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2024-2025 学年湖南省长沙大学附中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1.已知函数 ( ) = 在点(1, 1)处的切线与曲线 =
2 + ( 1) 2 只有一个公共点，则实数
的取值范围为( )
A. {1,9} B. {0,1,9} C. { 1, 9} D. {0, 1, 9}
2.为了迎接 2023 年五四青年节，厦门一中计划在两个校区各布置一个优秀青年校友的事迹展板，由甲、乙
在内的 5 名学生志愿者协助布置，每人参与且只参与一个展板的布置，每个展板都至少由两人安装，若甲
和乙必须安装不同的展板，则不同的分配方案种数为( )
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
3.某产品的销售收入 1，生产成本 2，产量 ( > 0)之间满足以下函数， 2 31 = 25 , 2 = 3 2 2，要使
利润 = 1 2最大，则 =( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
4.已知数列{ }满足 2 +1 2 = +1，且 1 = 3，则 2023 =( )
A. 3 B. 12 C. 2 D.
4
3
5.在△ 中， = 3， = 5，点 满足 = 2 ，点 为△ 的外心，则 的值为( )
A. 17 B. 10 C. 17 592 D. 6
6.奇函数 ( )和偶函数 ( )的图象分别如图 1、图 2 所示，方程 [ ( )] = 0 和 [ ( )] = 0 的实根个数分别
， ，则 + =( )
A. 3 B. 7 C. 10 D. 14
7.已知 = 20232025， = 20242024， = 20252023，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
8.若关于 的不等式 + + 2 1 2 ≥ + 恒成立，则实数 的最大值为( )
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1 2A. B. C. 1 D. 22 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9
2
.设椭圆 ： + 22 = 1( > > 0)的左右焦点为 1， 2， 是 上的动点，则下列结论正确的是( )
A. | 1| + | 2| = 2 2
B. 6离心率 = 2
C. △ 1 2面积的最大值为 2
D.以线段 1 2为直径的圆与直线 + 2 = 0 相切
10.函数 ( ) = 3 + 2 3 + 1 的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. = 13， = 2
B.若方程 ( ) = ( ∈ ) 3 7有 个不同的实数根，则 ∈ (1, 3 )
C.直线 = 3 是曲线 = ( )的切线
D.点( 2, 53 )是曲线 = ( )的对称中心
11.已知函数 ( ) = ( ) 有两个不同零点 1， 2， 1 < 2，则下列选项正确的是( )
A. < 2 B. 1 + 2 = 0
C. ( 1 + 1)( 2 + 1)( 1 + 2) > 8 D. 1 + 2 < 2 < + 2 +
4
1 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 ∈ (0, ), tan( + ) = 22 4 3 ，则 2 = ______．
13.已知三棱锥 的顶点 在底面的射影 为△ 的垂心，若 2△ △ = △ ，且三棱锥
的外接球半径为 3，则 △ + △ + △ 的最大值为______．
14 1 4 .已知实数 > > 0，当 2 + + + +2 取得最小值时，则 的值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某高校共有 15000 人，其中男生 10500 人，女生 4500 人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，
采用分层抽样的方法，收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)
(1)应收集多少位女生样本数据？
(2)根据这 300 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据
分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 个小
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时的概率．
