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(共41张PPT)
4.1.1
根　式
(教学方式:基本概念课—逐点理清式教学)
课时目标
理解n次方根、根式的概念,明确正数的偶次方根有两个,偶次根式下被开方数必须非负.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一)　n次方根
逐点清(二)　根　式
逐点清(三)　根式的化简与求值
4
课时跟踪检测
逐点清(一)　n次方根
01
多维理解
定义 一般地,如果_______ (n>1,n∈N*),那么称x为a的n次方根 个数 n为 奇数 a>0 x>0 x仅有一个值,记为x=______
a<0 x<0 n为 偶数 a>0 x有两个值,且互为相反数,记为x=______ a<0 x不存在 注意 0的n次方根等于_____ xn=a
±
0
|微|点|助|解| 　
(1)在n次方根的概念中,关键是数a的n次方根x满足xn=a,因此求一个数a的n次方根,就是求一个数的n次方等于a.
(2)n次方根实际上就是立方根与平方根的推广.
(3)n次方根的概念表明,乘方与开方是互逆运算.
1.(多选)若xn=a(x≠0),则下列说法正确的是 (　 )
A.当n为奇数时,x的n次方根为a
B.当n为奇数时,a的n次方根为x
C.当n为偶数时,x的n次方根为±a
D.当n为偶数时,a的n次方根为±x
微点练明
√
√
解析：当n为奇数时,a的n次方根只有1个,为x;当n为偶数时,由于(±x)n=xn=a,所以a的n次方根有2个,为±x.所以B、D的说法是正确的,故选B、D.
2.(多选)下列说法正确的是 (　 )
A.=3 B.16的4次方根是±2
C.=±3 D.=|x+y|
解析：负数的3次方根是一个负数,=-3,故A错误;16的4次方根有两个,为±2,故B正确;=3,故C错误;是非负数,所以=|x+y|,故D正确.
√
√
逐点清(二)　根　式
02
多维理解
1.根式
式子叫作根式,其中n叫作__________,a叫作___________.
2.根式的性质(n>1,n∈N*)
(1)当n为奇数时,=____.
(2)当n为偶数时,=_____=
(3)=___. (4)负数没有_____方根.
根指数
被开方数
a
|a|
0
偶次
|微|点|助|解| 　 根式符号的注意点
(1)n>1,且n∈N*.
(2)当n为大于1的奇数时,对任意的实数a都有意义,它表示a在实数范围内唯一的一个n次方根,从而有()n=a.
(3)当n为大于1的偶数时,只有当a≥0时才有意义;(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根,a的另一个n次方根是-,从而有(±)n=a.
(4)式子对任意a∈R都有意义.
微点练明
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)()5=-2.(　 )
(2)()4=-2.(　 )
(3)()4=2.(　 )
(4)=-5.(　 )
×
×
√
√
(5)=b.(　 )
(6)=b2.(　 )
(7)()n总有意义.(　 )
(8) 总有意义.(　 )
√
×
×
√
2.已知xy≠0,且=-2xy,则以下结论正确的是(　 )
A.xy<0 B.xy>0
C.x>0,y>0 D.x<0,y<0
解析：由=|2xy|=-2xy,xy≠0知xy<0.所以x,y异号,A正确.
√
3.若x≠0,则|x|-的值为(　 )
A.-1 B.0
C.1 D.2
解析：因为x≠0,所以|x|-=|x|-|x|+=1.
√
4.若,则实数a的取值范围是(　 )
A.R B.{0}
C. D.
解析：由,可得2a-1≤0,即a≤.所以实数a的取值范围是.
√
逐点清(三)　根式的化简与求值
03
[典例]　化简下列各式:
(1) (n>1,且n∈N*);
解：=|3-π|.当n为奇数时,=3-π;当n为偶数时,=|3-π|=π-3.
(2) .
