,c满足9a-3b+c=0,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根为 (　 )
A.3 B.-3
C.0 D.无法确定
解析：把x=-3代入方程ax2+bx+c=0,得9a-3b+c=0,即方程一定有一个根为x=-3.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
5.若函数y=x2-4x+2m没有零点,则m的取值范围为 (　 )
A.(-∞,4) B.(2,+∞)
C.(6,+∞) D.(-∞,8)
解析：由题意知,Δ=16-8m<0,解得m>2.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
6.已知α,β是方程x2-2x-4=0的两个实数根,则α3+8β+6的值为 (　 )
A.-1 B.2
C.22 D.30
解析：∵α是方程x2-2x-4=0的实根,∴α2-2α-4=0,即α2=2α+4,
∴α3=2α2+4α=2(2α+4)+4α=8α+8,∴原式=8α+8+8β+6=8(α+β)+14,
∵α,β是方程x2-2x-4=0的两实根,∴α+β=2,∴原式=8×2+14=30,故选D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
7.(多选)关于函数y=mx2-4x-m+5的零点,以下说法正确的是 (　 )
A.当m=0时,该函数只有一个零点
B.当m=1时,该函数只有一个零点
C.当m=-1时,该函数没有零点
D.当m=2时,该函数有两个零点
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析：当m=0时,函数y=-4x+5,令-4x+5=0,解得x=,此时方程只有一个实数根,即函数只有一个零点,A正确;当m=1时,函数y=x2-4x+4,令x2-4x+4=0,因为Δ=(-4)2-4×1×4=0,所以方程有两个相等的实数根,即函数只有一个零点,B正确;当m=-1时,函数y=-x2-4x+6,令-x2-4x+6=0,因为Δ=(-4)2-4×(-1)×6>0,所以方程有两个不相等的实数根,即函数有两个零点,C错误;当m=2时,函数y=2x2-4x+3,令2x2-4x+3=0,因为Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,所以方程无实数根,即函数无零点,D错误.故选A、B.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
8.定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是 (　 )
A.a=c B.a=b
C.b=c D.a=b=c
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析：∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=0.又a+b+c=0,即b=-a-c,代入b2-4ac=0得(-a-c)2-4ac=0,化简得(a-c)2=0,所以a=c.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9.设x1,x2是函数y=5x2-3x-2的两个零点,则的值为　　　　.
解析：因为x1,x2是函数y=5x2-3x-2的两个零点,则x1,x2是方程5x2-3x-2=0的两个实数根,所以x1+x2=,x1x2=-.所以=-.
-
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
10.若函数y=2x2-3x-7的两个零点为a,b,则a2+b2=　　　　.
解析：因为函数y=2x2-3x-7,所以根据根与系数的关系可知,两个零点a,b满足a+b=,ab=-.所以a2+b2=(a+b)2-2ab=-2×.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
11.若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=1,则关于x的方程x2+mx=3的解为　　　　.
解析：由题意可知-=1,解得m=-2,所以方程x2-2x=3的解为-1和3.
-1和3
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
12.已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是　　　　 .
解析：∵二次函数的解析式是y=x2-3x+m(m为常数),∴该抛物线的对称轴是直线x=.
x1=1,x2=2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
又∵二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),∴根据抛物线的对称性知,该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(2,0),∴关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根分别是x1=1,x2=2.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
13.若函数y=(1-k)x2-2x-1有两个不相等的零点,则实数k的取值范围是　　　 　.
解析：函数y=(1-k)x2-2x-1有两个不相等的零点,即一元二次方程(1-k)x2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则解得k<2且k≠1.
(-∞,1)∪(1,2)
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
14.(12分)(1)已知函数y=x2+ax+1,若不等式y≥0对一切x∈(0,1]恒成立,求实数a的最小值;
解：函数y=x2+ax+1≥0对一切x∈(0,1]恒成立,即-a≤x+对一切x∈(0,1]恒成立,设y=x+,x∈(0,1],则y=x+≥2(当且仅当x=1时,等号成立),所以-a≤2,即a≥-2.所以a的最小值为-2.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(2)若函数y=x2+ax+1的一个零点比1大,另一个零点比1小,求实数a的取值范围.