(3)视样本数据的频率为概率，现从全校取 4 名学生，记 为这四名学生中运动时间超过 4 小时的人数，求
的分布列以及数学期望．
16.(本小题 15 分)
2 2
给定椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)，称圆心在原点 ，半径为
2 + 2的圆是椭圆 的“卫星圆”.若椭圆
2
的离心率 2 ，点(2, 2)在 上．
(Ⅰ)求椭圆 的方程和其“卫星圆”方程；
(Ⅱ)点 是椭圆 的“卫星圆”上的一个动点，过点 作直线 1， 2，使得 1 ⊥ 2，与椭圆 都只有一个交点，
且 1， 2，分别交其“卫星圆”于点 ， ，证明：弦长| |为定值．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 5 + ．
(1)若函数 ( )有两个零点，求实数 的取值范围；
(2)若函数 ( )的一个零点在(0,1)内，另一个零点在(2,3)内，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( )的定义域为 且满足 ( ) + ( ) = 2，当 ≥ 0 时， ′( ) < ．
(1)判断 ( )在( ∞,0]上的单调性并加以证明；
(2)若方程 ( ) = 有实数根 0，则称 0为函数 ( )的一个不动点，设正数 0为函数 ( ) = + (1 ) +
+ 1 1的一个不动点，且 ( 0) + 2 ≥ (1 0) + 0，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
设函数 ( ) = + ( > 0)， ( ) = ， ( ) = ( ) ( )， ( )的极大值点为 = 0．
(1)求 ；
(2)若曲线 = ( )， = ( )上分别存在两点 ， ， ， ，使得四边形 为边平行于坐标轴的矩形，
求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 34
13.18
14.4
15.(1)因为男生 10500 3人，女生 4500 人，所以抽取女生占总人数的比例为10．
3
又因为分层抽样收集 300 位学生，所以女生样本数据应收集为10 × 300 = 90．
(2)由频率分布直方图可知，
学生每周平均体育运动时间超过 4 个小时的频率为(0.15 + 0.125 + 0.075 + 0.025) × 2 = 0.75．
估计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 个小时的概率 0.75．
(3)由(2)可知运动时间超过 4 3 3小时的概率为4，则 ～ (4, 4 )，
所以 ( = 0) = 04 × (
1
4 )
4 × ( 34 )
0 = 1256，
( = 1) = 14 × (
1 3 3 1 3
4 ) × ( 4 ) = 64，
( = 2) = 24 × (
1 2
4 ) × (
3 2 27
4 ) = 128，
( = 3) = 3 × ( 1 )14 4 × (
3 3
4 ) =
27
64，
( = 4) = 44 × (
1 )04 × (
3 )4 = 814 256，
则 的分布列为：
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0 1 2 3 4
1 3 27 27 81
256 64 128 64 256
则 ( ) = 4 × 34 = 3．
= 2
16.解：(Ⅰ)由条件可得： 24 2 解得 = 2 2, = 2，
2 + 2 = 1
2 2
所以椭圆的方程为 8 + 4 = 1，
卫星圆的方程为 2 + 2 = 12 ，
(Ⅱ)①当 1, 2中有一条无斜率时，不妨设 1无斜率，
因为 1与椭圆只有一个公共点，则其方程为 = 2 或 = 2，
当 1方程为 = 2 时，此时 1与“卫星圆”交于点(2,2 2)和(2, 2 2)，
此时经过点(2,2 2)和(2, 2 2)，且与椭圆只有一个公共点的直线是 =± 2 2，
∵ 1 ⊥ 2，
∴线段 应为“卫星圆”的直径，∴ | | = 4 3·
②当 1, 2都有斜率时，设点 0, 0 ，其中 02 + 02 = 12，
设经过点 0, 0 与椭圆只有一个公共点的直线为 = 0 + 0，
= 0 + 0
则 2 2 ,
4 +

8 = 1
消去 得到(1 + 2 2) 2 + 4 ( 0 0) + 2( 0 20) 8 = 0，
∴ = (64 8 2) 20 + 16 20 0 + 32 8 0 = 0·
32 8 2 2
∴ = 0
32 8(12
= 0
)
1 2 = 1·64 8 2 64 8 20 0
所以 1· 2 = 1，满足条件的两直线 1, 2垂直.