解： =|x-y|.当x≥y时,=x-y;当x|思|维|建|模|
化简根式的注意点
(1)在根式计算中,含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0,而中a可以是任何实数.
(2)对于形如(m>0,n>0)的双重根式,当满足a>b>0,a+b=m,ab=n时,有.
针对训练
求下列各式的值:(1);
解:法一:原式=+1+-1=2.
法二:令x=,两边平方得x2=6+2=8.
因为x>0,所以x=2.
(2).
解: 原式=-(2-)+2-=2.
课时跟踪检测
04
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1.已知m10=2,则m= (　 )
A. B.-
C. D.±
解析：因为m10=2,所以m是2的10次方根.又10是偶数,所以2的10次方根有两个,且互为相反数.所以m=±.
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2.若m3=64,则=(　 )
A.±8 B.8
C.4 D.2
解析：因为m3=64,所以m=4.则=2,故选D.
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3.若a<,则化简的结果是(　 )
A.4a-1 B.1-4a
C.- D.-
解析：∵a<,∴4a-1<0.∴=|4a-1|=-(4a-1)=1-4a.
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4.若m=,n=,则m+n的值为(　 )
A.-7 B.-1
C.1 D.7
解析：m+n=|π-3|+|π-4|=π-3+4-π=1.
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5.化简等于(　 )
A.π-π-1 B.π-1-π
C.π+π-1 D.0
解析：=|π-1-π|=π-π-1.
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6.当a>0时,等于(　 )
A.x B.x
C.-x D.-x
解析：由题设得-ax3≥0,因为a>0,所以x≤0.故=-x.故选C.
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7.若=0,a≠0,且n∈N*,n≥2,则(　 )
A.a>0,且n为偶数 B.a<0,且n为偶数
C.a>0,且n为奇数 D.a<0,且n为奇数
解析：依题意,+a=0,即=-a,而a≠0,且n∈N*,n≥2,若n为奇数,则=a,必有a=0,矛盾,于是得n为偶数,此时,-a=>0,即a<0.所以a<0,且n为偶数,B正确.
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8.已知a,b∈R,下列各式总能成立的有 (　 )
A.()6=a-b B.=a2+b2
C.=a-b D.=a+b
解析：A显然错误;B中,∵a2+b2≥0,∴B一定成立;C和D中,
∵a,b∈R,∴=|a|,=|b|,=|a+b|.故C和D错误.
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9.下列式子成立的是　 (　 )
A.a B.a=-
C.a=- D.a
解析：要使a有意义,则a≤0,故a=-(-a)=-=-.
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10.镜片的厚度是由镜片的折射率决定,镜片的折射率越高,镜片越薄,同时镜片越轻,也就会带来更为舒适的佩戴体验.某次社会实践活动中,甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片,折射率分别为.则这三种镜片中,制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为(　 )
A.甲同学和乙同学 B.丙同学和乙同学
C.乙同学和甲同学 D.丙同学和甲同学
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解析： ()10=52=25,()10=25=32.∵25<32,∴.又∵=32=9,=23=8,∴.∴.
又∵镜片折射率越高,镜片越薄,∴甲同学制作的镜片最厚,
乙同学制作的镜片最薄.
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11.若=m,则的结果是(　 )
A.m2+2 B.m2-2
C.+2 D.-2
解析：因为m2==y+-2,所以+y=m2+2.
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12.等式=(5-x)成立的x取值范围是　　 　.
解析：要使=|x-5|=(5-x)成立,则所以-5≤x≤5.
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[-5,5]
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13.化简:=　　.
解析：=3++3-=6.
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14.(7分)已知x=,y=,求的值.
解:.将x=,y=代入上式,得原式==-24=-8.
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15.(8分)设f(x)=,若0解:f,
因为016
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16.(10分)求证:(其中A>0,B>0,A2-B>0).
证明:设=x,x>0,两边平方,
得x2=+2=A+.
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由x>0,得x=,
所以 .