解：若函数y=x2+ax+1的一个零点比1大,另一个零点比1小,由二次函数的图象可知,当x=1时,y=2+a<0,即a<-2.
故实数a的取值范围为(-∞,-2).
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
15.(13分)若二次函数y=x2+(p-2)x-21的图象与x轴的交点为A(α,0),B(β,0),与y轴的交点为C.
(1)若α2+β2=51,求p的值;
解：由题意,令x2+(p-2)x-21=0,
Δ=(p-2)2+84>0,∴方程有两个不同的实根,易知α,β为方程x2+(p-2)x-21=0的两个实根,则∴α2+β2=(α+β)2-2αβ=51,
∴(2-p)2+42=51,解得p=-1或p=5.即p的值为-1或5.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(2)若△ABC的面积为105,求p的值.
解：由题意知C(0,-21),则S△ABC=|α-β|×21=105,
∴|α-β|=10,∴(α+β)2-4αβ=100,
∴(2-p)2+84=100,解得p=-2或p=6.即p的值为-2或6.3．3.1　从函数观点看一元二次方程——
(教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
课时目标]
1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及个数．
2．了解函数的零点与方程根的关系．通过函数图象理解二次函数的概念．
3．能利用二次函数的图象和性质解决与二次函数零点有关的问题．
逐点清(一)　一元二次函数的零点
[多维理解]
一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时__________的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的________，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的______．
[微点练明]
1．二次函数y＝2x2＋x－1的零点是(　 )
A.，－1 B．－，1
C.，(1,0) D.，(－1,0)
2．二次函数y＝2x2＋bx－3(b∈R)的零点个数是(　 )
A．0 B．1
C．2 D．4
3．若函数y＝ax2＋2ax＋3(a≠0)的一个零点为1，则其另一个零点为________．
4．若函数y＝x2＋ax＋1有两个不同的零点，则实数a的取值范围为____________．
逐点清(二)　一元二次函数图象、方程的根与函数零点之间的关系
[多维理解]
当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下：
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
方程ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异的实数根x1,2＝ 有两个相等的实数根x1＝x2＝_______ 没有实数根
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点 有两个零点_________________________ 有一个零点__________ 无零点
|微|点|助|解|　
求一元二次方程的根需注意
(1)首先要把方程变成一般形式．
(2)注意方程有实根的前提条件是Δ＝b2－4ac≥0.
(3)注意a，b，c应包含各自的符号．
(4)注意一元二次方程如果有根，应有两个，需要注意方程的根与方程的解的区别．
[微点练明]
1．关于x的一元二次方程x2＋x＋1＝0的根的情况是(　 )
A．两个不等的实数根 B．两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
2．已知方程x2－4x＋1＝0的两根为x1和x2，则x＋x＝________.
3．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0.
(1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求m的值．
逐点清(三)　由二次函数的零点求参数的范围
[典例]　函数y＝x2－5x＋1－m的两个零点均大于2，则实数m的取值范围是(　 )
A. B．(－∞，5)
C. D.
听课记录：
|思|维|建|模|
由二次函数的零点分布求参数范围的问题， 一般要结合对应一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系，列出不等式组进行求解，或者结合二次函数图象，得出开口方向、 对称轴、 判别式以及端点函数值符号(此端点指的是与方程的根比较大小的数)，列出不等式组进行求解．函数有两个零点说明函数图象与x轴有两个交点．　　
[针对训练]
已知方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根，则实数a的取值范围是(　 )
A．(0,1] B．(－∞，1)
C．(－∞，1] D．(－∞，0)∪(0,1]
3．3.1 从函数观点看一元二次方程
　[逐点清(一)]
[多维理解]
自变量x　横坐标　零点
[微点练明]　1.A　2.C　3.－3
4．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
　[逐点清(二)]
[多维理解]　－　x1,2＝　
x＝－
[微点练明]　1.C　2.14
3．解：(1)根据题意，
得Δ＝(2m＋1)2－4(m2－2)≥0，
解得m≥－，
∴m的最小整数值为－2.
