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人教A版
选择性必修第一册
第四章 数列
4.1 数列的概念第2课时
学习目标
1. 了解数列的递推公式，能对比通项公式和递推公式的异同；
2. 理解数列的前 n 项和公式，能用该公式求出数列的通项公式.
例题
思考：观察任意两个相邻图形之间的规律，你能写出其他通项公式吗？
图形规律：
3 倍
3 倍
3 倍
每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为 3 个着色小三角形和 1 个无色小三角形；
即从第 2 个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的 3 倍；
故题中数列的前 4 项满足：a1 = 1，a2 = 3a1，a3 = 3a2，a4 = 3a3；
数列的递推公式
数列的递推公式
数列的递推公式：
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
相邻两项之间的关系：an = 3an – 1 ，如图：a2 = 3a1；
相邻多项之间的关系：an + 1 = 2an + 3an – 1 ，如图：a3 = 2a2 + 3a1；
应用：知道了首项或前几项，以及递推公式即可求出数列的每一项！
例题
思考：回顾数列的通项公式，说说通项公式与递推公式有什么区别联系？
区别 联系
通项公式
递推公式 ① 直接反映 an 与 n 的关系，即 an 是 n 的函数，
an = f (n)；
② 知道任意一个具体的 n 值，即可求出该项的值 an ；
① 间接反映 an 与 n 的关系，是数列任意两项(或多项) 之间的关系式，不能由 n 直接得出an ；
② 根据第 1 项（或前几项）的值，可求出数列的每一项.
① 都可以确定一个数列；
② 都可以求出数列的任意一项；
数列的递推公式
数列 {an} 前 n 项和：数列 {an} 从第 1 项起到第 n 项止的各项之和，记作 Sn .
Sn = a1 + a2 + ··· + an .
数列的前 n 项和公式：
若数列 {an} 的前 n 项和 Sn 与它的序号 n 之间的对应关系可用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前 n 项和公式.
数列的前 n 项和公式
数列的前 n 项和公式
问题 1：数列的前 n 项和公式和通项公式间有什么关系？
通项公式：an ；前 n 项和：Sn = a1 + a2 + ··· + an .
显然 S1 = a1，而 Sn – 1= a1 + a2 + ··· + an – 1 ( n ≥ 2 )，
S1 即为数列的首项 a1
数列的前 (n – 1) 项的和
n = 1时，Sn – 1= S0 无意义
例题
数列的前 n 项和公式
由 Sn 求 an 的常用步骤：
（1）当 n = 1 时，由 a1= S1，求得 a1；
（2）当 n ≥ 2 时，由 an = Sn – Sn – 1，求得 an；
（3）检验：若 a1 符合 an，则合并通项公式；
若 a1 不符合 an，则用分段形式表示通项公式.
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人教A版
选择性必修第一册
第四章 数列
4.1 数列的概念第1课时
学习目标
1. 了解数列的概念、表示方法及数列的分类；
2. 理解数列是一种特殊函数，能从函数角度研究数列的单调性；
3. 理解数列的通项公式的意义，会用通项公式写出数列的任一项，并能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.
阅读下列情境，回答下列问题.
情境 1：王芳从 1 岁到 17 岁，每年生日那天测量身高. 将这些身高数据 (单位：cm) 依次排成一列数：
75，87，96，103，110，116，120，128，138，
145，153，158，160，162，163，165，168. ①
问题 1：记王芳第 i 岁时的身高为 hi，则：
（1）h1 = _____；h7 = _____；
75
120
（2）hi 之间的顺序能否交换？
（3）这些数字排列有什么特征？
新课讲授
情境 2：在两河流域发掘的一块泥版 (编号 K90，约产生于公元前 7 世纪) 上，有一列依次表示一个月中从第 1 天到第 15 天每天月亮可见部分的数：
5，10，20，40，80，96，112，128，
144，160，176，192，208，224，240. ②
问题 2：记第 i 天月亮可见部分的数为 si，则：
（1）s1 = _____；s10 = _____； （2）si 之间的顺序能否交换？
（3）这些数字排列有什么特征？
5
160
把满月分成 240 份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示.
新课讲授
问题 3：请仿照情境 1、2 的叙述，说说情境 3 的一列数也具有上述特征吗？
新课讲授
思考：上述三个情境中的共同特征是什么？
情境 共同特征
王芳 1 岁到 17 岁，每年的身高数据： 75，87，……，165，168；
出土泥版记载的一月中 1 ~ 15 天每天月亮可见部分的数： 5，10，……，224，240； 都是具有一定顺序的数；
由于情境数字具有特定的意义，各项数字之间不能交换位置.
新课讲授
概念生成
数列的概念
（1）概念：按照确定的顺序排列的一列数称为数列；
（2）项：数列中的每一个数叫做这个数列的项；其中第 1 项 (首项)，常用符号 a1 表示， 第 2 项用 a2 表示 ······第 n 项用 an 表示；故数列的一般形式是 a1，a2，···，an，···，简记为{ an }.
（3）项数：数列中项的总数称为数列的“项数”；
项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列.
数列 集合
（4）数列 { an } 与集合 { a1，a2，···，an } 的区别：
各项必须是数字
元素可以是数字，也可是其他形式
数列中的数是有顺序的；如 1，2，3 与 2，3，1 表示不同的数列
集合中的元素具有无序性；
如{1，2，3}={2，3，1}
相同数在数列中可重复出现；
如 1，1，1，…
元素具有互异性，不能重复出现；
如 1，1，1，… 组成集合只能写为{1}
方法小结：（1）同一个数在数列中可重复出现；
（2）排列顺序不同的数组成的数列是不同数列.
概念生成
数列与函数的关系
问题 1：结合函数知识，从函数的角度解释下面数列的对应关系；
数列③中，每一项的序号 n 与这一项 an 有下面的对应关系：
数列{an}是从正整数集 N + (或它的有限子集{1，2，…，n }) 到实数集 R 的函数：
序号： 1 2 3 4 ··· n ···
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
项 ：
问题 2：函数常用列表法、图象法表示，类比函数的表示方法，尝试用不同方法表示 情境 1 中的数列.
75，87，96，103，110，116，120，128，138，
145，153，158，160，162，163，165，168. ①
数列与函数的关系
数列与函数的关系
方法二：图象法：
想一想：仔细观察上表和左图，说说数列 ① 中项随序号的变化呈现出了什么特点？
注意：数列的图象是一系列孤立的点！
方法一：列表法：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
an 75 87 96 103 110 116 120 128 138 145 153 158 160 162 163 165 168
1
2
3
4
5
6
7
20
40
60
80
100
120
140
0
n
an
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
160
180
数列与函数的关系
数列的单调性：
递增数列：按照从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列叫递增数列；
递减数列：按照从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列递减数列；
拓展：
① 常数列：各项都相等的数列；
② 摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.
数列与函数的关系
分类标准 名称 含义
按项 的个数 有穷数列 项数_______的数列；
无穷数列 项数_______的数列；
按项的 变化趋势 递增数列 从第_______项起，每一项都_______它的前一项的数列；
递减数列 从第_______项起，每一项都_______它的前一项的数列；
常数列 _____________的数列；
摆动数列 从第 2 项起，有些项_______它的前一项，
有些项_______它的前一项的数列.
问题 3：结合上述所学，根据下表数列的分类，完成填空
有限
无限
2
大于
小于
各项相等
大于
小于
2
数列的通项公式
例题
例题
例题
或 常常用来表示正负相间的变化规律
例题
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