同理可得.由此得证.
164．1.1　根式—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]　
理解n次方根、根式的概念，明确正数的偶次方根有两个，偶次根式下被开方数必须非负．
逐点清(一)　n次方根
[多维理解]
定义 一般地，如果________(n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次方根
个数 n为奇数 a>0 x>0 x仅有一个值，记为x＝ ________
a<0 x<0
n为偶数 a>0 x有两个值，且互为相反数，记为x＝________
a<0 x不存在
注意 0的n次方根等于
|微|点|助|解|　
(1)在n次方根的概念中，关键是数a的n次方根x满足xn＝a，因此求一个数a的n次方根，就是求一个数的n次方等于a.
(2)n次方根实际上就是立方根与平方根的推广．
(3)n次方根的概念表明，乘方与开方是互逆运算．
[微点练明]
1．(多选)若xn＝a(x≠0)，则下列说法正确的是(　 )
A．当n为奇数时，x的n次方根为a
B．当n为奇数时，a的n次方根为x
C．当n为偶数时，x的n次方根为±a
D．当n为偶数时，a的n次方根为±x
2．(多选)下列说法正确的是(　 )
A.＝3 B．16的4次方根是±2
C.＝±3 D.＝|x＋y|
逐点清(二)　根　式
[多维理解]
1．根式
式子叫作根式，其中n叫作__________，a叫作__________．
2．根式的性质(n>1，n∈N*)
(1)当n为奇数时， ＝.
(2)当n为偶数时，＝____＝
(3)＝.　(4)负数没有________方根．
|微|点|助|解|　
根式符号的注意点
(1)n＞1，且n∈N*.
(2)当n为大于1的奇数时，对任意的实数a都有意义，它表示a在实数范围内唯一的一个n次方根，从而有()n＝a.
(3)当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义；(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，a的另一个n次方根是－，从而有(±)n＝a.
(4)式子对任意a∈R都有意义．
[微点练明]
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)()5＝－2.(　 )
(2)()4＝－2.(　 )
(3)()4＝2.(　 )
(4)＝－5.(　 )
(5)＝b.(　 )
(6)＝b2.(　 )
(7)()n总有意义．(　 )
(8) 总有意义．(　 )
2．已知xy≠0，且＝－2xy，则以下结论正确的是(　 )
A．xy<0 B．xy>0
C．x>0，y>0 D．x<0，y<0
3．若x≠0，则|x|－＋的值为(　 )
A．－1 B．0
C．1 D．2
4．若＝，则实数a的取值范围是(　 )
A．R B．{0}
C. D.
逐点清(三)　根式的化简与求值
[典例]　化简下列各式：
(1) (n>1，且n∈N*)；
(2) .
听课记录：
　|思|维|建|模|
化简根式的注意点
(1)在根式计算中，含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0，而中a可以是任何实数．
(2)对于形如(m>0，n>0)的双重根式，当满足a>b>0，a＋b＝m，ab＝n时，有＝±.　
[针对训练]
求下列各式的值：
(1)＋；
(2)－＋.
4．1.1　根　式
　[逐点清(一)]
[多维理解]　xn＝a　　±　0
[微点练明]　1.BD　2.BD
　[逐点清(二)]
[多维理解]　1.根指数　被开方数
2．(1)a　(2)|a|　a　－a　(3)0　(4)偶次
[微点练明]　1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√　(7)×　(8)√
2．A　3.C　4.D
　[逐点清(三)]
[典例]　解：(1)＝|3－π|.当n为奇数时，＝3－π；当n为偶数时，＝|3－π|＝π－3.
(2)＝|x－y|.
当x≥y时，＝x－y；
当x[针对训练]
解：(1)法一：原式＝＋＝＋＝＋1＋－1＝2.
法二：令x＝＋，两边平方得x2＝6＋2＝8.
因为x>0，所以x＝2.