∴线段 应为“卫星圆”的直径，∴ | | = 4 3，
综合①②知：因为 1, 2经过点 0, 0 ，又分别交其卫星圆于点 ，且 1, 2垂直，
所以线段 为卫星圆 02 + 02 = 12 的直径，
所以弦长 MN 为定值 4 3．
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2
17. 5解：(1)由题意，可得 = 25 4 > 0，则 2 < < 0 或 0 < <
5
2． ≠ 0
5 5即实数 的取值范围为：{ | 2 < < 0 或 0 < < 2 }；
(2)由 ( )的两个零点一个在(0,1)内，另一个在(2,3)内，故 ≠ 0，
(0) > 0
(1) < 0 > 0
当 ( ) 5 + < 0 3的图象开口向上时， (2) < 0，所以 4 10 + < 0，解得2 < < 2．
(3) > 0 9 15 + > 0
> 0
(0) < 0
(1) > 0 < 0
当 ( )的图象开口向下时， (2) > 0 5 + > 0，所以 4 10 + > 0，解得 ∈ ；
(3) < 0 9 15 + < 0
< 0
3
综上， 的取值范围为( 2 , 2)．
18.解：(1)令 ( ) = ( ) 12
2，则 ′( ) = ′( ) ，
因为当 ≥ 0 时， ′( ) < ，即 ′( ) < 0，故 ( )在[0, + ∞)上单调递减，
又 ( ) + ( ) = 2，所以 ( ) + ( ) = 0，
故 ( )为奇函数，根据奇函数的对称性可知， ( )在( ∞,0)上单调递减，
因为 = 1 22 在( ∞,0]上单调递减，
故 ( ) = ( ) + 12
2在( ∞,0]上单调递减．
(2)由(1)可知， ( )在 上单调递减，
( ) + 1由 0 2 ≥ (1 0) + 0，可得 ( 0) ≥ (1 0)，
1
所以 0 ≤ 1 0，即 0 ≤ 2，
因为正数 0为函数 ( ) = + (1 ) + + 1 的一个不动点，
1
所以 ( ) = 在(0, 2 ]上有解，
即 + (1 ) + 1 = 0 在(0, 12 ]上有解，
=
+1 = (
1)+ +1 +1
整理可得， 1 1 = + 1，
( ) = + +1

( ) = ( 2)令 1，则 ′ ( 1)2 ，
设 ( ) = 2， ∈ (0, 12 ],
则 ′( ) = 1 > 0，故 ( )在(0, 1 ] ( 12 上单调递增，且 2 ) =
5
2 < 0，即 ( ) < 0，
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( ) < 0 ( ) (0, 1 ] ( ) ≥ ( 1 ) = +3 +2所以 ′ ，故 在 2 上单调递减， 2 2 2 ，
≥ +3 +2故 2 2 ．
19.解：(1) ∵函数 ( ) = + ( > 0)， ( ) = ，
∴ ( ) = ( ) ( ) = + ，

∴ ′( ) = (1 2 2 )( > )，
2 +
令 ′( ) > 0 1 1，解得 < < 2 ；令 ′( ) < 0，解得 > 2 ，
∴ ( )在( , 12 )
1
上递增，在( 2 , + ∞)上递减，
∵ ( )的极大值点为 = 0，
∴ 12 = 0
1
，解得 = 2．
(2)由题意，存在 1 < 2， ( 1) = ( 2)， ( 2) = ( 1)，
令 ( ) = 2( ) 2( ) = 2( + ) 1 1 1 2 ，则 ( 2 ) < 0， ( 2 ) > 0，
由 ( ) ( 1在 2 , + ∞)
1
上递增， ( )在( 2 , + ∞)上存在唯一零点 0．
由题意， 1 < 0 < 2．
1 2
令 ( ) = 2( + ) 2 1 2 1 2 12 2 1, ∈ (0, ( 0 + 2 )), ( ( 0 + 2 )) = 0．
2
对于 2( ) = 2( ) = , ( ) = ( ) 2( ) 1，
2 2
故条件即 ( )在(0, 2( + 1
1
0 2 ))上有零点． ′( ) =
2 ( 2 + 1)．
( ) ′( 2( 10 + )) > 0，即 2 0+1
+ 2( 0 + 1) > 0，也即 0 > 0．
这等价于 (0) < 0，即 0 < < 2．
此时，在(0, 2( 0 +
1
2 ))上存在 ， ( )在( ,
2( 0 +
1
2 ))上递增，故 ( ) < 0．
2
而 ( { 2 ,
1
2}) > 0，故由零点存在定理， ( )在(0, 2( + 10 2 ))上存在零点，满足条件．
( )若 ′( 2( 0 + )) ≤ 0，即 ≥ 2，也即 0 ≤ 0．
2 2
令 ( ) = 2 + 1, ′( ) =
2
2 2 ，又 2
2( + 10 2 ) ≤
2，
故 ′( ) ≥ 0, ( ) ≤ ( 2( 0 +
1
2 )) ≤ 0, ( )在(0,
2( + 12 ))上递减，
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则 ( ) > ( 2( + 10 2 )) = 0，不满足题意．
综上， 的取值范围为(0, 2)．
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