(2)根据题意，得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2－2.
∵(x1－x2)2＋m2＝21，
∴(x1＋x2)2－4x1x2＋m2
＝(2m＋1)2－4(m2－2)＋m2＝21.
整理得m2＋4m－12＝0，
解得m1＝2，m2＝－6.
∵m≥－，∴m的值为2.
　[逐点清(三)]
[典例]　选D　设函数的两个零点分别为x1，x2，因为函数y＝x2－5x＋1－m的两个零点均大于2，所以方程x2－5x＋1－m＝0有两个不相等的根且两根均大于2，则x1－2>0，x2－2>0，所以
即解得－[针对训练]
选C　当a>0时，由Δ＝4－4a≥0，解得00，此时方程有两个负数根，符合题意；当a＝0时，方程的根为x＝－，符合题意；当a<0时，Δ＝4－4a>0，x1＋x2＝－>0，x1x2＝<0，此时方程有一个正数根和一个负数根，符合题意．所以实数a的取值范围是(－∞，1]．课时跟踪检测(十四)　从函数观点看一元二次方程
(满分90分，选填小题每题5分)
1．一元二次方程2x2＋px＋q＝0的两根为－1和2，那么二次三项式2x2＋px＋q可分解为(　　)
A．(x＋1)(x－2) B．(2x＋1)(x－2)
C．2(x－1)(x＋2) D．2(x＋1)(x－2)
2．从－1,0,3,5,7五个数中任意选取一个数，记为m，则使二次函数y＝mx2＋6x＋2与x轴有交点时的m的值有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．不解方程，判断关于x的方程2x2－(2m＋1)x＋(m2＋1)＝0的解集情况是(　　)
A． B．非空集
C．单元素集合 D．二元集
4．若非零实数a，b，c满足9a－3b＋c＝0，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为(　　)
A．3 B．－3
C．0 D．无法确定
5．若函数y＝x2－4x＋2m没有零点，则m的取值范围为(　　)
A．(－∞，4) B．(2，＋∞)
C．(6，＋∞) D．(－∞，8)
6．已知α，β是方程x2－2x－4＝0的两个实数根，则α3＋8β＋6的值为(　　)
A．－1 B．2
C．22 D．30
7．(多选)关于函数y＝mx2－4x－m＋5的零点，以下说法正确的是(　　)
A．当m＝0时，该函数只有一个零点
B．当m＝1时，该函数只有一个零点
C．当m＝－1时，该函数没有零点
D．当m＝2时，该函数有两个零点
8．定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是(　　)
A．a＝c B．a＝b
C．b＝c D．a＝b＝c
9．设x1，x2是函数y＝5x2－3x－2的两个零点，则＋的值为________．
10．若函数y＝2x2－3x－7的两个零点为a，b，则a2＋b2＝________.
11．若二次函数y＝x2＋mx的对称轴是x＝1，则关于x的方程x2＋mx＝3的解为________．
12．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是________．
13．若函数y＝(1－k)x2－2x－1有两个不相等的零点，则实数k的取值范围是________．
14．(12分)(1)已知函数y＝x2＋ax＋1，若不等式y≥0对一切x∈(0,1]恒成立，求实数a的最小值；
(2)若函数y＝x2＋ax＋1的一个零点比1大，另一个零点比1小，求实数a的取值范围．
15．(13分)若二次函数y＝x2＋(p－2)x－21的图象与x轴的交点为A(α，0)，B(β，0)，与y轴的交点为C.
(1)若α2＋β2＝51，求p的值；
(2)若△ABC的面积为105，求p的值．
课时跟踪检测(十四)
1．选D　∵一元二次方程2x2＋px＋q＝0的两根为－1和2，∴2(x＋1)(x－2)＝0，∴2x2＋px＋q可分解为2(x＋1)·(x－2). 故选D.