(2)原式＝－＋＝＋－(2－)＋2－＝2.课时跟踪检测(十七)　根　式
(满分90分，选填小题每题5分)
1．已知m10＝2，则m＝(　　)
A. B．－
C. D．±
2．若m3＝64，则＝(　　)
A．±8 B．8
C．4 D．2
3．若a<，则化简的结果是(　　)
A．4a－1 B．1－4a
C．－ D．－
4．若m＝，n＝，则m＋n的值为(　　)
A．－7 B．－1
C．1 D．7
5．化简等于(　　)
A．π－π－1 B．π－1－π
C．π＋π－1 D．0
6．当a>0时，等于(　　)
A．x B．x
C．－x D．－x
7．若＋()n＋1＝0，a≠0，且n∈N*，n≥2，则(　　)
A．a>0，且n为偶数 B．a<0，且n为偶数
C．a>0，且n为奇数 D．a<0，且n为奇数
8．已知a，b∈R，下列各式总能成立的有(　　)
A．(－)6＝a－b B.＝a2＋b2
C.－＝a－b D.＝a＋b
9．下列式子成立的是(　　)
A．a＝ B．a＝－
C．a＝－ D．a＝
10．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，.则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为(　　)
A．甲同学和乙同学 B．丙同学和乙同学
C．乙同学和甲同学 D．丙同学和甲同学
11．若－＝m，则的结果是(　　)
A．m2＋2 B．m2－2
C.＋2 D.－2
12．等式＝(5－x)成立的x取值范围是________．
13．化简：＋＝____________.
14．(7分)已知x＝，y＝，求－的值．
15．(8分)设f(x)＝，若016．(10分)求证：＝±(其中A>0，B>0，A2－B>0)．
课时跟踪检测(十七)
1．选D　因为m10＝2，所以m是2的10次方根．又10是偶数，所以2的10次方根有两个，且互为相反数．所以m＝±.
2．选D　因为m3＝64，所以m＝4.则＝＝2，故选D.
3．选B　∵a<，∴4a－1<0.
∴＝|4a－1|＝－(4a－1)＝1－4a.
4．选C　m＋n＝|π－3|＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1.
5．选A　
＝
＝＝
＝|π－1－π|＝π－π－1.
6．选C　由题设得－ax3≥0，因为a>0，所以x≤0.故＝－x.故选C.
7．选B　依题意，＋()n＋1＝＋a＝0，即＝－a，而a≠0，且n∈N*，n≥2，若n为奇数，则＝a，必有a＝0，矛盾，于是得n为偶数，此时，－a＝>0，即a<0.所以a<0，且n为偶数，B正确．
8．选B　A显然错误；B中，∵a2＋b2≥0，∴B一定成立；C和D中，∵a，b∈R，
∴＝|a|，＝|b|，＝|a＋b|.故C和D错误．
9．选C　要使a有意义，则a≤0，
故a＝－(－a)＝－＝－.
10．选C　()10＝52＝25，()10＝25＝32.∵25<32，∴<.又∵()6＝32＝9，()6＝23＝8，∴>.∴<<.又∵镜片折射率越高，镜片越薄，∴甲同学制作的镜片最厚，乙同学制作的镜片最薄．
11．选A　因为m2＝2＝y＋－2，所以＝＋y＝m2＋2.
12．解析：要使＝＝|x－5|＝(5－x)·成立，
则所以－5≤x≤5.
答案：[－5,5]
13．解析：＋＝＋ ＝3＋＋3－＝6.
答案：6
14．解析：－＝－＝.将x＝，y＝代入上式，得原式＝＝＝－24＝－8.
答案：－8
15．解：f＝＝＝ ＝，
因为016．证明：设 ＋＝x，x＞0，两边平方，
得x2＝＋＋
2 ＝A＋.
由x>0，得x＝，
所以 ＋＝.
同理可得 －＝.由此得证．

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