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阶段质量评价(三)　函数概念与性质
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)
1．下列各组函数表示相同函数的是(　　)
A．f(x)＝和g(x)＝()2
B．f(x)＝1和g(x)＝x0
C．f(x)＝|x|和g(x)＝
D．f(x)＝x＋1和g(x)＝
2．已知f(3x－1)＝9x2，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)＝9x2 B．f(x)＝(x＋1)2
C．f(2)＝36 D．f(－2)＝－1
3．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．4
C．6 D．8
4．若偶函数f(x)在(－∞，－1]上单调递增，则(　　)
A．f(－1.5)＜f(－1)＜f(2)
B．f(－1)＜f(－1.5)＜f(2)
C．f(2)＜f(－1)＜f(－1.5)
D．f(2)＜f(－1.5)＜f(－1)
5．若函数f(x)＝ax2＋(a＋6)x－5在区间(－∞，1)上单调递增，则a的取值范围为(　　)
A．[－2,0] B．[－2,0)
C．(－2,0] D．(－2,0)
6．已知函数f(x)＝ax2＋(b＋2)x－3是定义在(3a－1，a)上的偶函数，则ab的值是(　　)
A．－2 B．－
C．2 D.
7．已知a>0，设函数f(x)＝x5＋2x＋b，x∈[－a，a]，b∈Z，若f(x)的最大值为M，最小值为m，那么M和m的值可能为(　　)
A．4与3 B．3与2
C．4与2 D．7与4
8．已知f(x)是奇函数，在区间(－∞，0)上单调递增，又f(－3)＝0，那么xf(x)<0的解集是(　　)
A．{x|－33}
B．{x|x<－3或x>3}
C．{x|x<－3或0D．{x|－3二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．)
9．若函数f(x)定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(0)≠0，f(1)＝1，则下列结果正确的是(　　)
A．f(2)＝－2 B．f(3)＝－2
C．f(4)＝1 D．f(5)＝1
10．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)·g(x)是偶函数
B．|f(x)|·g(x)是奇函数
C．f(x)·|g(x)|是奇函数
D．|f(x)·g(x)|是偶函数
11．若定义域是[－1,1]的函数y＝f(x)满足：① x1，x2∈[0,1]，都有<0；② x1，x2∈[－1,1]，且x1±x2∈[－1,1]，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)f(x2)．则下列结论正确的是(　　)
A．f(0)＝1
B．f(1)＝0
C．函数y＝f(x)是偶函数
D． x∈[－1,1]，都有f(x)≥－1
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．)
12．若已知函数f(4x－1)的定义域为[0，m]，则可求得函数f(2x－1)的定义域为[0,2]．则实数m的值为________．
13．函数f(x)＝|－x2＋4x|的单调递增区间为________．
14．已知函数y＝给出下面四个结论：
①对 y∈[6，＋∞)，都只有唯一的x与之对应；
②对 y∈[2,6]，都有两个不同的x与之对应；
③对 y∈(1,2)，都有三个不同的x与之对应；
④ y∈R，有四个不同的x与之对应．
其中正确结论的序号是________．(把你认为正确的结论的序号都填上)
四、解答题(本大题共5小题，共77分．)
15．(13分)经研究发现，学生对概念的接受能力y与老师讲解概念所用的时间x(0≤x≤20)(单位：min)之间有如下关系：
x 2 5 7 10 12 13 14 17 20
y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
(1)上表中两个变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，是否是函数关系？
(2)当老师讲解概念所用的时间是10 min时，学生对概念的接受能力是多少？
(3)根据表格中的数据，你认为老师讲解概念所用的时间为多少时，学生对概念的接受能力最强？
16．(15分)已知函数f(x)＝的图象经过点(1,2)．
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数f(x)的奇偶性并说明理由．
17．(15分)已知函数f(x)＝.