2．选B　因为是二次函数，所以m≠0.又因为二次函数图象与x轴有交点，故Δ＝36－8m≥0，即m≤，且m≠0.所以满足要求的m的值有2个．
3．选A　由判别式Δ＝(2m＋1)2－8(m2＋1)＝－4m2＋4m－7＝－(2m－1)2－6<0得方程的解集为空集．故选A.
4．选B　把x＝－3代入方程ax2＋bx＋c＝0，得9a－3b＋c＝0，即方程一定有一个根为x＝－3.
5．选B　由题意知，Δ＝16－8m<0，解得m>2.
6．选D　∵α是方程x2－2x－4＝0的实根，∴α2－2α－4＝0，即α2＝2α＋4，∴α3＝2α2＋4α＝2(2α＋4)＋4α＝8α＋8，∴原式＝8α＋8＋8β＋6＝8(α＋β)＋14，∵α，β是方程x2－2x－4＝0的两实根，∴α＋β＝2，∴原式＝8×2＋14＝30，故选D.
7．选AB　当m＝0时，函数y＝－4x＋5，令－4x＋5＝0，解得x＝，此时方程只有一个实数根，即函数只有一个零点，A正确；当m＝1时，函数y＝x2－4x＋4，令x2－4x＋4＝0，因为Δ＝(－4)2－4×1×4＝0，所以方程有两个相等的实数根，即函数只有一个零点，B正确；当m＝－1时，函数y＝－x2－4x＋6，令－x2－4x＋6＝0，因为Δ＝(－4)2－4×(－1)×6>0，所以方程有两个不相等的实数根，即函数有两个零点，C错误；当m＝2时，函数y＝2x2－4x＋3，令2x2－4x＋3＝0，因为Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，所以方程无实数根，即函数无零点，D错误．故选A、B.
8．选A　∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝0.又a＋b＋c＝0，即b＝－a－c，代入b2－4ac＝0得(－a－c)2－4ac＝0，化简得(a－c)2＝0，所以a＝c.
9．解析：因为x1，x2是函数y＝5x2－3x－2的两个零点，则x1，x2是方程5x2－3x－2＝0的两个实数根，所以x1＋x2＝，x1x2＝－.所以＋＝＝＝－.
答案：－
10．解析：因为函数y＝2x2－3x－7，所以根据根与系数的关系可知，两个零点a，b满足a＋b＝，ab＝－.所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝2－2×＝.
答案：
11．解析：由题意可知－＝1，解得m＝－2，所以方程x2－2x＝3的解为－1和3.
答案：－1和3
12．解析：∵二次函数的解析式是y＝x2－3x＋m(m为常数)，∴该抛物线的对称轴是直线x＝. 又∵二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，∴根据抛物线的对称性知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(2,0)，∴关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根分别是x1＝1，x2＝2.
答案：x1＝1，x2＝2
13．解析：函数y＝(1－k)x2－2x－1有两个不相等的零点，即一元二次方程(1－k)x2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则解得k<2且k≠1.
答案：(－∞，1)∪(1,2)
14．解：(1)函数y＝x2＋ax＋1≥0对一切x∈(0,1]恒成立，即－a≤x＋对一切x∈(0,1]恒成立，设y＝x＋，x∈(0,1]，则y＝x＋≥2(当且仅当x＝1时，等号成立)，所以－a≤2，即a≥－2.所以a的最小值为－2.
(2)若函数y＝x2＋ax＋1的一个零点比1大，另一个零点比1小，由二次函数的图象可知，当x＝1时，y＝2＋a<0，即a<－2.故实数a的取值范围为(－∞，－2)．
15．解：(1)由题意，令x2＋(p－2)x－21＝0，
Δ＝(p－2)2＋84>0，∴方程有两个不同的实根，易知α，β为方程x2＋(p－2)x－21＝0的两个实根，则∴α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝51，
∴(2－p)2＋42＝51，解得p＝－1或p＝5.即p的值为－1或5.
(2)由题意知C(0，－21)，则S△ABC＝|α－β|×21＝105，∴|α－β|＝10，∴(α＋β)2－4αβ＝100，
∴(2－p)2＋84＝100，解得p＝－2或p＝6.即p的值为－2或6.

展开更多......

收起↑