(1)若函数f(x)定义域为R，求a的取值范围；
(2)若函数f(x)值域为[0，＋∞)，求a的取值范围．
18．(17分)函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明f(x)在(－1,1)上为增函数；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
19．(17分)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，利用函数图象解决下列问题．
(1)若x1(2)若函数f(x)在区间D上的值域也为D，则称函数f(x)具有较好的保值性，这个区间称为保值区间，保值区间有三种形式：(－∞，m]，[m，n]，[m，＋∞)．试问f(x)＝x2－2x＋2是否具有较好的保值性？若具有，求出保值区间．
阶段质量评价(三)
1．选C　对于A，函数f(x)＝的定义域为R，函数g(x)＝()2的定义域为[0，＋∞)，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；对于B，函数f(x)＝1的定义域为R，函数g(x)＝x0的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；对于C，函数f(x)＝|x|＝与g(x)＝的定义域和对应关系都相同，所以表示相同的函数；对于D，函数f(x)＝x＋1的定义域为R，函数g(x)＝的定义域为{x|x≠1}，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数．
2．选B　因为f(3x－1)＝9x2＝(3x－1)2＋2(3x－1)＋1, 所以f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，则f(2)＝9，f(－2)＝1.
3．选C　当0＜a＜1时，a＋1＞1，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，解得a＝或a＝0(舍去)．
∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
当a≥1时，a＋1≥2，
∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∴2(a－1)＝2a，无解．
综上，f＝6.
4．选D　∵f(x)是偶函数，∴f(2)＝f(－2)．又∵f(x)在(－∞，－1]上单调递增，∴f(－2)5．选A　对于f(x)＝ax2＋(a＋6)x－5在(－∞，1) 上单调递增，若a＝0，f(x)＝6x－5 是增函数，满足题意；若a≠0，则有解得－2≤a<0.综上，a∈[－2，0]．
6．选B　因为f(x)＝ax2＋(b＋2)x－3为定义在(3a－1，a)上的偶函数，所以定义域关于原点对称且有f(－x)＝f(x)．所以3a－1＋a＝0且b＋2＝－(b＋2)，解得a＝，b＝－2.所以ab＝×(－2)＝－.
7．选C　令g(x)＝x5＋2x，g(－x)＝－x5－2x，∴－g(x)＝g(－x)．∴g(x)为奇函数．设g(x)的最大值为t，最小值为－t，∴M＝b＋t，m＝b－t，可得M＋m＝2b.∵b∈Z，∴2b为偶数．
8．选D　因为f(x)是奇函数，f(－3)＝0，且在(－∞，0)上单调递增，所以f(3)＝0，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增．①当x>0时，原不等式可化为f(x)<0＝f(3)．又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以00＝f(－3)．又f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以－39．选BD　令x＝1，y＝0，则f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，解得f(0)＝2.令x＝y＝1，则f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)＝1，解得f(2)＝－1.令x＝2，y＝1，则f(3)＋f(1)＝f(2)f(1)＝－1，解得f(3)＝－2.令x＝y＝2，则f(4)＋f(0)＝f(2)f(2)＝1，解得f(4)＝－1.令x＝3，y＝2，则f(5)＋f(1)＝f(3)f(2)＝2，解得f(5)＝1.故B、D正确，A、C错误．
10．选CD　因为函数f(x)，g(x)的定义域都为R，所以各选项中函数的定义域也为R，且关于原点对称．因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．对于A，因为f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)，所以函数f(x)·g(x)是奇函数，故A错误；对于B，因为|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|·g(x)，所以函数|f(x)|·g(x)是偶函数，故B错误；对于C，因为f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|，所以函数f(x)·|g(x)|是奇函数，故C正确；对于D，因为|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|，所以函数|f(x)·g(x)|是偶函数，故D正确．
11．选ACD　对于A，令x2＝0， x1∈[0,1]，则f(x1)＋f(x1)＝2f(x1)f(0)，即f(x1)·[f(0)－1]＝0，由①可知，y＝f(x)在[0,1]上单调递减，则有f(x1)不恒为0，所以f(0)－1＝0，即f(0)＝1，所以A正确；对于B，令x2＝0，x1＝1，则f(1)＋f(1)＝2f(1)f(0)，又由A可知f(0)＝1，所以无法确定f(1)，所以B错误；对于C，令x1＝0，x2＝x，x∈[－1,1]，则f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)＝2f(x)，即f(－x)＝f(x)，所以函数y＝f(x)是偶函数，所以C正确；对于D，令x1＝x2＝，x∈[－1,1]，则f(x)＋f(0)＝2f·f＝22≥0，所以f(x)≥－f(0)＝－1，所以D正确．
12．解析：在函数f(4x－1)中，0≤x≤m －1≤4x－1≤4m－1；在函数f(2x－1)中，0≤x≤2 －1≤2x－1≤3.所以4m－1＝3，m＝1.
答案：1
13．解析：f(x)＝|－x2＋4x|＝作出函数f(x)的图象，如图所示．
由图可知f(x)的单调递增区间为(0,2)，(4，＋∞)．
答案：(0,2)，(4，＋∞)
14．解析：由题意知，当x≤0时，y∈(－∞，6]，
当x>0时，y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，则y∈[1，＋∞)，且图象不过点(0,2)，图象最低点为(1,1)．画出分段函数的草图，如图所示．
当y＝6时，有两个不同的x与之对应，所以①错误；
当y＝2时，点(0,2)取不到，有两个不同的x与之对应，所以②正确；
当x＝1时，y＝1，所以当y＝1时，x有两个值， y∈(1,2)，有3个不同的x与之对应，所以③正确；
观察图象， y∈R，最多有3个不同的x与之对应，所以④错误．
答案：②③
15．解：(1)题表中两个变量之间存在依赖关系，且是函数关系．
(2)由题中表格，可知当老师讲解概念所用的时间为10 min时，学生对概念的接受能力是59.
(3)由题中表格，可知当老师讲解概念所用的时间为13 min时，学生对概念的接受能力最强．
16．解：(1)由题意知，函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．
因为函数f(x)＝的图象经过点(1,2)，
所以f(1)＝＝2，解得a＝1.
所以f(x)＝＝x＋(x≠0)．
(2)函数f(x)为{x|x≠0}上的奇函数．理由如下：
由(1)知f(x)＝x＋(x≠0)，
由于x≠0，其定义域关于原点对称，
f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
17．解：(1)因为函数f(x)定义域为R，
所以a(x2＋1)－4x＋3≥0在R上恒成立．
当a＝0时，－4x＋3≥0 x≤，不符合题意；
当a≠0时，要想a(x2＋1)－4x＋3≥0在R上恒成立，即ax2－4x＋3＋a≥0在R上恒成立，
只需 a≥1.
所以a的取值范围为[1，＋∞)．
(2)当a＝0时，－4x＋3≥0 x≤，f(x)＝符合题意；
当a≠0时，要想函数f(x)值域为[0，＋∞)，
只需 0综上所述，a的取值范围为[0,1]．
18．解：(1)由题意，得f(－x)＝－f(x)，即＝，解得b＝0，
此时f(x)＝.又f＝，
所以f＝＝，解得a＝1.
所以f(x)＝.
(2)证明：任取x1，x2∈(－1,1)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为x1，x2∈(－1,1)，所以(1＋x)·(1＋x)>0,1－x1x2>0.
因为x1所以f(x1)－f(x2)<0.
所以f(x)在(－1,1)上为增函数．
(3)因为函数f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
所以由f(t－1)＋f(t)<0，
得f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．
又因为f(x)在(－1,1)上为增函数，
所以解得0故不等式的解集为.
19．解：(1)作出f(x)＝(x－1)2＋1的图象，如图所示．
由图知，当x1f(x2)．
(2)f(x)具有较好的保值性．
由f(x)的图象知，f(x)的值域是[1，＋∞)．
当x∈(－∞，m]时，f(x)趋向＋∞，不符合题意．
当x∈[m，n]时，要使值域为[m，n]，
则
所以m，n是方程x2－2x＋2＝x的两个根，解得m＝1，n＝2.
所以保值区间是[1,2]．
当x∈[m，＋∞)时，要使值域为[m，＋∞)，则解得m＝1或m＝2.
所以保值区间是[1，＋∞)，[2，＋∞)．
综上，f(x)＝x2－2x＋2具有较好的保值性，保值区间是[1,2]，[1，＋∞)，[2，＋∞)．

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